【正文】 式買權(quán)的價格tc及歐式買權(quán)的價格tC來說，應(yīng)有不等式： tc?tS；tC?tS ( 10 . 1. 1) 2022/2/16 7 （二）賣權(quán)的上限 （二）賣權(quán)的上限 當(dāng)然，美式賣權(quán)的最大價格 應(yīng)該是 其 行使 價格 SP ， 而歐式期權(quán)的最大價格 則應(yīng)該是 其 行使 價格 SP 的貼現(xiàn)值。 因而 賣權(quán) 的價格tP在 t 時刻的價值不會超過行 使 價格 SP 的貼現(xiàn)值： )( tTrtS PeP??? ( 10. 1. 3) 2022/2/16 8 二、買權(quán)與賣權(quán)的下限 ? （一）買權(quán)的下限 ? （ 二 ） 賣權(quán)的下限 2022/2/16 9 （一）買權(quán)的下限 （ 一）買權(quán)的下限 對于美式買權(quán)，由于隨 時 都可以 行使，因而它的最小價值一定是期權(quán)的內(nèi)在價值。 事實上我們可以簡單地證明： 歐式買權(quán)的下限是)( tTrtS P eS???。 如果SPST?，買權(quán)為實值期權(quán)，則在 T 時刻應(yīng)行使買權(quán)，組合的價值為 0 。 2022/2/16 11 可以看出，無論期權(quán)在到期時是實值的、平價的還是虛值的，我們所構(gòu)造的組合的價值或者為零或者大于零，不會得到一個負(fù)的價值。 2022/2/16 12 （二）賣權(quán)的下限 對于美式賣權(quán)，由于隨時 可以 行 使 ，因而它的最小價值一定是期權(quán)的內(nèi)在價值。 在時刻 t =0 時 有以下資產(chǎn)組合： 1 股股票及 1 股相應(yīng)的 歐式賣權(quán) 再加上金額 為)( tTrS P e??的現(xiàn)金 借貸。 所以， 在時刻 t =0 時，應(yīng) 有： 000???? rTS P eSP ( 10. 1. 10) 2022/2/16 13 同理，我們又構(gòu)造了一個價值或者為零或者大于零的組合，不會得到一個負(fù)的價值。 假設(shè)投資者擁有一份買權(quán) ， 并且期權(quán)處于實值狀態(tài) （ 如果期權(quán)是虛值狀態(tài)的話 ， 投資者當(dāng)然不會提前行使期權(quán) ） ， 比如期權(quán)的行使價格為 30元 ， 距到期日還有一個月 ， 無風(fēng)險利率為 10%， 股票價格為 50元 。 不僅如此 ， 如果股票的價格在一個月后跌到 30元以下 ， 沒有提前行使期權(quán)的投資者一定會慶幸自己做出了正確的選擇 。 美式買權(quán)不該提前行使也可以通過下面的式子來說明 。 第一個理由在于期權(quán)能夠提供保險 。 SPSS P eSC tTr ???? ?? )(2022/2/16 19 四、美式賣權(quán)的提前行使 ? 賣權(quán)與買權(quán)不同 ， 提前行使可能是更有利的 ， 我們可以考慮一個極端的例子 ，假設(shè)期權(quán)的行使價格為 10元 ， 此時股票價格為 0， 由于股票價格不會為負(fù) ， 因而此時行使賣權(quán)可以獲取最大收益 。 2022/2/16 20 五、賣權(quán)與買權(quán)之間的平價關(guān)系 ? 在時刻 t=0， 考慮下面兩個組合： 返回電子版主頁 ? 組合 A：一份行使價格為 SP的歐式買權(quán)和價值為 ? 的現(xiàn)金 。 ? 于是 ， 當(dāng)股價上漲時 ， 買權(quán)為實值 ， 賣權(quán)為虛值 ，此時組合 A、 B的價值都為： ST；當(dāng)股價下跌時 ， 買權(quán)為虛值 ， 賣權(quán)為實值 ， 此時組合 A、 B的價值都為 SP。如果知道了其中的的三個，就可以確定第四個變量的均衡值。試確定有效期和行使價格都相同的買權(quán)的期權(quán)費是多少。 其中二叉樹 (Binomial Tree)期權(quán)定價模型最早是由考克斯 (Cox) 、 羅斯 (Ross) 和魯賓斯坦(Rubinstein)(1979年 )提出的 ， 他們所依據(jù)的原則也是無套利原則以及風(fēng)險中性原則 。 但這一假設(shè)的確能充分地簡化我們的理論推導(dǎo) 。 2022/2/16 25 二、單期歐式期權(quán)的定價模型 返回節(jié) （一）歐式買權(quán)的定價模型 假設(shè)現(xiàn)期 時 股票價格為0S ，在無風(fēng)險利率fr 之下，在任何一個單位時間段內(nèi)，股票價格的預(yù)期變動只取兩個可能值，即 ： 股票價格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S ， 其 概率服從二次分布，分別為 p 和pq ?? 1。反之，當(dāng)股票價格下跌時、現(xiàn)貨多頭虧損，但是所賣出的買權(quán)價格下降會造成期權(quán)空頭的獲利。 同樣假設(shè)現(xiàn)期股票價格為0S ，在無風(fēng)險利率fr 之下，股票價格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S，概率分別為 p 和pq ?? 1。 同樣，我們也可以把 ( 10 . 2. 12 )式整理為用 P 表示的表達(dá)式，整理的結(jié)果為 ： ? ?TrTrffeSSpefppff??????? )()1(01000 ( 10. 2. 14 ) 2022/2/16 30 例 10 . 2 . 2 ，繼續(xù)使用例 10 . 2. 1 中的數(shù)據(jù)：0S ＝ $40 美元，1S ＝ $45 美元，2S = $3 5 美元， fr ＝ 6 ％， m ＝ 3 。 現(xiàn)在考慮以價格0f 買入一份賣權(quán)，以及按照套頭率 △ ，以價格0S 購買 △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無風(fēng)險資產(chǎn)組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 1 5 ) 當(dāng)股票價格上升到 1S時，該組合的價值為：??????111SfS。 根據(jù)題意，有圖 10. 2 . 4 。 圖 10. 2. 5 兩期歐式期權(quán) 的 二叉樹定價圖 假設(shè)現(xiàn)期股票價格為0S，在無風(fēng)險利率fr之下，預(yù)期在第 — 期里股票價格可0S由上漲到 1S或者下跌到2S，概率分別為 p 和pq ?? 1。因為兩期之內(nèi)股票價格上升與下跌的概率以及幅度都被假設(shè)是分別相等的，顯然應(yīng)該有1221 SS ?以及：1221 ff ?。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時 ， 試求執(zhí)行價格為 $40 美元的買權(quán)和賣權(quán)的合理價格。 返回電子版主頁 ? ? )( ?????? ??ef? ? ?????????? ??? )()( ef2022/2/16 41 將上面得出的1f、2f代入 (1 ) 式， 可得 ： ? ? )( 0????????ef美元 也可由式 ( .24) 直接求出賣權(quán)的合理價格 ： ? ? ?????????? ??? 0)()( ef = $ 美元 同樣由于股票價格上漲的概率大于下跌的概率，因此，買權(quán)的價格高于賣權(quán)的價格。但是，增加期數(shù)會使計算量呈幾何級數(shù)增長，這就 必須 借助計算機(jī)來協(xié)助計算了。 4 、 兩期賣權(quán)定價比一期賣權(quán)定價低 ，因為它虧損的可能性會更大 。受其影響，股票買權(quán)的價格會隨之下降，股票賣權(quán)的價格隨之等幅上升。 2022/2/16 44 例 ，仍然假設(shè)無風(fēng)險利率為 6% ，某種股票的當(dāng)前價格為每股 $40 美元，與例 不同的是我們預(yù)期 6 個月后的股票價格與期權(quán)價格。 2022/2/16 45 圖 例 中現(xiàn)金股利情況下的二叉樹定價圖 2 、 如某上市公司是 按照 股票市價的一個固定比率 來 派發(fā)股息，設(shè) 這個固定比率 為a， 并設(shè)除息日在第一期期末，則二叉樹期權(quán)定價模型修正為 圖 所示。 依據(jù)圖 1 所示的數(shù)據(jù)，按公式 ( ) 式和 ( ) 式可以很容易地求解出 來。我們通過例子來詳細(xì)說明。 美式期權(quán)與歐式期權(quán)在 B 、 C 兩點的價格相同，因而在 A 點，對于美式期權(quán)期權(quán)價格仍為 4 美元。 由于對于美式期權(quán)來講， C 點的期權(quán)價格有所變化，因而在 A 點的 期權(quán)價格要重新確定。 以買權(quán)為例 ， 提前行使期權(quán)就意味著在獲得期權(quán)內(nèi)在價值的同時需要放棄期權(quán)尚有的時間價值 ， 因此 ， 提前行使期權(quán)是否有利 ， 要比較以上兩個因素而定 。 傳統(tǒng)上將收益定義為： 11???ttSS收益率 即 t+1 時刻比 t 時刻資產(chǎn)價格的增加值。 而實際上的收益不為零。 如果價格的對數(shù)呈正態(tài)分布，那么價格將是對數(shù)正態(tài)分布的（見圖 ）。 根據(jù)買權(quán)的定義，期權(quán)的期望價格可以表示為： ? ?)0,m a x ()( SPSECETT?? ( 10 . ) 它是價格正態(tài)分布密度從協(xié)定價格 X 到無窮大的積 分。在 ( .5) 式中， r 、 T 和 SP 都是已知的，未知量只有兩個，一個是到期時SPST?的概率*P，一個是期權(quán)到期時在溢價的條件下，基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的期望值)|( SPSSETT?，下面我們分別求這兩個值。 可以應(yīng)用歷史資料來求出金融資產(chǎn)的易變性 ， 我們稱之為歷史易變性 ， 其具體計算方法需要分四步進(jìn)行計算： ??????????????????????????TTSSPNP??0ln1* ????????????????????? ???????????TTrSSPN?? 20 21ln1????????????????????? ????????????TTrSSPN?? 20 21ln?????????????????? ????????TTrSPSN?? 2021ln??2022/2/16 61 將 ( .9) 代入 ( .6 ) 并 根 據(jù) 正 態(tài) 分 布 的 對 稱 性 ， 有：)()(1 dNdN ???，于是可得： ??????????????????????????TTSSPNP??0ln1* ?????????????????????????????????TTrSSPN??2021ln1 ?????????????????????????????????TTrSSPN??2021ln???????????????????????????TTrSPSN??2021ln( .10) 式 ( .10) 中的?也被稱為金融資產(chǎn)的易變性 ( V olatil ity) 。 這樣，求SPST?的概率 *P 的式子( 10 . 0) 中的所有變量都是已知的了，可以很容易的求出*P 。 因此，通常采用的觀察次數(shù)在 20 次至 50 次之間為宜。因為未來的收益變動而不是過去的收益變動才與未來到期期權(quán)的定價有關(guān)。 把( 10 . 0) 式 和 ( 10 . 1) 式 代入方程 ( 10 . ) ，可以得到買權(quán)價格的完整表達(dá)式： ?????????SPdNdNeSedNCrTrT)()()(21020 ( 1 0 . 3 . 1 3 ) 2022/2/16 65 整理得 ： )()(2100dNS P edNSCrT??? ( 1 0 . 3 . 1 4 ) 這就是著名的布萊克 —— 斯科爾斯模型 ， 它給出了買權(quán)的定價公式。 ? 返回節(jié) ? （ 一 ） 基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的價格 ? 現(xiàn)行資產(chǎn)價格越高 ， 買權(quán)的價值越大 ， 期權(quán)費就越高 ． 人們買入買權(quán)就是指望從股價上漲中獲利 。 ? 對于買權(quán)來說 ， 協(xié)議價格越低 ， 期權(quán)價值越大 ， 買權(quán)的價格就越高 。 同時由于貼現(xiàn)率較高 ， 未來同樣預(yù)期贏利的現(xiàn)值就較低 。 返