期權(quán)定價公式的推導(dǎo)(編輯修改稿)
2025-03-08 05:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ln(1+i) ln(1d) lnv — 19 ? 歐式股票買入期權(quán)的定價公式 其中 T是到期時間， S是當前股價， C（ S， T）歐式買入期權(quán)的價格。 X是期權(quán)的協(xié)議價格， r是無風險證券的（瞬時）收益率，σ稱為股價的波動率， N是標準整體分布隨機變量的分布函數(shù)，它定義為 12( , ) ( ) ( )rTC S T SN d X e N d???21 2 11 l og ,2Sd r T d d TXT? ???? ??? ? ? ? ??? ??????221( ) ,2ydN d e dy????? ?20 ? 這個公式當 T=0時，有 C(S,0)=(SX)+，其中 (SX)+表示 SX的正部，即當 時，它等于 SX，當 SX0時，它為 0。 ? 除股價的波動率 σ外，其他參數(shù)都是直接在市場上可以找到的。 在嚴格的意義下， r是無風險瞬時收益率，但是在實際計算中，它直接可以用短期利率帶入。 0SX??21 ? 風險證券 t時刻的價格 St遵循幾何布朗運動，而滿足下列隨機微分方程： 風險證券的折現(xiàn)價格 就是折現(xiàn)價格。 這說明 仍然遵循幾何布朗運動，且只有當 時才是鞅。 μ—— 股票價格的平均（瞬時）收益率 。 r—— 無風險（瞬時）收益率。 根據(jù)資產(chǎn)定價基本原理，只要市場上沒有套利機會，那么就一定存在一種等價的概率測度，使得所有證券及其組合的折現(xiàn)價格都成為鞅。這時所有證券價格的平均收益率都與無風險收益率一致。 ln ttttdSd S dt dzS ??? ? ?l n l n( ) l n l n ( )rt rtt t t t td S d e S d e d S rdt dt dz r dt dz? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?tStS 0r???22 ? 股票的折現(xiàn)價格對新的等價概率測度就滿足 這里 表示在新的等價概率測度下的標準布朗運動。對于時刻 T，由此可得 其中 是 t=0時的股票價格 考慮到 σWT是一個均值為 0、方差為 σ2T的正態(tài)隨機變量， 就是一個所謂對數(shù)正態(tài)分布隨機變量。 ln T td S dW??tW 0l n l nT TS S W???0S 0TSS23 ? 歐式買入期權(quán)的當前價格就是 ? 這里 S是當前的股價，即 S=S0， ST是 T時刻的股價， erT是折現(xiàn)因子， X是期權(quán)的協(xié)議價格。 *( , ) [ ( ) ]rT TC S T E e S X? ???24 ? BlackScholes期權(quán)定價公式 21 2 1l og2,SrTKd d d TT??????????? ???? ??? ? ?12( , ) ( ) ( )rTC S T SN d X e N d???25 ? 可以證明 ? 其中 WT是均值為 0、方差為 T的正態(tài)隨機變量，即 ，而 x是標準正態(tài)隨機變量 。 ? 該等式涉及幾何布朗運動的特殊性質(zhì)，需
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