【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2美元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為 40美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為 10％，波動(dòng)率為每年 20％。即 S=42， X＝ 40， , ???? tTr ?)2/()40/42ln()2/()40/42ln(2221??????????dd2023/3/8 并且 )( ?? ???? eXe tTr因此，若該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，它的價(jià)格為： )627 ()769 (42)()d( 2)(1NNdNXeSNc tTr???? ??又因?yàn)? N（ ）＝ ， N（ ） = 所以 c= 2023/3/8 二、波動(dòng)率的確定方法 例 假設(shè)一只股票當(dāng)前的價(jià)格為 30元， 6個(gè)月期國(guó)債的年利率為 3％，一投資者購(gòu)買一份執(zhí)行價(jià)格為 35元的6個(gè)月后到期的看漲期權(quán)，假設(shè)在 6個(gè)月內(nèi)股票不派發(fā)紅利。 問(wèn)題：他要支付多少期權(quán)費(fèi)？ 由題設(shè)知： S=30， X＝ 35， 周個(gè)月＝ 256, ??? tTr但還需要知道一個(gè)無(wú)法直接得到的變量：波動(dòng)率 ?2023/3/8 解題步驟： （ 1）波動(dòng)率 的計(jì)算 ?方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計(jì)算波動(dòng)率 。 ? 假設(shè)在過(guò)去 n周里的第 t周股票收盤價(jià)為 St， 第 t1周的收盤價(jià)為 St－ 1， 則第 t周的股票復(fù)利收益率為 )/ln( 1?? ttt SSr那么，周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差可用下面的公式計(jì)算 ? ? ??? nt n rrn n t1 )(1 2 其中： 表示這 n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為周波動(dòng)率 的估計(jì)值。由歷史的股價(jià)數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)算得到此股票的周波動(dòng)率為 。 ? ?? nt trnr 1)/1(?2023/3/8 我們?nèi)?n＝ 50周，即 1年的交易周數(shù)，可得年波動(dòng)率 ????或： 每年的交易日數(shù)波動(dòng)率每年波動(dòng)率＝每交易日 ? 方法二：把實(shí)際的市場(chǎng)期權(quán)價(jià)格代入 B－ S公式而計(jì)算出的波動(dòng)率即隱含波動(dòng)率。交易員通常從交易活躍的期權(quán)中計(jì)算隱含波動(dòng)率，然后利用計(jì)算出的隱含波動(dòng)率來(lái)估算基于同樣股票的不太活躍的期權(quán)的價(jià)格。更常見(jiàn)的是，可以同時(shí)得到基于同樣股票的幾種不同期權(quán)的幾個(gè)隱含波動(dòng)率，然后對(duì)這些隱含波動(dòng)率進(jìn)行恰當(dāng)?shù)募訖?quán)平均就可以計(jì)算出該股票的綜合隱含波動(dòng)率。 2023/3/8 投資者可以通過(guò)對(duì)比當(dāng)前市場(chǎng)的波動(dòng)率與期權(quán)的隱含波動(dòng)率的大小來(lái)進(jìn)行期權(quán)交易。如果認(rèn)為實(shí)際的市場(chǎng)波動(dòng)率高于隱含波動(dòng)率，那么當(dāng)前的期權(quán)價(jià)格被低估了，可以買進(jìn)期權(quán)。反之可以賣出期權(quán)。 （ 2）計(jì)算 N（ d1） 和 N(d2) 先計(jì)算： )2/()35/30ln(00))(2/()/ln(12221?????????????????????tTddtTtTrXSd???2023/3/8 然后查正態(tài)分布累積概率表，得到 )()( 1 ??? NdN和 )()( 2 ??? NdN（ 3）計(jì)算期權(quán)價(jià)格 C 232 )()d(2)(1????????????edNXeSNc tTr2023/3/8 三、 BS公式的基本推廣 （一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式 （ ）式是針對(duì)無(wú)收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的，對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益的情況，我們下面分兩種情況給予簡(jiǎn)單分析。 2023/3/8 1，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況 假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將在時(shí)刻 產(chǎn)生已知現(xiàn)值為 I的收益，且 。這時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值可分解為兩個(gè)部分：發(fā)生在 時(shí)刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到 T時(shí)刻時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風(fēng)險(xiǎn)的，記為 于是我們可以直接利用（ ）式來(lái)定價(jià)了，只要用來(lái)代替 S即可， 1t 1t t T??1tY S I?? () r( T t)12c S I N( d ) Ke N( d )??21 2 1l n( ( ) / K ) ( / 2) ( )S I r T td d d T tTt? ??? ? ? ?? ? ? ?? ，2023/3/8 2， 標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率的情況 我們假定在任何時(shí)間段 dt， 標(biāo)的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt，這等價(jià)于在每一刻都將剩余股票價(jià)值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來(lái)資產(chǎn)價(jià)值的 。所以，在現(xiàn)在時(shí)刻t，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值由兩部分組成：比例為 的部分作為收益在到期日 T之前發(fā)放，剩下比例為 的部分是一單位標(biāo)的資產(chǎn)在到期日 T的價(jià)值的現(xiàn)值。 q(T t)e1 q( T t)e?q(T t)e2023/3/8 ( ) 2 2121l n( / ) ( / 2) ( ) l n( / ) ( / 2) ( )q T tSe X r T t S X r q T tdT t T td d T t??????? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ?( ) ( )12( d ) ( )q T t r T tC Se N X e N d? ? ? ??? 我們可用 來(lái)代替 S，得到 BlackScholes偏微分方程的解 q( T t)Y Se?2023/3/8 （二）期貨看漲期權(quán)的定價(jià)公式 如果標(biāo)的資產(chǎn)為各種期貨合約的話，上述期權(quán)定價(jià)公式必須做相應(yīng)修正，因?yàn)楝F(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同的交易規(guī)則。 為此，我們?cè)O(shè) F為期貨價(jià)格， 表示期貨價(jià)格的波動(dòng)率，其他符號(hào)與上述相同，則只要期貨價(jià)格和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格一樣遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)的話，就有 ? [] r( T t)12c F N( d ) KN ( d ) e?21 2 1l n( ) ( / 2) ( )F/K T td d d T tTt? ????? ? ? ?? ，2023/3/8 （三）美式期權(quán)價(jià)格的近似解 假定標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻 t1有收益，這里 t＜ t1＜ T。美式看漲期權(quán)的多頭要么在臨近時(shí)刻 t1執(zhí)行期權(quán)，要么在到期日時(shí)刻 T執(zhí)行期權(quán)。因此，這個(gè)美式看漲期權(quán)的價(jià)值可以近似地看作兩個(gè)歐式看漲期權(quán)中較大的那一個(gè)。這兩個(gè)歐式看漲期權(quán)是 1）時(shí)刻 t1到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益； 2）時(shí)刻 T到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為 I的收益 2023/3/8 期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法 —— 二叉樹(shù)定價(jià)法 在很多情形中，我們無(wú)法得到期權(quán)價(jià)格的解析解，這時(shí)，人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價(jià)，其中包括二叉樹(shù)方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，預(yù)測(cè)期權(quán)的平均回報(bào)，并由此得到期權(quán)價(jià)格的一個(gè)概率解。有限差分方法將標(biāo)的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來(lái)求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。 2023/3/8 一、單步二叉樹(shù)定價(jià)法 （一）一個(gè)簡(jiǎn)單案例 例 假設(shè)某只股票當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為 20元。投資者預(yù)期 3個(gè)月后股價(jià)有可能是 22元，也有可能是 18元。再假設(shè)該股票不分紅利且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%。投資者打算對(duì) 3個(gè)月后以 21元執(zhí)行價(jià)格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。 我們知道，若到期時(shí)股票價(jià)格為 22元，期權(quán)的價(jià)值為 1元；若股票價(jià)格為 18元，期權(quán)的價(jià)值將是 0。如圖 2023/3/8 圖 股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格變動(dòng)示意圖 18 20 22 C 1 0 在無(wú)套利假設(shè)下，二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)法的基本思路是：首先，以某種方式構(gòu)造一個(gè)只包含股票和期權(quán)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合；其次，根據(jù)到期日的股票和期權(quán)價(jià)格