【正文】 權(quán)而不是持有股票本身時(shí) ，買權(quán)保證持有者在股票價(jià)格下降到行使價(jià)格之下時(shí)不受損失 。 一旦該期權(quán)被行使 ， 投資者選擇了持有股票 ， 這種保險(xiǎn)就消失了 。 另一個(gè)原因是由于貨幣的時(shí)間價(jià)值 ， 越晚支付等于行使價(jià)格的貨幣越好 。 SPSS P eSC tTr ???? ?? )(2022/2/16 19 四、美式賣權(quán)的提前行使 ? 賣權(quán)與買權(quán)不同 ， 提前行使可能是更有利的 ， 我們可以考慮一個(gè)極端的例子 ，假設(shè)期權(quán)的行使價(jià)格為 10元 ， 此時(shí)股票價(jià)格為 0， 由于股票價(jià)格不會(huì)為負(fù) ， 因而此時(shí)行使賣權(quán)可以獲取最大收益 。 即便股票價(jià)格一直為 0， 提前獲得 10元的收益也要比等到期權(quán)到期時(shí)才拿到這 10元有利一些 。 ? 一般說來 ， 隨著股票價(jià)格 S的減少 ， 無風(fēng)險(xiǎn)利率 r的增加和股票價(jià)格的波動(dòng)率 σ的減少 ， 提前行使賣權(quán)就更有利 。 這是因?yàn)闊o風(fēng)險(xiǎn)利率 r的增加提高了現(xiàn)在不轉(zhuǎn)換為現(xiàn)金的成本 ， 波動(dòng)率 σ的減少降低了在以后的時(shí)間里期權(quán)能更加獲利的可能性 。 2022/2/16 20 五、賣權(quán)與買權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 ? 在時(shí)刻 t=0， 考慮下面兩個(gè)組合： 返回電子版主頁 ? 組合 A：一份行使價(jià)格為 SP的歐式買權(quán)和價(jià)值為 ? 的現(xiàn)金 。 ? 組合 B： 1份行使價(jià)格為 SP的歐式賣權(quán)和 1手股票 。 ? 在時(shí)刻 t=T， 如買權(quán)為實(shí)值 ， 組合 A的價(jià)值為：SP+(STSP)=ST；如買權(quán)為虛值 ， 組合 A的價(jià)值為 SP。 ? 在時(shí)刻 t=T， 如賣權(quán)為虛值 ， 組合 B的價(jià)值也為：ST；如賣權(quán)為實(shí)值 ， 則組合 B的價(jià)值為： SP。 ? 于是 ， 當(dāng)股價(jià)上漲時(shí) ， 買權(quán)為實(shí)值 ， 賣權(quán)為虛值 ，此時(shí)組合 A、 B的價(jià)值都為： ST；當(dāng)股價(jià)下跌時(shí) ， 買權(quán)為虛值 ， 賣權(quán)為實(shí)值 ， 此時(shí)組合 A、 B的價(jià)值都為 SP。 ? 由于組合 A、 B的收益相同 ， 因而一定有相同價(jià)格 ，否則套利就會(huì)存在 。 于是 ， 我們可以得到表達(dá)式： ? Ct+SP er(Tt)=St+Pt () )( tTrS P e ??2022/2/16 21 這就是歐式看漲和賣權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 ( P ut C al l P a ri t y) 。買權(quán)、賣權(quán)、股票價(jià)格以及無風(fēng)險(xiǎn)利率是互為聯(lián)系的金融變 量 。如果知道了其中的的三個(gè)，就可以確定第四個(gè)變量的均衡值。 上式中各個(gè)組成部分也可寫成： )( tTrtttS P ePSC????? ( 1 7 ) )( tTrtttS P ePCS????? ( 1 8 ) )( tTrtttS P eSCP????? ( 1 9 ) ttttTrPCSS P e ????? )( ( 1 . 20 ) 等號(hào)左邊所表示的資產(chǎn)可以通過右邊的組合表示出來。等號(hào)右邊的資產(chǎn)也就是等號(hào)左邊資產(chǎn)的組成元素。 例 8 . ： 假設(shè)當(dāng)前股價(jià)為 每股 52 元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 5% ，有效期 3 個(gè)月的賣權(quán)其行使價(jià)格為 每股 50 元，期權(quán)費(fèi)為 每股 元。試確定有效期和行使價(jià)格都相同的買權(quán)的期權(quán)費(fèi)是多少。 由平價(jià)定理 ，可得 ： )(???????????eS P ePSCtTrttt 2022/2/16 22 第二節(jié) 二叉樹期權(quán)定價(jià)法 ? 在前面我們分析了期權(quán)價(jià)格的界定范圍 ， 說明期權(quán)的價(jià)格必須滿足某些限制條件 ， 否則會(huì)引起套購活動(dòng)的發(fā)生 。 但期權(quán)價(jià)格的確切數(shù)值是如何確定的 ？ 這是個(gè)根本性的問題 。 接下來我們將簡單介紹期權(quán)定價(jià)的兩個(gè)最著名的模型：二叉樹期權(quán)定價(jià)模型和布萊克 —斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型 。 其中二叉樹 (Binomial Tree)期權(quán)定價(jià)模型最早是由考克斯 (Cox) 、 羅斯 (Ross) 和魯賓斯坦(Rubinstein)(1979年 )提出的 ， 他們所依據(jù)的原則也是無套利原則以及風(fēng)險(xiǎn)中性原則 。 返回章 ? 一 、 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件 ? 二 、 單期歐式期權(quán)的定價(jià)模型 ? 三 、 兩期的歐式期權(quán)定價(jià)模型 ? 四 、 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的其他應(yīng)用 2022/2/16 23 一、二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件 ? 股票市場(chǎng)是有效的； ? 存在著股票的賣空機(jī)制 ， 但不存在套利機(jī)會(huì)； ? 股票和期權(quán)合約的買賣不涉及交易成本 、也不考慮稅收； [1] ? 市場(chǎng)參與者可按已知的無風(fēng)險(xiǎn)利率無限制地借入借出資金； ? 無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)； [2] ? 金融市場(chǎng)上的投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中立者；[3] ? 假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格在離散的或不連續(xù)的時(shí)間內(nèi)服從一個(gè)倍增的二項(xiàng)式過程 。 2022/2/16 24 注釋 ? [1]顯然這一假設(shè)不符合實(shí)際 ， 因?yàn)榧词故墙灰状髲d的交易商也要支付費(fèi)用 。 這一假設(shè)條件可能會(huì)極大影響期權(quán)的真正成本 ， 也是造成不同期權(quán)市場(chǎng)實(shí)際期權(quán)費(fèi)差異的主要因素 。 但這一假設(shè)的確能充分地簡化我們的理論推導(dǎo) 。 ? [2]無風(fēng)險(xiǎn)利率是金融業(yè)常用的一個(gè)術(shù)語 ，實(shí)際上并不存在真正無風(fēng)險(xiǎn)的利率 。 在西方金融市場(chǎng)上 ， 一般會(huì)采用離到期還有 30天的美國短期國庫券 (TBill)利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率的近似替代品 ， 但即使是這種利率 ， 也是在每天發(fā)生變化 。 ? [3]既沒有人要求更高的回報(bào)率來補(bǔ)償其進(jìn)行的證券投資 ， 這使得所有投資于有價(jià)證券的回報(bào)都是相等的 ， 都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率 。 2022/2/16 25 二、單期歐式期權(quán)的定價(jià)模型 返回節(jié) （一）歐式買權(quán)的定價(jià)模型 假設(shè)現(xiàn)期 時(shí) 股票價(jià)格為0S ，在無風(fēng)險(xiǎn)利率fr 之下，在任何一個(gè)單位時(shí)間段內(nèi)，股票價(jià)格的預(yù)期變動(dòng)只取兩個(gè)可能值，即 ： 股票價(jià)格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S ， 其 概率服從二次分布，分別為 p 和pq ?? 1。 當(dāng)股票價(jià)格上漲到1S 時(shí)，其行使價(jià)格為0S 的買權(quán)，其理論價(jià)值1f 就是01SS ? ，而如果股票價(jià)格下跌到2S 時(shí)，則該期權(quán)的理論價(jià)值2f 就為 0( 見圖 10 . 2. 1 ) 另一方面，如果購買了0S美元的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那么在無套利假定之下，m 個(gè)月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值應(yīng)為股票的期望價(jià)值： 210)1(121 SppSmrSf??????????? ( 10 . 2. 1) 于是 ， 可以解得概率 ： 2120121SSSmrSpf??????????? ( 1 0 . 2 . 2 ) 2022/2/16 26 現(xiàn)在考慮以價(jià)格0f 賣出一份買權(quán)，以及按照套頭率 △ ，以價(jià)格0S 購買 △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 3 ) 圖 10. 2. 1 單期歐式 買 權(quán) 的 二叉樹定價(jià)圖 當(dāng)股票價(jià)格上升到1P時(shí)，該組合的價(jià)值為：)(01111SSSfS ????????。 當(dāng)股票價(jià)格下降到2S時(shí)，該組合的價(jià)值為：??????222SfS美元。當(dāng)股票價(jià)格上漲時(shí)，現(xiàn)貨多頭獲利，但是所賣出的買權(quán)價(jià)格上升會(huì)造成期權(quán)空頭的虧損。反之，當(dāng)股票價(jià)格下跌時(shí)、現(xiàn)貨多頭虧損，但是所賣出的買權(quán)價(jià)格下降會(huì)造成期權(quán)空頭的獲利。 2022/2/16 27 因此，適當(dāng)?shù)?△ 可以使上面這個(gè)證券組合成為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因此， m 個(gè)月后股票價(jià)格上升與股票價(jià)格下降時(shí)的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值相同，從期權(quán)的理論價(jià)格方面來說，即有： 2211fSfS ??????? ( 10. 2. 4) 于是，可以解得： 21012121SSSSPPff??????? ( 1 0 . 2 . 5 ) 期權(quán)的價(jià)格也可由 ( 10. 2. 8) 式可以解得。先根據(jù) ( 10. 2. 2) 式得到： 3545123???????????p 由 ( 10. 2. 2) 式可得期權(quán)真實(shí)價(jià)格： ??????1230)4045(f2. 76 美元 上面的討論都是在單利的條件下進(jìn)行的討論，如果在連續(xù)復(fù)利的條件下，買權(quán)的定價(jià)公式形式就有所更改。 2022/2/16 28 下面推導(dǎo)連續(xù)復(fù)利下單期的歐式買權(quán)的定價(jià)公式。 同樣假設(shè)現(xiàn)期股票價(jià)格為0S ，在無風(fēng)險(xiǎn)利率fr 之下，股票價(jià)格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S，概率分別為 p 和pq ?? 1。當(dāng)股票價(jià)格上漲到1S 時(shí)，其行使價(jià)格為0S 的買權(quán)，其理論價(jià)值1f 就是01SS ? ，而如果股票價(jià)格下跌到2P時(shí)，則該期權(quán)的理論價(jià)值2f就為 0 。 如果購買了0S美元的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那么在無套利假定之下， m 個(gè)月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值應(yīng)為股票的期望價(jià)值： 210)1( SppSeSTrf??? ( 1 0 . 2 . 9 ) 2022/2/16 29 整理得： 2120SSSeSpTrf??? ( 10. 2. 10 ) 在連續(xù)復(fù)利的條件下，對(duì)式 ( 10. 2. 4 ) ， ( 10. 2. 5 ) 中 D 的討論保持不變。 21012121SSSSSSff??????? ( 1 0 . 2 . 1 1 ) 資產(chǎn)組合現(xiàn)值與初始投資值應(yīng)該相等： 002fSeSTrf?????? ( 10. 2. 12 ) 整理上式得 ： TrfeSSf???????200 ( 10. 2. 13 ) ( 10. 2. 12 ) 式即為連續(xù)復(fù)利下買權(quán)的定價(jià)公式。 同樣，我們也可以把 ( 10 . 2. 12 )式整理為用 P 表示的表達(dá)式，整理的結(jié)果為 ： ? ?TrTrffeSSpefppff??????? )()1(01000 ( 10. 2. 14 ) 2022/2/16 30 例 10 . 2 . 2 ，繼續(xù)使用例 10 . 2. 1 中的數(shù)據(jù)：0S ＝ $40 美元，1S ＝ $45 美元，2S = $3 5 美元， fr ＝ 6 ％， m ＝ 3 。 由 ( 10 . 2. 1 1) 式 ， 可 解得 ：4 5 4 00 .54 5 3 5D = =， 代入 ( 10 . 2 . 13 ) 式 ， 有 ： 0)(?????? ef= 2. 76 美元 也 可以由 ( 10 . 2. 10 ) 式和 ( 10 . 2. 14 ) 式求得 ， 由 ( 10 . 2. 10 ) 式可得 ： 35453540?????ep 代入 ( 10 . 2. 14 ) 式 ， 可 得 ： 0)4045(???? ef= 2. 76 美元 即買權(quán)的價(jià)格為 2. 76 美元。 2022/2/16 31 （二）歐式賣權(quán)的定價(jià)模型 返回章 假設(shè)現(xiàn)期股票價(jià)格為0P ，在無風(fēng)險(xiǎn)利率fr 之下，在任何一個(gè)單位時(shí)間段內(nèi)，股票價(jià)格的預(yù)期變動(dòng)只取兩個(gè)可能值，即股票價(jià)格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S ，概率服從二次分布，分別為 p 和 pq ?? 1 。當(dāng)股票價(jià)格上漲到1S 時(shí)，則該期權(quán)的理論價(jià)值1f 就為 0 ，而如果股票價(jià)格下跌到2S 時(shí)，其行使價(jià)格為0S 的賣權(quán)，其理論價(jià)值