【正文】 2022/2/16 1 《 金融工程學基礎(chǔ) 》 第十章期權(quán)定價 （ 返回電子版主頁 ）（ 返回 ） 周愛民 主編 參編：羅曉波、王超穎、譚秋燕、穆菁、 張紹坤、周霞、周天怡、陳婷婷 ? 南開大學經(jīng)濟學院金融學系 ? ? 天津市 (300071) 2022/2/16 2 第十章 期權(quán)定價 ?第一節(jié) 期權(quán)價格的上下限 ?第二節(jié) 二叉樹期權(quán)定價法 ?第三節(jié) BlackScholes模型 ?第四節(jié) 新型期權(quán) 2022/2/16 3 本章所用到符號 S P ：期權(quán)的行 使 價格； T ：期權(quán)的到期時間； tT ? : 期權(quán)距到期日在一年時間中的比率； tS ：股票在時刻 t 的價格； tC ： 單股股票 歐式買權(quán)在時刻 t 的價格； tc ： 單股股票 美式買權(quán)在時刻 t 的價格； tP ： 單股股票 歐式賣權(quán)在時刻 t 的價格； tp： 單 股股票 美式賣權(quán)在時刻 t 的價格； r ： 在 T 時刻到期的投資的無風險利率。 在這一節(jié)中，我們將推導(dǎo) 單股股票 期權(quán)價格的上下限 ，如果不加以特別的說明，在以后的討論中 。如果期權(quán)的價格超過其上限或低于其下限，則套利就有利可圖。我們通過消除這些無風險套利機會來確定期權(quán)的上下限。 2022/2/16 4 第一節(jié) 期權(quán)價格的上下限 ?一、買權(quán)與賣權(quán)的上限 ?二 、 買權(quán)與賣權(quán)的下限 ?三 、 美式買權(quán)的提前行使 ?四 、 美式賣權(quán)的提前行使 ?五 、 賣權(quán)與買權(quán)之間的平價關(guān)系 2022/2/16 5 一、買權(quán)與賣權(quán)的上限 ? （ 一 ） 買權(quán)的上限 ? （ 二 ） 賣權(quán)的上限 2022/2/16 6 （一）買權(quán)的上限 （一）買權(quán)的上限 單股股票（以下討論同） 美式買權(quán)或歐式買權(quán)的最大價格就 是 t 時刻的股票價格tS ， 這是因為 單股 美式買權(quán)或歐式買權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 事先 確定的 行使 價格 SP 來 購買一 股 股票，如果買權(quán)的價格大于股票價格，則套利者可以通過購買股 票并賣出買權(quán)，輕易地獲得無風險利潤。 可見在任何情況下，期權(quán)的價值都不會超過股票的價值。 因此，股票價格tS就 是 買 權(quán)價格的上限 ，即對于美式買權(quán)的價格tc及歐式買權(quán)的價格tC來說，應(yīng)有不等式： tc?tS；tC?tS ( 10 . 1. 1) 2022/2/16 7 （二）賣權(quán)的上限 （二）賣權(quán)的上限 當然，美式賣權(quán)的最大價格 應(yīng)該是 其 行使 價格 SP ， 而歐式期權(quán)的最大價格 則應(yīng)該是 其 行使 價格 SP 的貼現(xiàn)值。 這是因為 單股的 美式賣權(quán)或歐式賣權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 行使價格 SP 出售一股股票，如果美式賣權(quán)的價格大于行 使 價格，或者歐式賣權(quán)的價格大于其行 使 價格的貼現(xiàn)值，則套利者可以通過出售賣權(quán)并將所得收入以無風險利率進行投資， 便 獲得無風險收益。 只有在股票價格tS=0 時，賣權(quán)才會達到其最大價格。 因此，對于美式賣權(quán) 的價格tp來說 ，應(yīng)有： tp? S P ( 1 0 . 1 . 2 ) 而 對于歐式 賣 權(quán)，我們知道在 T 時刻期權(quán)的價值也不會超過 SP 。 因而 賣權(quán) 的價格tP在 t 時刻的價值不會超過行 使 價格 SP 的貼現(xiàn)值： )( tTrtS PeP??? ( 10. 1. 3) 2022/2/16 8 二、買權(quán)與賣權(quán)的下限 ? （一）買權(quán)的下限 ? （ 二 ） 賣權(quán)的下限 2022/2/16 9 （一）買權(quán)的下限 （ 一）買權(quán)的下限 對于美式買權(quán)，由于隨 時 都可以 行使，因而它的最小價值一定是期權(quán)的內(nèi)在價值。 對于虛值期權(quán)和平價期權(quán) 來說 ，期權(quán)價值的最小值為 0 ；對于實值期權(quán) 來說 ，買權(quán)價值的最小值即為其內(nèi)在價值SPST?。 如果這一關(guān)系不成立的話，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價值的價格購入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來獲得無風險利潤。因而 ，對于 美式買權(quán)的 價格tc 來說，應(yīng)該有如下的不等式 ： ),0( SPSM a xcTt?? ( 10. 1. 4) 對于歐式 期權(quán) 來說 ，其 價格的 下限的確定就沒有如此明顯了，我們將通過構(gòu)造一個資產(chǎn)組合來估計它的下限。 事實上我們可以簡單地證明： 歐式買權(quán)的下限是)( tTrtS P eS???。 為了給出正式的證明，我們考慮在時刻 t 時的如下組合： 1 股股票的空頭及 1 股相應(yīng)的 歐式買權(quán) 再 加上金額為)( tTrS P e??的 現(xiàn)金。 2022/2/16 10 在時刻 t = 0 ，這一組合的價值為：00SS P eCrT???；在時刻t = T ，這一組合的價值為：TTSSPC ?? 。 由美式買權(quán)下限的結(jié)論，我們可以得出歐式買權(quán)在時刻 t = T 的價值 為：),0( SPSM a xCTT??。 如果SPST?，買權(quán)為實值期權(quán)，則在 T 時刻應(yīng)行使買權(quán)，組合的價值為 0 。這是因為買權(quán)的價值為SPST?，現(xiàn)金價值為 SP ，股票空頭的價值為 TS?，組合在時刻 T 的價值就為：0????TTSSPSPS。 如果 TSSP ?， 買權(quán)為虛值期權(quán)，期權(quán)不會被行使，組合會有一個正的價值：TSSP ?。這是因為買權(quán)的價值為 0 ，現(xiàn)金價值為 SP ，股票空頭的價值為TS?，組合在時刻 T 的價值就為：TTSSPSSP ????0。 2022/2/16 11 可以看出，無論期權(quán)在到期時是實值的、平價的還是虛值的，我們所構(gòu)造的組合的價值或者為零或者大于零，不會得到一個負的價值。如果在套利者消除了那些無風險套利機會后，我們 就 可以發(fā)現(xiàn)：一份絕不會造成凈支出的組合是不可能有一個負價格的。因而，我們能夠得出在時刻 t ，有： 0)(?????ttTrtSS PeC ( 10. 1. 5) 或者寫成： )( tTrttS P eSC???? ( 10. 1. 6) 由于對于一個歐式買權(quán)來說，可能發(fā)生的 最壞情況是期權(quán)到期時其價值為零，這意味著期權(quán)的價值必須為正值，即0?tC。因此應(yīng)該有： ),0()( tTrttS PeSMa xC???? ( 10. 1. 7) 基于上面的結(jié)論，對于 美 式買權(quán)的價格tc來說，也應(yīng)該有如下的 不等式： ),0()( tTrttS P eSMa xc???? ( 10. 1. 8) 這是因為美式買權(quán)具有可以提前行使的性質(zhì)，這使得美式期權(quán)至少具有與歐式期權(quán)相同的價值，即 有 ： ttCc ?。 2022/2/16 12 （二）賣權(quán)的下限 對于美式賣權(quán)，由于隨時 可以 行 使 ，因而它的最小價值一定是期權(quán)的內(nèi)在價值。 對于虛值期權(quán)和平價期權(quán)，期權(quán)價值的最小值為 0 ；對于實值期權(quán)，賣權(quán)價值的最小值即為 其內(nèi)在價值 SSP ? 。 如果這一關(guān)系不成立的話，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價值的價格購入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來獲得無風險利潤。 因而 ，對于 美式賣權(quán)的 價格tp 來說，應(yīng)該有如下的不等式成立 ： ),0(TtSSPM a xp ?? ( 10. 1. 9) 我們再來構(gòu)造一個組合來估計歐式賣權(quán)的下限 。 在時刻 t =0 時 有以下資產(chǎn)組合： 1 股股票及 1 股相應(yīng)的 歐式賣權(quán) 再加上金額 為)( tTrS P e??的現(xiàn)金 借貸。 在時刻 t =T ，這一 組合的價值為：SPSPTT??。 如果SPST?，則期權(quán)不會 被 行使，該組合的價值為：SPSSPSPTTT????0 。 如果SPST?，賣權(quán)盈利正好抵消股票現(xiàn)貨的損失，所以該 組合的價值為 0 。 所以， 在時刻 t =0 時，應(yīng) 有： 000???? rTS P eSP ( 10. 1. 10) 2022/2/16 13 同理，我們又構(gòu)造了一個價值或者為零或者大于零的組合，不會得到一個負的價值。由于一份絕不會造成凈支出的組合是不可能有一個負價格的，我們可以得出 ： 0)(????? tTrttS P eSP ( 10 . 1. 11 ) 或者寫成： ttTrtSS P eP ???? )( ( 10 . 1. 12 ) 因而，我們得到歐式賣權(quán)在時刻 t = 0 的下限為： ),0(00SS P eMa xPrT??? ( 10 . 1. 13 ) 所以，一般 情況下應(yīng)有： ),0()(ttTrtSS P eM a xP ???? ( 10 . 1. 1 4 ) 現(xiàn)在，我們可以總結(jié)一下在任意時刻 t ( t ? T ) 期權(quán)的上下限，見表 10 . 1. 1 。 2022/2/16 14 表 期權(quán)價格的上下限 期權(quán)種類 價格下限 價格上限 歐式買權(quán) ),0()( tTrtS P eSMa x??? tS 美式買權(quán) ),0( SPSM a x T ? tS 歐式賣權(quán) ),0()(ttTrSS P eMa x ??? )( tTrS P e?? 美式賣權(quán) ),0(TSSPM a x ? SP 2022/2/16 15 三、美式買權(quán)的提前行使 ? 美式買權(quán)的提前行使是否明智 ？ 通過下面的討論 ， 我們可以看出：提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 返回節(jié) ? 首先 ， 如果投資者計劃在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ， 則提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 假設(shè)投資者擁有一份買權(quán) ， 并且期權(quán)處于實值狀態(tài) （ 如果期權(quán)是虛值狀態(tài)的話 ， 投資者當然不會提前行使期權(quán) ） ， 比如期權(quán)的行使價格為 30元 ， 距到期日還有一個月 ， 無風險利率為 10%， 股票價格為 50元 。 2022/2/16 16 ? 此時投資者有提前行使期權(quán)的動力 ， 但是如果投資者希望在行使期權(quán)后繼續(xù)持有該股票一個月 （ 即在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ） ， 那么提前行使期權(quán)就是不明智的 。 選擇持有期權(quán)并在到期日行使期權(quán) ， 這是更好的策略 。 這是因為無論你是否提前行使期權(quán) ，在到期日你所具有的財富都是一份股票 ， 然而前者需要你在一個月前就支付 30元錢 ， 而后者的支付則要晚一個月 ， 選擇后者為你節(jié)省了利息 。 不僅如此 ， 如果股票的價格在一個月后跌到 30元以下 ， 沒有提前行使期權(quán)的投資者一定會慶幸自己做出了正確的選擇 。 2022/2/16 17 我們還可以得到另一個結(jié)論： ? 即便在投資者認為股票價格被高估的情況下 ， 提前行使期權(quán)仍不是最好的選擇 。 如果投資者認為股票價格被高估 ， 那么他的最優(yōu)選擇應(yīng)該是出售期權(quán)而并非行使它 （ 另一種可以選擇的做法是投資者持有期權(quán)并出售股票 ， 這樣就可以把利潤鎖定在 20元以上 ） 。 由于： ? () ? 可以得出期權(quán)的市場價格要高于： ? 否則就會存在套利機會 。 美式買權(quán)不該提前行使也可以通過下面的式子來說明 。 ),0( )( tTrtt S P eSM a xC ???? 0 8 3 3 ?? ??e2022/2/16 18 三、美式買權(quán)的提前行使 ? 由于 ， 如果提前行使是明智的 ， 那么該期權(quán)會獲得 SSP的收入 ，即 C應(yīng)等于 SSP， 小于美式期權(quán)的最小價值 。 因而我們可得到結(jié)論：提前行使期權(quán)是不明智的 。 ? 對于買權(quán)不應(yīng)提前行使的原因 ， 我們可以從理論上作以解釋 。 第一個理由在于期權(quán)能夠提供保險 。 當投資者持有買