第十講期權(quán)的定價(編輯修改稿)
2025-01-30 12:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ?1Nd? ?2Nd? ? ? ?? ? ? ?12 44 49N d NN d N????0. 12 150 0. 89 44 50 0. 87 49 5. 92ce ??? ? ? ? ? 美元? ? ? ?0. 12 150 1 49 50 1 44 ??? ? ? ? ? ? ? 美元 在 BlackScholes公式所用的參數(shù)中，有三個參數(shù)與時間有關(guān)：到期期限 、 無風(fēng)險利率和波動率 。 值得注意的是 ，這三個參數(shù)的時間單位必須相同 ， 或者同為天 、 周 ， 或者同為年 。年是經(jīng)常被用到的時間單位，因此，我們常常需要將天波動率轉(zhuǎn)化為年波動率。在考慮年波動率時，有一個問題需要加以重視：一年的天數(shù)究竟按照日歷天數(shù)還是按照交易天數(shù)計算。一般認為，證券價格的波動主要來自交易日。因此，在轉(zhuǎn)換年波動率時 ， 應(yīng)該按照一年 252個交易日進行計算 。 這樣 ， 與天波動率相應(yīng)的年波動率為： 252 67y e ar day?? ? ? ?二叉樹模型 一 、 二叉樹模型的基本方法 二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔 ，并假設(shè)在每一個時間間隔內(nèi)證券價格只有兩種運動的可能：從開始的 上升到原先的 倍，即到達 ；下降到原先的 倍，即 。其中， ， ，如圖 1所示。價格上升的概率假設(shè)為 ，下降的概率假設(shè)為 。 圖 1 時間內(nèi)資產(chǎn)價格的變動 相應(yīng)地，期權(quán)價值也會有所不同，分別為 和 。 t?S u SudSdu? 1d? q1 q?S Su Sd q 1q t? uf df二、單步二叉樹模型 運用單步二叉樹為期權(quán)定價，可以有兩種方法：無套利方法和風(fēng)險中性定價方法。 由于期權(quán)和標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險源是相同的，在如圖 1的單步二叉樹中，我們可以構(gòu)造一個證券組合，包括 股資產(chǎn)多頭和一個看漲期權(quán)空頭。如果我們?nèi)∵m當(dāng)?shù)? 值，使 則無論資產(chǎn)價格是上升還是下跌，這個組合的價值都是相等的。也就是說，當(dāng) 時，無論股票價格上升還是下跌，該組合的價值都相等。顯然，該組合為無風(fēng)險組合，因此我們可以用無風(fēng)險利率對 貼現(xiàn)來求該組合的現(xiàn)值。在無套利機會的假設(shè)下，該組合的收益現(xiàn)值應(yīng)等于構(gòu)造該組合的成本，即 ?? udSu f Sd f? ? ? ? ?udffSu Sd??? ?Su f Sd f? ? ? ?或 將 代入上式就可得到： ? ? rtuS f Su f e ??? ? ? ? ?udffSu Sd??? ? 1r t r trtude d e df e f fu d u d???? ?? ????? ? ??? ???? ???? 在上面的期權(quán)定價公式中，如果令 ，則期權(quán)定價公式可以變?yōu)? 。如果把 p解釋為股票價格上升的概率 ， 那么 1p就是股票價格下降的概率 。 這樣，就可以把上面的期權(quán)定價公式表述為： 今天的期權(quán)價值是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的價值 。 值得注意的是 ，這里的 p并非真正的股票上升下降的概率，而是人為設(shè)定的概率， 被稱為風(fēng)險中性概率 。 du deptr????? ?1rt udf e pf p f??? ? ????? 在二叉樹模型中也可以應(yīng)用風(fēng)險中性定價原理，只要確定風(fēng)險中性概率 和參數(shù) 、 ，就可以利用上面的公式為期權(quán)定價。這是二叉樹定價的一般方法。 在風(fēng)險中性世界里： 所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率； 未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。 在風(fēng)險中性的條件下，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無風(fēng)險利率 ，因此若期初的證券價格為 ，則在很短的時間間隔 末的證券價格期望值應(yīng)為 。因此，參數(shù) 、 和 的值必須滿足這個要求，即： pudr St? trSe?pud 這是參數(shù)應(yīng)該滿足的第一個條件；二叉樹模型也假設(shè)證券價格遵循幾何布朗運動，那么在一個小時間段 內(nèi)，則有： 再設(shè)： ； 22222222 ])1([)1( dppuSdSpupStS ????????SdppSuSe tr )1( ???? dppue tr )1( ????1ud? t? ? ? 2222 )1()1( dppudpput ???????? 則，從以上三個條件可以求得，當(dāng) 很小時有：
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