【正文】 在其認為最有利的時候通過 “ 呼叫 ”來重新制定的 。 最后一種選擇權買權和賣權的到期日不同 ， 行使價格也不同 ， 所以定價公式較復雜 。 半美式期權或說百慕大式期權則正好介于兩者之間 ， 可在期權有效期內幾個特定的日子上清算執(zhí)行 。 2022/2/16 67 （二）期權的行使價格 ? 期權收益等于標的資產的市價與協(xié)議價格之差 。但是釆用的數(shù)值離今天越遙遠，對計算今天易變性的相關性就越小。 由于股票價格幾乎可以取任意多的值，所以期權的到期價格理論上也可以取任意多的值，所以期權價格的期望值應該用連續(xù)形式的期望定義。 但這個因素并不是定價中需要認真考慮的主要因素 。試求執(zhí)行價格為 $40 美元的買權的合理價格。 3 、一般情況下 兩期的買權定價 要 比一期的買權定價高， 因為它盈利的潛力更大一些，但也有意外的情況。而如果股票價格分別為11S、21S、12S、22S時，則該期權的價格分別為11f、21f、12f、22f，由于是買權，可知22f=0 。 21012121SSSSSSff??????? ( 1 0 . 2 . 1 1 ) 資產組合現(xiàn)值與初始投資值應該相等： 002fSeSTrf?????? ( 10. 2. 12 ) 整理上式得 ： TrfeSSf???????200 ( 10. 2. 13 ) ( 10. 2. 12 ) 式即為連續(xù)復利下買權的定價公式。 這一假設條件可能會極大影響期權的真正成本 ， 也是造成不同期權市場實際期權費差異的主要因素 。 ? 在時刻 t=T， 如賣權為虛值 ， 組合 B的價值也為：ST；如賣權為實值 ， 則組合 B的價值為： SP。 由于： ? () ? 可以得出期權的市場價格要高于： ? 否則就會存在套利機會 。 因而 ，對于 美式賣權的 價格tp 來說，應該有如下的不等式成立 ： ),0(TtSSPM a xp ?? ( 10. 1. 9) 我們再來構造一個組合來估計歐式賣權的下限 。因而 ，對于 美式買權的 價格tc 來說，應該有如下的不等式 ： ),0( SPSM a xcTt?? ( 10. 1. 4) 對于歐式 期權 來說 ，其 價格的 下限的確定就沒有如此明顯了，我們將通過構造一個資產組合來估計它的下限。如果期權的價格超過其上限或低于其下限，則套利就有利可圖。 如果SPST?，買權為實值期權，則在 T 時刻應行使買權，組合的價值為 0 。 所以， 在時刻 t =0 時，應 有： 000???? rTS P eSP ( 10. 1. 10) 2022/2/16 13 同理，我們又構造了一個價值或者為零或者大于零的組合，不會得到一個負的價值。 第一個理由在于期權能夠提供保險 。如果知道了其中的的三個，就可以確定第四個變量的均衡值。 2022/2/16 25 二、單期歐式期權的定價模型 返回節(jié) （一）歐式買權的定價模型 假設現(xiàn)期 時 股票價格為0S ，在無風險利率fr 之下，在任何一個單位時間段內，股票價格的預期變動只取兩個可能值，即 ： 股票價格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S ， 其 概率服從二次分布，分別為 p 和pq ?? 1。 現(xiàn)在考慮以價格0f 買入一份賣權，以及按照套頭率 △ ，以價格0S 購買 △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無風險資產組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 1 5 ) 當股票價格上升到 1S時，該組合的價值為：??????111SfS。假設股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時 ， 試求執(zhí)行價格為 $40 美元的買權和賣權的合理價格。受其影響，股票買權的價格會隨之下降，股票賣權的價格隨之等幅上升。我們通過例子來詳細說明。 傳統(tǒng)上將收益定義為： 11???ttSS收益率 即 t+1 時刻比 t 時刻資產價格的增加值。在 ( .5) 式中， r 、 T 和 SP 都是已知的，未知量只有兩個，一個是到期時SPST?的概率*P，一個是期權到期時在溢價的條件下，基礎資產價格的期望值)|( SPSSETT?，下面我們分別求這兩個值。因為未來的收益變動而不是過去的收益變動才與未來到期期權的定價有關。 同時由于貼現(xiàn)率較高 ， 未來同樣預期贏利的現(xiàn)值就較低 。 ? （ 2） “ 一觸即有 ” 型：該種期權只要在有效期內某一階段為價內期權就會有收益 。 返回子小節(jié) 2022/2/16 76 檔板期權或障礙期權 ? 檔板期權 (Barry Option)在初始時就確定兩個價格水平 ， 其一為約定價格 ， 另一個是特定的檔板價格 (Barrier)或 引發(fā)價格 。 ? 前兩種選擇權的到期日相同 ， 行使價格也相同 ， 所以定價公式并不復雜 。 ?返回章 2022/2/16 70 半美式期權或百慕大式期權 ? 歐式期權只能在到期日清算執(zhí)行 ， 而美式期權可在期權有效期內任意時間點上通過執(zhí)有一份相反的期權頭寸而對沖 。 人們買入賣權就是指望從股價下跌中獲利 。 樣本數(shù)越多，得出的結果就越可靠。 圖 對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)圖 2022/2/16 57 一種金融資產的合理價格就是這種金融資產的期望值，期權到期時的合理價格就是可能出現(xiàn)的每一種價值與出現(xiàn)這每一種價值的概率的乘積之和。 ? 之所以先選擇歐式期權來進行定價 ，是因為美式期權可以在期權的有效期內任意時刻被行使 ， 其靈活性很大 ， 所以更有價值 。假設股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時 ,除息日在第一期期末，該公司決定每股股票派發(fā)股價 3% 的股息。 表 買方期權與賣方期權的定價比較 定價 一期 兩期 買方期權 $ 2 . 76 $2. 74 賣方期權 $ 2 . 1 7 $ 1 . 49 如果將以上的 4 個例子做一個比較的話，見表 ，我們發(fā)現(xiàn)這樣一些事實： 1 、 賣權的定價 一般都要 低于買權的定價 ； 2 、 由于兩期的 累計 偏差會更大，所以兩期的賣權定價 一般要 比兩期的買權定價 低 更 多 。 2022/2/16 36 行使價格為0S的買權價格在基期時被設為0f，當股票價格上漲到1S時，期權價格為1f，當股票價格下跌到2S時，則期權價格為2f。 如果購買了0S美元的無風險資產，那么在無套利假定之下， m 個月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無風險資產的價值應為股票的期望價值： 210)1( SppSeSTrf??? ( 1 0 . 2 . 9 ) 2022/2/16 29 整理得： 2120SSSeSpTrf??? ( 10. 2. 10 ) 在連續(xù)復利的條件下，對式 ( 10. 2. 4 ) ， ( 10. 2. 5 ) 中 D 的討論保持不變。 2022/2/16 24 注釋 ? [1]顯然這一假設不符合實際 ， 因為即使是交易大廳的交易商也要支付費用 。 ? 在時刻 t=T， 如買權為實值 ， 組合 A的價值為：SP+(STSP)=ST；如買權為虛值 ， 組合 A的價值為 SP。 如果投資者認為股票價格被高估 ， 那么他的最優(yōu)選擇應該是出售期權而并非行使它 （ 另一種可以選擇的做法是投資者持有期權并出售股票 ， 這樣就可以把利潤鎖定在 20元以上 ） 。 如果這一關系不成立的話，套利者就可以以低于期權內在價值的價格購入期權，然后馬上行使期權來獲得無風險利潤。 如果這一關系不成立的話，套利者就可以以低于期權內在價值的價格購入期權，然后馬上行使期權來獲得無風險利潤。我們通過消除這些無風險套利機會來確定期權的上下限。這是因為買權的價值為SPST?，現(xiàn)金價值為 SP ，股票空頭的價值為 TS?，組合在時刻 T 的價值就為：0????TTSSPSPS。由于一份絕不會造成凈支出的組合是不可能有一個負價格的，我們可以得出 ： 0)(????? tTrttS P eSP ( 10 . 1. 11 ) 或者寫成： ttTrtSS P eP ???? )( ( 10 . 1. 12 ) 因而，我們得到歐式賣權在時刻 t = 0 的下限為： ),0(00SS P eMa xPrT??? ( 10 . 1. 13 ) 所以，一般 情況下應有： ),0()(ttTrtSS P eM a xP ???? ( 10 . 1. 1 4 ) 現(xiàn)在，我們可以總結一下在任意時刻 t ( t ? T ) 期權的上下限，見表 10 . 1. 1 。 當投資者持有買權而不是持有股票本身時 ，買權保證持有者在股票價格下降到行使價格之下時不受損失 。 上式中各個組成部分也可寫成： )( tTrtttS P ePSC????? ( 1 7 ) )( tTrtttS P ePCS????? ( 1 8 ) )( tTrtttS P eSCP????? ( 1 9 ) ttttTrPCSS P e ????? )( ( 1 . 20 ) 等號左邊所表示的資產可以通過右邊的組合表示出來。 當股票價格上漲到1S 時，其行使價格為0S 的買權，其理論價值1f 就是01SS ? ，而如果股票價格下跌到2S 時，則該期權的理論價值2f 就為 0( 見圖 10 . 2. 1 ) 另一方面，如果購買了0S美元的無風險資產，那么在無套利假定之下，m 個月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無風險資產的價值應為股票的期望價值： 210)1(121 SppSmrSf??????????? ( 10 . 2. 1) 于是 ， 可以解得概率 ： 2120121SSSmrSpf??????????? ( 1 0 . 2 . 2 ) 2022/2/16 26 現(xiàn)在考慮以價格0f 賣出一份買權，以及按照套頭率 △ ，以價格0S 購買 △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無風險資產組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 3 ) 圖 10. 2. 1 單期歐式 買 權 的 二叉樹定價圖 當股票價格上升到1P時，該組合的價值為：)(01111SSSfS ????????。當股 票 價 格 下 降 到 2S時 ， 該 組 合 的 價 值 為 ：)(20222SSSfS ????????美元。 圖 例 中買權的二叉樹定價圖 2022/2/16 38 1 、求買權的價格 具 體 的 數(shù) 據(jù) 如 圖 所示 ， 由式 ( ) 得 ：36443640?????ep ， 代入 ( ) 可得 ： ? ? )(1????????ef 美元 再 將 p 代入 ( ) 式， 可得 ： ? ? 00)(2????????ef 將上面得出的 1f、 2f代入 ( ) 式， 可 以 得 到： ? ? )(0????????ef美元 也可由式 ( ) 直接求出買權的合理價格 ： ? ? ????????????? 00)(0)( ef 美元 2022/2/16 3