【正文】 2022/2/16 1 《 金融工程學(xué)基礎(chǔ) 》 第十章期權(quán)定價(jià) （ 返回電子版主頁(yè) ）（ 返回 ） 周愛(ài)民 主編 參編：羅曉波、王超穎、譚秋燕、穆菁、 張紹坤、周霞、周天怡、陳婷婷 ? 南開(kāi)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院金融學(xué)系 ? ? 天津市 (300071) 2022/2/16 2 第十章 期權(quán)定價(jià) ?第一節(jié) 期權(quán)價(jià)格的上下限 ?第二節(jié) 二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)法 ?第三節(jié) BlackScholes模型 ?第四節(jié) 新型期權(quán) 2022/2/16 3 本章所用到符號(hào) S P ：期權(quán)的行 使 價(jià)格； T ：期權(quán)的到期時(shí)間； tT ? : 期權(quán)距到期日在一年時(shí)間中的比率； tS ：股票在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tC ： 單股股票 歐式買(mǎi)權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tc ： 單股股票 美式買(mǎi)權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tP ： 單股股票 歐式賣(mài)權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tp： 單 股股票 美式賣(mài)權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； r ： 在 T 時(shí)刻到期的投資的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 在這一節(jié)中，我們將推導(dǎo) 單股股票 期權(quán)價(jià)格的上下限 ，如果不加以特別的說(shuō)明，在以后的討論中 。如果期權(quán)的價(jià)格超過(guò)其上限或低于其下限，則套利就有利可圖。我們通過(guò)消除這些無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)來(lái)確定期權(quán)的上下限。 2022/2/16 4 第一節(jié) 期權(quán)價(jià)格的上下限 ?一、買(mǎi)權(quán)與賣(mài)權(quán)的上限 ?二 、 買(mǎi)權(quán)與賣(mài)權(quán)的下限 ?三 、 美式買(mǎi)權(quán)的提前行使 ?四 、 美式賣(mài)權(quán)的提前行使 ?五 、 賣(mài)權(quán)與買(mǎi)權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 2022/2/16 5 一、買(mǎi)權(quán)與賣(mài)權(quán)的上限 ? （ 一 ） 買(mǎi)權(quán)的上限 ? （ 二 ） 賣(mài)權(quán)的上限 2022/2/16 6 （一）買(mǎi)權(quán)的上限 （一）買(mǎi)權(quán)的上限 單股股票（以下討論同） 美式買(mǎi)權(quán)或歐式買(mǎi)權(quán)的最大價(jià)格就 是 t 時(shí)刻的股票價(jià)格tS ， 這是因?yàn)?單股 美式買(mǎi)權(quán)或歐式買(mǎi)權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 事先 確定的 行使 價(jià)格 SP 來(lái) 購(gòu)買(mǎi)一 股 股票，如果買(mǎi)權(quán)的價(jià)格大于股票價(jià)格，則套利者可以通過(guò)購(gòu)買(mǎi)股 票并賣(mài)出買(mǎi)權(quán)，輕易地獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。 可見(jiàn)在任何情況下，期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過(guò)股票的價(jià)值。 因此，股票價(jià)格tS就 是 買(mǎi) 權(quán)價(jià)格的上限 ，即對(duì)于美式買(mǎi)權(quán)的價(jià)格tc及歐式買(mǎi)權(quán)的價(jià)格tC來(lái)說(shuō)，應(yīng)有不等式： tc?tS；tC?tS ( 10 . 1. 1) 2022/2/16 7 （二）賣(mài)權(quán)的上限 （二）賣(mài)權(quán)的上限 當(dāng)然，美式賣(mài)權(quán)的最大價(jià)格 應(yīng)該是 其 行使 價(jià)格 SP ， 而歐式期權(quán)的最大價(jià)格 則應(yīng)該是 其 行使 價(jià)格 SP 的貼現(xiàn)值。 這是因?yàn)?單股的 美式賣(mài)權(quán)或歐式賣(mài)權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 行使價(jià)格 SP 出售一股股票，如果美式賣(mài)權(quán)的價(jià)格大于行 使 價(jià)格，或者歐式賣(mài)權(quán)的價(jià)格大于其行 使 價(jià)格的貼現(xiàn)值，則套利者可以通過(guò)出售賣(mài)權(quán)并將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資， 便 獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。 只有在股票價(jià)格tS=0 時(shí)，賣(mài)權(quán)才會(huì)達(dá)到其最大價(jià)格。 因此，對(duì)于美式賣(mài)權(quán) 的價(jià)格tp來(lái)說(shuō) ，應(yīng)有： tp? S P ( 1 0 . 1 . 2 ) 而 對(duì)于歐式 賣(mài) 權(quán)，我們知道在 T 時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值也不會(huì)超過(guò) SP 。 因而 賣(mài)權(quán) 的價(jià)格tP在 t 時(shí)刻的價(jià)值不會(huì)超過(guò)行 使 價(jià)格 SP 的貼現(xiàn)值： )( tTrtS PeP??? ( 10. 1. 3) 2022/2/16 8 二、買(mǎi)權(quán)與賣(mài)權(quán)的下限 ? （一）買(mǎi)權(quán)的下限 ? （ 二 ） 賣(mài)權(quán)的下限 2022/2/16 9 （一）買(mǎi)權(quán)的下限 （ 一）買(mǎi)權(quán)的下限 對(duì)于美式買(mǎi)權(quán)，由于隨 時(shí) 都可以 行使，因而它的最小價(jià)值一定是期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值。 對(duì)于虛值期權(quán)和平價(jià)期權(quán) 來(lái)說(shuō) ，期權(quán)價(jià)值的最小值為 0 ；對(duì)于實(shí)值期權(quán) 來(lái)說(shuō) ，買(mǎi)權(quán)價(jià)值的最小值即為其內(nèi)在價(jià)值SPST?。 如果這一關(guān)系不成立的話(huà)，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的價(jià)格購(gòu)入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來(lái)獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。因而 ，對(duì)于 美式買(mǎi)權(quán)的 價(jià)格tc 來(lái)說(shuō)，應(yīng)該有如下的不等式 ： ),0( SPSM a xcTt?? ( 10. 1. 4) 對(duì)于歐式 期權(quán) 來(lái)說(shuō) ，其 價(jià)格的 下限的確定就沒(méi)有如此明顯了，我們將通過(guò)構(gòu)造一個(gè)資產(chǎn)組合來(lái)估計(jì)它的下限。 事實(shí)上我們可以簡(jiǎn)單地證明： 歐式買(mǎi)權(quán)的下限是)( tTrtS P eS???。 為了給出正式的證明，我們考慮在時(shí)刻 t 時(shí)的如下組合： 1 股股票的空頭及 1 股相應(yīng)的 歐式買(mǎi)權(quán) 再 加上金額為)( tTrS P e??的 現(xiàn)金。 2022/2/16 10 在時(shí)刻 t = 0 ，這一組合的價(jià)值為：00SS P eCrT???；在時(shí)刻t = T ，這一組合的價(jià)值為：TTSSPC ?? 。 由美式買(mǎi)權(quán)下限的結(jié)論，我們可以得出歐式買(mǎi)權(quán)在時(shí)刻 t = T 的價(jià)值 為：),0( SPSM a xCTT??。 如果SPST?，買(mǎi)權(quán)為實(shí)值期權(quán)，則在 T 時(shí)刻應(yīng)行使買(mǎi)權(quán)，組合的價(jià)值為 0 。這是因?yàn)橘I(mǎi)權(quán)的價(jià)值為SPST?，現(xiàn)金價(jià)值為 SP ，股票空頭的價(jià)值為 TS?，組合在時(shí)刻 T 的價(jià)值就為：0????TTSSPSPS。 如果 TSSP ?， 買(mǎi)權(quán)為虛值期權(quán)，期權(quán)不會(huì)被行使，組合會(huì)有一個(gè)正的價(jià)值：TSSP ?。這是因?yàn)橘I(mǎi)權(quán)的價(jià)值為 0 ，現(xiàn)金價(jià)值為 SP ，股票空頭的價(jià)值為T(mén)S?，組合在時(shí)刻 T 的價(jià)值就為：TTSSPSSP ????0。 2022/2/16 11 可以看出，無(wú)論期權(quán)在到期時(shí)是實(shí)值的、平價(jià)的還是虛值的，我們所構(gòu)造的組合的價(jià)值或者為零或者大于零，不會(huì)得到一個(gè)負(fù)的價(jià)值。如果在套利者消除了那些無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)后，我們 就 可以發(fā)現(xiàn)：一份絕不會(huì)造成凈支出的組合是不可能有一個(gè)負(fù)價(jià)格的。因而，我們能夠得出在時(shí)刻 t ，有： 0)(?????ttTrtSS PeC ( 10. 1. 5) 或者寫(xiě)成： )( tTrttS P eSC???? ( 10. 1. 6) 由于對(duì)于一個(gè)歐式買(mǎi)權(quán)來(lái)說(shuō)，可能發(fā)生的 最壞情況是期權(quán)到期時(shí)其價(jià)值為零，這意味著期權(quán)的價(jià)值必須為正值，即0?tC。因此應(yīng)該有： ),0()( tTrttS PeSMa xC???? ( 10. 1. 7) 基于上面的結(jié)論，對(duì)于 美 式買(mǎi)權(quán)的價(jià)格tc來(lái)說(shuō)，也應(yīng)該有如下的 不等式： ),0()( tTrttS P eSMa xc???? ( 10. 1. 8) 這是因?yàn)槊朗劫I(mǎi)權(quán)具有可以提前行使的性質(zhì)，這使得美式期權(quán)至少具有與歐式期權(quán)相同的價(jià)值，即 有 ： ttCc ?。 2022/2/16 12 （二）賣(mài)權(quán)的下限 對(duì)于美式賣(mài)權(quán)，由于隨時(shí) 可以 行 使 ，因而它的最小價(jià)值一定是期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值。 對(duì)于虛值期權(quán)和平價(jià)期權(quán)，期權(quán)價(jià)值的最小值為 0 ；對(duì)于實(shí)值期權(quán)，賣(mài)權(quán)價(jià)值的最小值即為 其內(nèi)在價(jià)值 SSP ? 。 如果這一關(guān)系不成立的話(huà)，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的價(jià)格購(gòu)入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來(lái)獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。 因而 ，對(duì)于 美式賣(mài)權(quán)的 價(jià)格tp 來(lái)說(shuō)，應(yīng)該有如下的不等式成立 ： ),0(TtSSPM a xp ?? ( 10. 1. 9) 我們?cè)賮?lái)構(gòu)造一個(gè)組合來(lái)估計(jì)歐式賣(mài)權(quán)的下限 。 在時(shí)刻 t =0 時(shí) 有以下資產(chǎn)組合： 1 股股票及 1 股相應(yīng)的 歐式賣(mài)權(quán) 再加上金額 為)( tTrS P e??的現(xiàn)金 借貸。 在時(shí)刻 t =T ，這一 組合的價(jià)值為：SPSPTT??。 如果SPST?，則期權(quán)不會(huì) 被 行使，該組合的價(jià)值為：SPSSPSPTTT????0 。 如果SPST?，賣(mài)權(quán)盈利正好抵消股票現(xiàn)貨的損失，所以該 組合的價(jià)值為 0 。 所以， 在時(shí)刻 t =0 時(shí)，應(yīng) 有： 000???? rTS P eSP ( 10. 1. 10) 2022/2/16 13 同理，我們又構(gòu)造了一個(gè)價(jià)值或者為零或者大于零的組合，不會(huì)得到一個(gè)負(fù)的價(jià)值。由于一份絕不會(huì)造成凈支出的組合是不可能有一個(gè)負(fù)價(jià)格的，我們可以得出 ： 0)(????? tTrttS P eSP ( 10 . 1. 11 ) 或者寫(xiě)成： ttTrtSS P eP ???? )( ( 10 . 1. 12 ) 因而，我們得到歐式賣(mài)權(quán)在時(shí)刻 t = 0 的下限為： ),0(00SS P eMa xPrT??? ( 10 . 1. 13 ) 所以，一般 情況下應(yīng)有： ),0()(ttTrtSS P eM a xP ???? ( 10 . 1. 1 4 ) 現(xiàn)在，我們可以總結(jié)一下在任意時(shí)刻 t ( t ? T ) 期權(quán)的上下限，見(jiàn)表 10 . 1. 1 。 2022/2/16 14 表 期權(quán)價(jià)格的上下限 期權(quán)種類(lèi) 價(jià)格下限 價(jià)格上限 歐式買(mǎi)權(quán) ),0()( tTrtS P eSMa x??? tS 美式買(mǎi)權(quán) ),0( SPSM a x T ? tS 歐式賣(mài)權(quán) ),0()(ttTrSS P eMa x ??? )( tTrS P e?? 美式賣(mài)權(quán) ),0(TSSPM a x ? SP 2022/2/16 15 三、美式買(mǎi)權(quán)的提前行使 ? 美式買(mǎi)權(quán)的提前行使是否明智 ？ 通過(guò)下面的討論 ， 我們可以看出：提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 返回節(jié) ? 首先 ， 如果投資者計(jì)劃在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ， 則提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 假設(shè)投資者擁有一份買(mǎi)權(quán) ， 并且期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài) （ 如果期權(quán)是虛值狀態(tài)的話(huà) ， 投資者當(dāng)然不會(huì)提前行使期權(quán) ） ， 比如期權(quán)的行使價(jià)格為 30元 ， 距到期日還有一個(gè)月 ， 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 10%， 股票價(jià)格為 50元 。 2022/2/16 16 ? 此時(shí)投資者有提前行使期權(quán)的動(dòng)力 ， 但是如果投資者希望在行使期權(quán)后繼續(xù)持有該股票一個(gè)月 （ 即在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ） ， 那么提前行使期權(quán)就是不明智的 。 選擇持有期權(quán)并在到期日行使期權(quán) ， 這是更好的策略 。 這是因?yàn)闊o(wú)論你是否提前行使期權(quán) ，在到期日你所具有的財(cái)富都是一份股票 ， 然而前者需要你在一個(gè)月前就支付 30元錢(qián) ， 而后者的支付則要晚一個(gè)月 ， 選擇后者為你節(jié)省了利息 。 不僅如此 ， 如果股票的價(jià)格在一個(gè)月后跌到 30元以下 ， 沒(méi)有提前行使期權(quán)的投資者一定會(huì)慶幸自己做出了正確的選擇 。 2022/2/16 17 我們還可以得到另一個(gè)結(jié)論： ? 即便在投資者認(rèn)為股票價(jià)格被高估的情況下 ， 提前行使期權(quán)仍不是最好的選擇 。 如果投資者認(rèn)為股票價(jià)格被高估 ， 那么他的最優(yōu)選擇應(yīng)該是出售期權(quán)而并非行使它 （ 另一種可以選擇的做法是投資者持有期權(quán)并出售股票 ， 這樣就可以把利潤(rùn)鎖定在 20元以上 ） 。 由于： ? () ? 可以得出期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格要高于： ? 否則就會(huì)存在套利機(jī)會(huì) 。 美式買(mǎi)權(quán)不該提前行使也可以通過(guò)下面的式子來(lái)說(shuō)明 。 ),0( )( tTrtt S P eSM a xC ???? 0 8 3 3 ?? ??e2022/2/16 18 三、美式買(mǎi)權(quán)的提前行使 ? 由于 ， 如果提前行使是明智的 ， 那么該期權(quán)會(huì)獲得 SSP的收入 ，即 C應(yīng)等于 SSP， 小于美式期權(quán)的最小價(jià)值 。 因而我們可得到結(jié)論：提前行使期權(quán)是不明智的 。 ? 對(duì)于買(mǎi)權(quán)不應(yīng)提前行使的原因 ， 我們可以從理論上作以解釋 。 第一個(gè)理由在于期權(quán)能夠提供保險(xiǎn) 。 當(dāng)投資者持有買(mǎi)