期權(quán)定價模型(編輯修改稿)
2025-03-08 04:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ???? )()21( 2222 ?化簡為 rfS fSS frStf ????????? 222221 ?**這就是著名的布萊克 ——舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格 S的所有衍生證券的定價。 24 觀察布萊克－舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對 f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設：在對衍生證券定價時，所有投資者對于 dz所蘊涵的風險都是風險中性的。 在所有投資者對 dz都是風險中性的條件下（有時我們稱之為進入了一個關(guān)于 dz的“風險中性世界”），所有風險源為 dz的證券的預期收益率都等于無風險利率 r，因為風險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔風險。同樣，在風險中性條件下，所有風險源為 dz的現(xiàn)金流都應該使用無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風險中性定價原理。 25 假設一種不支付紅利股票目前的市價為 10元，我們知道在 3個月后，該股票價格要么是 11元，要么是 9元?，F(xiàn)在我們要找出一份 3個月期協(xié)議價格為 的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于 3個月后股票的市價。若 3個月后該股票價格等于 11元，則該期權(quán)價值為 ；若 3個月后該股票價格等于 9元，則該期權(quán)價值為 0。 風險中性定價原理的應用 26 為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標的股票多頭組成的組合。若 3個月后該股票價格等于 11元時，該組合價值等于 ( 11 － )元；若 3個月后該股票價格等于 9元時，該組合價值等于 9 元。為了使該組合價值處于無風險狀態(tài)，我們應選擇適當?shù)? 值，使 3個月后該組合的價值不變，這意味著： ??11 － =9 = ?? 因此，一個無風險組合應包括一份看漲期權(quán)空頭和 。無論 3個月后股票價格等于 11元還是 9元，該組合價值都將等于 。 ?27 假設現(xiàn)在的無風險年利率等于 10%，則該組合的現(xiàn)值應為： 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和 票多頭，而目前股票市場為 10元，因此： 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應為 ，否則就會存在無風險套利機會。 ???e ? ???f f28 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到 11元的概率和下降到 9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的預期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風險中性世界中，無風險利率為 10%，則股票上升的概率 P可以通過下式來求： 0. 1 0. 2510 [ 11 9( 1 ) ]e P P??? ? ? ?P=%。 29 又如，如果在現(xiàn)實世界中股票的預期收益率為 15%，則股票的上升概率可以通過下式來求： 0. 15 0. 2510 [ 11 9( 1 ) ]e P P??? ? ? ?P=%。 可見，投資者厭惡風險程度決定了股票的預期收益率，而股票的預期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于 元。 30 在風險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（ T時刻）的期望值為： )]0,[max( XSE T ??其中， 表示風險中性條件下的期望值。根據(jù)風險中性定價 原理，歐 式看漲期權(quán)的價格 c等于將此期望值按無風險利率進 行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： )]0,[max()( XSEe TtTr ?? ????E31 對 右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為： )()( 2)(1 dNXedSNc tTr ????tTdtTtTrXSdtTtTrXSd??????????????????12221))(2/()/ln())(2/()/ln( N（ x）為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù) (即這個變量小于 x的概率 )，根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有 。 )(1)( xNxN ??? 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式。 () [ m a x( , 0) ]r T t Tc e E S X?????從 可 以 解 得 ：32 33 附錄：布萊克 舒爾斯 默頓 期權(quán)定價 公式的推導 在關(guān)于 dz 風險中性的世界中， 歐式看漲期權(quán)的價格 c 等于 其期望值按無風險利率 貼現(xiàn)的現(xiàn)值： )]0,[ m a x ()(XSEecTtTr????? 其中? ()E ?表示風險中性世界中的期望值；同時， 在此風險中性世界中，期權(quán)到期 T 時刻標的資產(chǎn) 價格TS服從如下的 對數(shù) 正態(tài)分布 22l n ~ [ l n ( ) ( ) , ]TS S r T t T t??? ? ? ? ? 令 lnTSmWs?? 這里 ? ?2?( l n ) l n2v a r ( l n )TTm E S S r T ts S T t????? ? ? ? ?????? ? ? 顯然 ? ?0 , 1WN 即隨機變量 W 的密度函數(shù)? ?hW為 221()2Wh W e??? 34 ? ?? ?222lnlnln2l n l n22ln?[ m a x( , 0) ] m a x( , 0) ( )( ) ( ) 0 ( )( ) ( l n ) l n( ) ( )1()21 l n2TT T T TXT T T T TXSTTXsW mXmsWsW mX m
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