【正文】 如果有效期內(nèi)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格沒有突破檔板 ， 那么觸消期權(quán)一直有效 ， 而觸發(fā)期權(quán)一直無效 。而對(duì)于呼叫期權(quán) ， 約定價(jià)格的重定日期并非預(yù)先定好的 ， 而是由期權(quán)購買人進(jìn)行判斷 ， 在其認(rèn)為最有利的時(shí)候通過 “ 呼叫 ”來重新制定的 。 最后一種選擇權(quán)買權(quán)和賣權(quán)的到期日不同 ， 行使價(jià)格也不同 ， 所以定價(jià)公式較復(fù)雜 。 返回節(jié) ? 該期權(quán)涉及到二元正態(tài)分布函數(shù) ， 可以得到封閉的解析解 。 但是 ， 只要期權(quán)在到期日那天是價(jià)內(nèi)期權(quán)就必須執(zhí)行 ， 即使其內(nèi)在價(jià)值小于購買價(jià)格時(shí)也是一樣 。 ? 數(shù)字期權(quán)又可分為兩種類型： ? （ 1） “ 有或無型 ” ：該種期權(quán)僅在到期日期權(quán)為價(jià)內(nèi)期權(quán)時(shí)才會(huì)有收益 。 半美式期權(quán)或說百慕大式期權(quán)則正好介于兩者之間 ， 可在期權(quán)有效期內(nèi)幾個(gè)特定的日子上清算執(zhí)行 。 ? 二 、 路徑依賴型期權(quán) ——這類期權(quán)的最終收益不僅依賴于載體資產(chǎn)到期日的價(jià)格 ， 而且取決于隨時(shí)間變化載體資產(chǎn)價(jià)格變化的路徑 。 由于前者的效應(yīng)大于后者 ， 因此對(duì)應(yīng)于較高的無風(fēng)險(xiǎn)利率 ， 買權(quán)的價(jià)格也較高 。 如果某種狀態(tài)的無風(fēng)險(xiǎn)利率較高 ． 則標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率也應(yīng)較高 ． 這意味著對(duì)應(yīng)于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)在特定的市價(jià) ()， 未來預(yù)期價(jià)格較高 。 2022/2/16 67 （二）期權(quán)的行使價(jià)格 ? 期權(quán)收益等于標(biāo)的資產(chǎn)的市價(jià)與協(xié)議價(jià)格之差 。 除此之外 ， B—S模型假設(shè)不支付現(xiàn)金股息和紅利 ， 實(shí)際上 ， 由于大多數(shù)股票都要支付股息或紅利 ， 我們利用 B—S模型定價(jià)時(shí) ， 要依次情況作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整 。 2022/2/16 64 （二）求 的表達(dá)式 )|( SPSSE TT ?為了求出基礎(chǔ)資產(chǎn)到期時(shí)的期望值 )|( SPSSETT? 的表達(dá)式，可以將TS 的對(duì)數(shù)正態(tài)分布曲線 由 SP 到無窮大求積分，結(jié)果就是 ： )()()|(210dNdNeSSPSSErTTT?? ( 1 0 . 3 . 1 1 ) 其中 ： ttrSPSd?? ???????????????20121ln， tdttrSPSd ????????????????????120221ln( 10 . 2) 我們已經(jīng)求出 *P 的表 達(dá)式和)|( SPSSETT?的表達(dá)式，公式中幾個(gè)變量都可以從金融市場直接獲得，或者由交易雙方協(xié)商確定。而我們所要求的是 “ 未來的 ” 易變性。但是釆用的數(shù)值離今天越遙遠(yuǎn)，對(duì)計(jì)算今天易變性的相關(guān)性就越小。 然后，再對(duì)對(duì)數(shù)相對(duì)價(jià)格樣本的方差開方即可得：2???。 越大 ， 基礎(chǔ)金融資產(chǎn)價(jià)格偏離期權(quán)協(xié)定價(jià)格的可能性也越大 。如果SPST?，則0)0,m a x ( ?? SPST， 定義 *P 為SPST?的概率，則有： ? ? ??? )0,()( SPSM a xECETT ? ? ???? )|(* SPSSPSEPTT ? ?SPSPSSEPTT??? )|(* ( 1 0 . 3 . 4 ) 2022/2/16 58 上式求出的TC是買權(quán)到期時(shí)的期望值表達(dá)式，為求出在期權(quán)交易開始時(shí)期權(quán)的價(jià)格．還必須將公式 ( .4) 貼現(xiàn)成現(xiàn)值，結(jié)果如下： ? ?SPSPSSEePCTTrT?????)|(*0 ( .5) 其中：0C表示初始的期權(quán)價(jià)格； r 表示無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利利率。 由于股票價(jià)格幾乎可以取任意多的值，所以期權(quán)的到期價(jià)格理論上也可以取任意多的值，所以期權(quán)價(jià)格的期望值應(yīng)該用連續(xù)形式的期望定義。 令0S表示零時(shí)刻金融資產(chǎn)的價(jià)格；tS表示 t 時(shí)刻金融資產(chǎn)的價(jià)格； ?表示金融資產(chǎn)的年收益率； ? 表示金融資產(chǎn)的年收益的標(biāo)準(zhǔn)差；則收益呈下式所示的正態(tài)分布： ? ?ttNSStt?? ,~ln1????????? ( 1 0 . 3 . 2 ) 2022/2/16 56 其中： ? ?ttN ?? , —— 期望（均值 ) 為 t? ，標(biāo)準(zhǔn)差為 t? 的隨機(jī)正態(tài)分布；由于tttss ???? 1，可以證明價(jià)格的對(duì)數(shù) 的確遵從 正態(tài)分布。 例如零時(shí)刻的股價(jià)為 100 美元，股價(jià)在第一期上升10% 到 1 10 美元，第二期下降 10% 到 99 美元，按傳統(tǒng)的方法計(jì)算，兩期的收益和為 0% 。但是金融資產(chǎn)的收益可 取 正值可取負(fù)值，我們可以證明收益服從正態(tài)分布。 但這個(gè)因素并不是定價(jià)中需要認(rèn)真考慮的主要因素 。 圖 10 . 3 例 10 . 中美式賣權(quán)的二叉樹定價(jià)圖 2022/2/16 50 在 C 點(diǎn)，如果執(zhí)行美式期權(quán)的話，可以取得4 美元的收益，按歐式期權(quán)算得期權(quán)價(jià)格為 美元，因而對(duì)于美式期權(quán)來講，取兩者的最大值，在 C 點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格為 4 美元。 在 C 點(diǎn)，美式期權(quán)是虛值的，按歐式期權(quán)算得期權(quán)價(jià)格為 0 美元，因而對(duì)于美式期權(quán)來講，在 C 點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格為 0 美元?？紤]多期的二叉樹定價(jià)法，在臨近到期日的最后 — 天時(shí)，美式期權(quán)與歐式期權(quán)的定價(jià)是是相同的，都是根據(jù)其到期日的理論價(jià)格來定價(jià)的，而在前面的其他期內(nèi)，美式期權(quán)的價(jià)格要取 m ax( 提前執(zhí)行期權(quán)的收益，歐式期權(quán)定價(jià)法求得的期權(quán)價(jià)格 ) 。試求執(zhí)行價(jià)格為 $40 美元的買權(quán)的合理價(jià)格。 圖 帶有現(xiàn)金股息情況下的二叉樹定價(jià)圖 具體的期權(quán)價(jià)格的計(jì)算如例 類似，只是數(shù)據(jù)的不同而已 （見圖 ） 。 其中，01SpS ??，02)1( SpS ???，)(111DSpS ???，??2112SS pDSpDS )()1)((21?????，)()1(222DSpS ????。 （一） 有股息支付情況下的二叉樹期權(quán)定價(jià)模型 毫無疑問，股息和紅利的支付會(huì)對(duì)股票期權(quán)的定價(jià)產(chǎn)生影響，因?yàn)楣墒幸话銜?huì)在除息日做出調(diào)整，即股票價(jià)格與股息額的等幅的下降。 3 、一般情況下 兩期的買權(quán)定價(jià) 要 比一期的買權(quán)定價(jià)高， 因?yàn)樗臐摿Ω笠恍?，但也有意外的情況。 2022/2/16 42 實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的結(jié)果表明，在一般情況下，將齊全的有效期劃分為 30個(gè)以上的價(jià)格變動(dòng)期，能使二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)達(dá)到理想 可信的水平；反之，如果模型的期數(shù)太少，計(jì)算結(jié)果與均衡價(jià)格之間就會(huì)出現(xiàn)明顯的偏差，模擬結(jié)果失真。 但實(shí)際上這其實(shí)并不能構(gòu)成問題 ， 我們完全可以通過增加期數(shù) （ 或縮短單位時(shí)間長度 ） 來擴(kuò)大股票價(jià)格變動(dòng)的范圍 ， 從而使二叉樹期權(quán)定價(jià)模型更加準(zhǔn)確地反映金融市場的運(yùn)行情況 。 2022/2/16 37 例 ，仍然假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為 6 ％，某種股票的當(dāng)前價(jià)格為每股 $40 美元，與例 不同的是我們不是預(yù)期 3 個(gè)月后的股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格，而是預(yù)期 3 個(gè)月和 6 個(gè)月后的 價(jià)格 變化 。而如果股票價(jià)格分別為11S、21S、12S、22S時(shí)，則該期權(quán)的價(jià)格分別為11f、21f、12f、22f，由于是買權(quán)，可知22f=0 。從單期的期權(quán)定價(jià)公式可以看出，無論是買權(quán)還是賣權(quán)，他們具有相同形式的定價(jià)公式（見式 ( 10 . 2. 14 ) 和式 ( 10. 2 . 20 ) ），因此，對(duì)于兩期的歐式期權(quán)定價(jià)公式，我們可以將買權(quán)和賣權(quán)放在一起討論。試求執(zhí)行價(jià)格為 $40 美元的賣權(quán)的合理價(jià)格。當(dāng)股票價(jià)格上漲到1S 時(shí)，則該期權(quán)的理論價(jià)值1f 就為 0 ，而如果股票價(jià)格下跌到2S 時(shí)，其行使價(jià)格為0S 的賣權(quán)，其理論價(jià)值2f 就為01SS ? 。 21012121SSSSSSff??????? ( 1 0 . 2 . 1 1 ) 資產(chǎn)組合現(xiàn)值與初始投資值應(yīng)該相等： 002fSeSTrf?????? ( 10. 2. 12 ) 整理上式得 ： TrfeSSf???????200 ( 10. 2. 13 ) ( 10. 2. 12 ) 式即為連續(xù)復(fù)利下買權(quán)的定價(jià)公式。 2022/2/16 28 下面推導(dǎo)連續(xù)復(fù)利下單期的歐式買權(quán)的定價(jià)公式。當(dāng)股票價(jià)格上漲時(shí)，現(xiàn)貨多頭獲利，但是所賣出的買權(quán)價(jià)格上升會(huì)造成期權(quán)空頭的虧損。 ? [3]既沒有人要求更高的回報(bào)率來補(bǔ)償其進(jìn)行的證券投資 ， 這使得所有投資于有價(jià)證券的回報(bào)都是相等的 ， 都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率 。 這一假設(shè)條件可能會(huì)極大影響期權(quán)的真正成本 ， 也是造成不同期權(quán)市場實(shí)際期權(quán)費(fèi)差異的主要因素 。 接下來我們將簡單介紹期權(quán)定價(jià)的兩個(gè)最著名的模型：二叉樹期權(quán)定價(jià)模型和布萊克 —斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 。 例 8 . ： 假設(shè)當(dāng)前股價(jià)為 每股 52 元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 5% ，有效期 3 個(gè)月的賣權(quán)其行使價(jià)格為 每股 50 元，期權(quán)費(fèi)為 每股 元。買權(quán)、賣權(quán)、股票價(jià)格以及無風(fēng)險(xiǎn)利率是互為聯(lián)系的金融變 量 。 ? 在時(shí)刻 t=T， 如賣權(quán)為虛值 ， 組合 B的價(jià)值也為：ST；如賣權(quán)為實(shí)值 ， 則組合 B的價(jià)值為： SP。 這是因?yàn)闊o風(fēng)險(xiǎn)利率 r的增加提高了現(xiàn)在不轉(zhuǎn)換為現(xiàn)金的成本 ， 波動(dòng)率 σ的減少降低了在以后的時(shí)間里期權(quán)能更加獲利的可能性 。 另一個(gè)原因是由于貨幣的時(shí)間價(jià)值 ， 越晚支付等于行使價(jià)格的貨幣越好 。 ? 對(duì)于買權(quán)不應(yīng)提前行使的原因 ， 我們可以從理論上作以解釋 。 由于： ? () ? 可以得出期權(quán)的市場價(jià)格要高于： ? 否則就會(huì)存在套利機(jī)會(huì) 。 這是因?yàn)闊o論你是否提前行使期權(quán) ，在到期日你所具有的財(cái)富都是一份股票 ， 然而前者需要你在一個(gè)月前就支付 30元錢 ， 而后者的支付則要晚一個(gè)月 ， 選擇后者為你節(jié)省了利息 。 返回節(jié) ? 首先 ， 如果投資者計(jì)劃在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ， 則提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 如果SPST?，賣權(quán)盈利正好抵消股票現(xiàn)貨的損失，所以該 組合的價(jià)值為 0 。 因而 ，對(duì)于 美式賣權(quán)的 價(jià)格tp 來說，應(yīng)該有如下的不等式成立 ： ),0(TtSSPM a xp ?? ( 10. 1. 9) 我們?cè)賮順?gòu)造一個(gè)組合來估計(jì)歐式賣權(quán)的下限 。因此應(yīng)該有： ),0()( tTrttS PeSMa xC???? ( 10. 1. 7) 基于上面的結(jié)論，對(duì)于 美 式買權(quán)的價(jià)格tc來說，也應(yīng)該有如下的 不等式： ),0()( tTrttS P eSMa xc???? ( 10. 1. 8) 這是因?yàn)槊朗劫I權(quán)具有可以提前行使的性質(zhì)，這使得美式期權(quán)至少具有與歐式期權(quán)相同的價(jià)值，即 有 ： ttCc ?。這是因?yàn)橘I權(quán)的價(jià)值為 0 ，現(xiàn)金價(jià)值為 SP ，股票空頭的價(jià)值為TS?，組合在時(shí)刻 T 的價(jià)值就為：TTSSPSSP ????0。 由美式買權(quán)下限的結(jié)論，我們可以得出歐式買權(quán)在時(shí)刻 t = T 的價(jià)值 為：),0( SPSM a xCTT??。因而 ，對(duì)于 美式買權(quán)的 價(jià)格tc 來說，應(yīng)該有如下的不等式 ： ),0( SPSM a xcTt?? ( 10. 1. 4) 對(duì)于歐式 期權(quán) 來說 ，其 價(jià)格的 下限的確定就沒有如此明顯了，我們將通過構(gòu)造一個(gè)資產(chǎn)組合來估計(jì)它的下限。 因此，對(duì)于美式賣權(quán) 的價(jià)格tp來說 ，應(yīng)有： tp? S P ( 1 0 . 1 . 2 ) 而 對(duì)于歐式 賣 權(quán)，我們知道在 T 時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值也不會(huì)超過 SP 。 可見在任何情況下，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過股票的價(jià)值。 在這一節(jié)中，我們將推導(dǎo) 單股股票 期權(quán)價(jià)格的上下限 ，如果不加以特別的說明，在以后的討論中 。如果期權(quán)的價(jià)格超過其上限或低于其下限，則套利就有利可圖。 因此，股票價(jià)格tS就 是 買 權(quán)價(jià)格的上限 ，即對(duì)于美