【文章內(nèi)容簡介】 2f 就為01SS ? 。 現(xiàn)在考慮以價格0f 買入一份賣權(quán)，以及按照套頭率 △ ，以價格0S 購買 △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無風(fēng)險資產(chǎn)組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 1 5 ) 當(dāng)股票價格上升到 1S時，該組合的價值為：??????111SfS。當(dāng)股 票 價 格 下 降 到 2S時 ， 該 組 合 的 價 值 為 ：)(20222SSSfS ????????美元。因此，適當(dāng)?shù)?△ 可以使上面這個證券組合成為無風(fēng)險資產(chǎn)，即股票價格上升與股票價格下降時的該資產(chǎn)組合的價值相同，于是有： 2211fSfS ??????? ( 1 0 . 2 . 1 6 ) 2022/2/16 32 圖 10 . 2. 3 單期的歐式賣權(quán)二叉樹定價圖 于是，可以解得： 21201212SSSSSSff??????? ( 10 . 7 ) 資產(chǎn)組合現(xiàn)值與初始投資值應(yīng)該相等： 001fSeSTrf?????? ( 10 . 2. 18 ) 整理得出買權(quán)的最終定價公式：???????010SeSfTrf ( 10 . 2. 19 ) 式 ( 10 . 2. 10 ) 在這里仍然成立，即 有：2120SSSeSpTrf??? 2022/2/16 33 事實上，我們同樣也可以把 ( 10. 2 . 12) 式整理為用 P 表示的表達式，整理的結(jié)果為 ：? ?TrTrtteSSpefppff???????? ))(1()1(20220( 10. 2. 20 ) 例 10. 2 . 3 ， 假設(shè)無風(fēng)險利率為 6 ％，某種股票的當(dāng)前價格為每股 $40 美元，我們預(yù)期 3 個月后其價格可能是每股 $4 5 美元或者每股 $35 美元，其概率分別為 p 和pq ?? 1。試求執(zhí)行價格為 $40 美元的賣權(quán)的合理價格。 根據(jù)題意，有圖 10. 2 . 4 。由式 ( 10. 2 . 17) 解得4 0 3 50 . 54 5 3 5D = =，代入 ( 10 . 2. 19 )可得 賣 權(quán)的合理定價： ???????0ef2. 165 美元 圖 10. 2. 4 例 10. 2. 3 中的二叉樹定價圖 2022/2/16 34 同 樣 ， 我 們 可 以 利 用 ( 10. 2 . 20 ) 式 求 解 ，將35453540?????ep 代入 ( 10. 2. 20 ) 式 就 有： )3540)((0???????ef 與例 10 . 2. 2 相比，同樣的數(shù)據(jù)算得的買權(quán)和賣權(quán)的價格不同，原因在于股票價格上漲的概率大于下跌的概率。 2022/2/16 35 三、兩期的歐式期權(quán)定價模型 單期的期權(quán)定價方法很容易擴展到期限更長的期權(quán)合約。從單期的期權(quán)定價公式可以看出，無論是買權(quán)還是賣權(quán)，他們具有相同形式的定價公式（見式 ( 10 . 2. 14 ) 和式 ( 10. 2 . 20 ) ），因此，對于兩期的歐式期權(quán)定價公式，我們可以將買權(quán)和賣權(quán)放在一起討論。 圖 10. 2. 5 兩期歐式期權(quán) 的 二叉樹定價圖 假設(shè)現(xiàn)期股票價格為0S，在無風(fēng)險利率fr之下，預(yù)期在第 — 期里股票價格可0S由上漲到 1S或者下跌到2S，概率分別為 p 和pq ?? 1。而在第二期里，預(yù)期股票價格以同樣的概率分別由 1S上漲到11S或下跌到12S，由2S上漲到21S21S或者下跌到22S，漲跌幅度與第 — 期里相同。 2022/2/16 36 行使價格為0S的買權(quán)價格在基期時被設(shè)為0f，當(dāng)股票價格上漲到1S時，期權(quán)價格為1f，當(dāng)股票價格下跌到2S時，則期權(quán)價格為2f。而如果股票價格分別為11S、21S、12S、22S時，則該期權(quán)的價格分別為11f、21f、12f、22f，由于是買權(quán)，可知22f=0 。因為兩期之內(nèi)股票價格上升與下跌的概率以及幅度都被假設(shè)是分別相等的，顯然應(yīng)該有1221 SS ?以及：1221 ff ?。 按照單期期權(quán)定價的思路，現(xiàn)在兩次使用 ( ) 式，應(yīng)分別有： ? ?Tr fefppff????12111)1( ( .2 1) ? ?Tr fefppff????22212)1( ( .2 2) ? ?Trfefppff????210)1( (10 .2 .23) 其中 p 可由 ( ) 式：2120SSSeSpTrf???給出， T 為期權(quán)一 期的期限占一年的百分比。則將 ( ) 、 ( .22) 兩式代入 ( ) 式，最后有： ? ?Trfefpfppfpf2222121120)1()1(2?????? ( ) 式 ( ) 即適用于買權(quán)，又 適用 于賣權(quán)。 2022/2/16 37 例 ，仍然假設(shè)無風(fēng)險利率為 6 ％，某種股票的當(dāng)前價格為每股 $40 美元，與例 不同的是我們不是預(yù)期 3 個月后的股票價格與期權(quán)價格，而是預(yù)期 3 個月和 6 個月后的 價格 變化 。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時 ， 試求執(zhí)行價格為 $40 美元的買權(quán)和賣權(quán)的合理價格。 圖 例 中買權(quán)的二叉樹定價圖 2022/2/16 38 1 、求買權(quán)的價格 具 體 的 數(shù) 據(jù) 如 圖 所示 ， 由式 ( ) 得 ：36443640?????ep ， 代入 ( ) 可得 ： ? ? )(1????????ef 美元 再 將 p 代入 ( ) 式， 可得 ： ? ? 00)(2????????ef 將上面得出的 1f、 2f代入 ( ) 式， 可 以 得 到： ? ? )(0????????ef美元 也可由式 ( ) 直接求出買權(quán)的合理價格 ： ? ? ????????????? 00)(0)( ef 美元 2022/2/16 39 2 、 求賣權(quán)的價格 具 體 的 數(shù) 據(jù) 如 圖 所示 ， 由 ( ) 式 得 ：36443640?????ep， 代入 ( .21) 式 可得 ： ? ? 1 6 )( 1????????ef 圖 例 中賣權(quán)的二叉樹定價圖 將 p 代入 ( .22) 式 可得 ： ? ? 3 7 )( 2????????ef美元 2022/2/16 40 ? 將上面得出的 f f2代入 ()式 ， 可得： ? 美元 ? 也可由式 ()直接求出賣權(quán)的合理價格： ? =$ ? 同樣由于股票價格上漲的概率大于下跌的概率 ，因此 ， 買權(quán)的價格高于賣權(quán)的價格 。 ? 從表面上看 ， 二叉樹期權(quán)定價模型似乎有一個不足 ， 即假設(shè)每一期股票價格變動的結(jié)果只有兩種可能性 ， 而在現(xiàn)實中 ， 股票的價格可謂千變?nèi)f化 。 但實際上這其實并不能構(gòu)成問題 ， 我們完全可以通過增加期數(shù) （ 或縮短單位時間長度 ） 來擴大股票價格變動的范圍 ， 從而使二叉樹期權(quán)定價模型更加準(zhǔn)確地反映金融市場的運行情況 。 返回電子版主頁 ? ? )( ?????? ??ef? ? ?????????? ??? )()( ef2022/2/16 41 將上面得出的1f、2f代入 (1 ) 式， 可得 ： ? ? )( 0????????ef美元 也可由式 ( .24) 直接求出賣權(quán)的合理價格 ： ? ? ?????????? ??? 0)()( ef = $ 美元 同樣由于股票價格上漲的概率大于下跌的概率，因此，買權(quán)的價格高于賣權(quán)的價格。 從表面上看，二叉樹期權(quán)定價模型 似乎 有一個不足，即假設(shè)每一 期股票價格變動 的結(jié)果只有兩種可能性，而在現(xiàn)實中，股票的價格可謂 千變?nèi)f化。 但 實際上這 其實 并不 能 構(gòu)成問題，我們完全可以通過增加期數(shù)（或縮短單位時間長度）來擴大股票價格變動的范圍，從而使二叉樹期權(quán)定價模型更加準(zhǔn)確地反映金融市場的運行情況。 2022/2/16 42 實驗檢驗的結(jié)果表明，在一般情況下，將齊全的有效期劃分為 30個以上的價格變動期，能使二叉樹期權(quán)定價模型的定價達到理想 可信的水平；反之，如果模型的期數(shù)太少，計算結(jié)果與均衡價格之間就會出現(xiàn)明顯的偏差，模擬結(jié)果失真。但是，增加期數(shù)會使計算量呈幾何級數(shù)增長，這就 必須 借助計算機來協(xié)助計算了。但不論期數(shù)為多少，算法的思路與兩期的是一致的，只需將同樣的推導(dǎo)過程加以擴展即可。 表 買方期權(quán)與賣方期權(quán)的定價比較 定價 一期 兩期 買方期權(quán) $ 2 . 76 $2. 74 賣方期權(quán) $ 2 . 1 7 $ 1 . 49 如果將以上的 4 個例子做一個比較的話，見表 ，我們發(fā)現(xiàn)這樣一些事實： 1 、 賣權(quán)的定價 一般都要 低于買權(quán)的定價 ； 2 、 由于兩期的 累計 偏差會更大，所以兩期的賣權(quán)定價 一般要 比兩期的買權(quán)定價 低 更 多 。 3 、一般情況下 兩期的買權(quán)定價 要 比一期的買權(quán)定價高， 因為它盈利的潛力更大一些，但也有意外的情況。 4 、 兩期賣權(quán)定價比一期賣權(quán)定價低 ，因為它虧損的可能性會更大 。 2022/2/16 43 四、二叉樹期權(quán)定價模型的其他應(yīng)用 返回節(jié) 二叉樹期權(quán)定價模型的優(yōu)點是比較直觀，而且具有很大的靈活性，不管基礎(chǔ)資產(chǎn)的價格運動服從何種分布 都能適用。就期權(quán)而言，不管是看漲的還是看跌的 , 歐式的還是美式的 , 支付股利的還是不支付股利的，該模型都能適合。 （一） 有股息支付情況下的二叉樹期權(quán)定價模型 毫無疑問，股息和紅利的支付會對股票期權(quán)的定價產(chǎn)生影響，因為股市一般會在除息日做出調(diào)整，即股票價格與股息額的等幅的下降。受其影響，股票買權(quán)的價格會隨之下降，股票賣權(quán)的價格隨之等幅上升。 在支付現(xiàn)金股息的情況下 ， 要對模型做出 適當(dāng)?shù)?調(diào)整 。 1 、 如果某上市公司是向每股股票派發(fā)固定數(shù)額的股息設(shè)為 D ，這上面分析的模型中需要對股票價格作出調(diào)整 ，如圖 所示。 其中，01SpS ??，02)1( SpS ???，)(111DSpS ???，??2112SS pDSpDS )()1)((21?????，)()1(222DSpS ????。 2022/2/16 44 例 ，仍然假設(shè)無風(fēng)險利率為 6% ，某種股票的當(dāng)前價格為每股 $40 美元，與例 不同的是我們預(yù)期 6 個月后的股票價格與期權(quán)價格。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10% 時 ,除息日在第一期期末，每股股票派發(fā) 1 美元的股息。試求執(zhí)行價格為 $40 美元的買權(quán)的合理價格。 圖 帶有現(xiàn)金股息情況下的二叉樹定價圖 具體的期權(quán)價格的計算如例 類似，只是數(shù)據(jù)的不同而已 （見圖 ） 。 2022/2/16 45 圖 例 中現(xiàn)金股利情況下的二叉樹定價圖 2 、 如某上市公司是 按照 股票市價的一個固定比率 來 派發(fā)股息，設(shè) 這個固定比率 為a， 并設(shè)除息日在第一期期末，則二叉樹期權(quán)定價模型修正為 圖 所示。 2022/2/16 46 圖 按照股票市價的一個固定比率派發(fā)股息情況下的 二叉數(shù)定價圖 例 . 6 ， 仍然假設(shè)無風(fēng)險利率為 6% ，某種股票的當(dāng)前價格為每股 $40 美元，我們預(yù)期 6 個月后的股票價格與期權(quán)價格。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時 ,除息日在第一期期末，該公司決定每股股票派發(fā)股價 3% 的股息。試求執(zhí)行價格為 $40 美元的買權(quán)的合理價格。 依據(jù)圖 1 所示的數(shù)據(jù)，按公式 ( ) 式和 ( )