【正文】 當(dāng)載體資產(chǎn)的價格達(dá)到或越過檔板價格會發(fā)生什么情況將取決于檔板期權(quán)的類型 。這種期權(quán)可分為單期后定選擇權(quán) 、 多期后定選擇權(quán)和復(fù)雜后定選擇權(quán) 。 ? 這兩種期權(quán)計算可用鞅方法得到封閉的解析解 。 2022/2/16 69 一、合同條款變化型期權(quán) ? 半美式期權(quán)或百慕大式期權(quán)； ? 數(shù)字期權(quán)或二進(jìn)制期權(quán) (Binary)； ? 遲付期權(quán)或或有期權(quán)； ? 延期期權(quán)或可擴展期權(quán)； ? 買賣權(quán)可選期權(quán)或后定期權(quán)； ? 呼叫期權(quán)； ? 檔板期權(quán)或障礙期權(quán) 。 這兩種效應(yīng)都將減少賣權(quán)的價值 。 ? 現(xiàn)行資產(chǎn)價格越低 ， 賣權(quán)的價值越大 ， 期權(quán)費就越高 。 由于未來的易變性完全是主觀的，所以不可能直接加以估算。 在計算 ? 時，還要考慮究竟采用多少樣本數(shù)。 （一）求SPST?的概率*P： ???????????????????????????00lnln)(*SSPSSPSPSPPTT TTSSNT?? /ln10????????????????? ( .6) 2022/2/16 59 根據(jù)期望值的對數(shù)和對數(shù)的期望值之間的關(guān)系，如果X是一個隨機變量，就有： )][l n(21)][l n()](l n[ XV arXEXE ?? 將0SSXT?帶入上式，有： ????????????????????????????????????????????000ln21lnlnSSV arSSESSETTTTT221?? ?? 那么，預(yù)期的相對價格就為： TTTTeeSSE??????????????????2221210???? (10 .3 . 7) 221?? ??r ( .8) 由連續(xù)復(fù)利的定義可知這里的 r 實際上就是連續(xù)復(fù)利利率。 對數(shù)正態(tài)分布是一種扭曲的正態(tài)分布，初始價格的右邊呈擴張形，左邊成壓縮形。其中1?tS表示 t+1 時刻的股票價格，tS表示 t 時刻的 股票價格。 依據(jù)式 ( ) 式 ，在 A 點的美式期權(quán)價格應(yīng)該 為： ? ? )(0????????ef美元 2022/2/16 51 第三節(jié) BlackScholes模型 ?一 、 BlackScholes模型的假設(shè)前提 ?二 、 BlackScholes模型及其推導(dǎo)過程 ?三 、 期權(quán)價格的決定因素： ?返回章 2022/2/16 52 一、 BlackScholes模型的假設(shè)前提 ? 市場是有效的； ? 不存在無風(fēng)險套利機會； ? 股票和期權(quán)合約的買賣不涉及交易成本； ? 不存在賣空機制； ? 期權(quán)為歐式期權(quán) ， 這是指只有在到期日才可行使的期權(quán)； ? 無風(fēng)險利率已知為且為常數(shù)； ? 連續(xù)資產(chǎn)交易 ， 所有資產(chǎn)價格遵循連續(xù)隨機過程； ? 不支付現(xiàn)金股息和紅利； 2022/2/16 53 假設(shè)前提還有： ? 收益率呈對數(shù)正態(tài)分布 ， 事實上這一假設(shè)適用于絕大多數(shù)金融資產(chǎn)的價格波動分布特征 ， 在本節(jié)后一些后面有所證明 。仍然使用例 中的數(shù)據(jù)，對于買權(quán)，例 已算得歐式期權(quán)的價格如圖 10 . 所示 。 2022/2/16 46 圖 按照股票市價的一個固定比率派發(fā)股息情況下的 二叉數(shù)定價圖 例 . 6 ， 仍然假設(shè)無風(fēng)險利率為 6% ，某種股票的當(dāng)前價格為每股 $40 美元，我們預(yù)期 6 個月后的股票價格與期權(quán)價格。 在支付現(xiàn)金股息的情況下 ， 要對模型做出 適當(dāng)?shù)?調(diào)整 。但不論期數(shù)為多少，算法的思路與兩期的是一致的，只需將同樣的推導(dǎo)過程加以擴展即可。 圖 例 中買權(quán)的二叉樹定價圖 2022/2/16 38 1 、求買權(quán)的價格 具 體 的 數(shù) 據(jù) 如 圖 所示 ， 由式 ( ) 得 ：36443640?????ep ， 代入 ( ) 可得 ： ? ? )(1????????ef 美元 再 將 p 代入 ( ) 式， 可得 ： ? ? 00)(2????????ef 將上面得出的 1f、 2f代入 ( ) 式， 可 以 得 到： ? ? )(0????????ef美元 也可由式 ( ) 直接求出買權(quán)的合理價格 ： ? ? ????????????? 00)(0)( ef 美元 2022/2/16 39 2 、 求賣權(quán)的價格 具 體 的 數(shù) 據(jù) 如 圖 所示 ， 由 ( ) 式 得 ：36443640?????ep， 代入 ( .21) 式 可得 ： ? ? 1 6 )( 1????????ef 圖 例 中賣權(quán)的二叉樹定價圖 將 p 代入 ( .22) 式 可得 ： ? ? 3 7 )( 2????????ef美元 2022/2/16 40 ? 將上面得出的 f f2代入 ()式 ， 可得： ? 美元 ? 也可由式 ()直接求出賣權(quán)的合理價格： ? =$ ? 同樣由于股票價格上漲的概率大于下跌的概率 ，因此 ， 買權(quán)的價格高于賣權(quán)的價格 。而在第二期里，預(yù)期股票價格以同樣的概率分別由 1S上漲到11S或下跌到12S，由2S上漲到21S21S或者下跌到22S，漲跌幅度與第 — 期里相同。當(dāng)股 票 價 格 下 降 到 2S時 ， 該 組 合 的 價 值 為 ：)(20222SSSfS ????????美元。當(dāng)股票價格上漲到1S 時，其行使價格為0S 的買權(quán)，其理論價值1f 就是01SS ? ，而如果股票價格下跌到2P時，則該期權(quán)的理論價值2f就為 0 。 當(dāng)股票價格上漲到1S 時，其行使價格為0S 的買權(quán)，其理論價值1f 就是01SS ? ，而如果股票價格下跌到2S 時，則該期權(quán)的理論價值2f 就為 0( 見圖 10 . 2. 1 ) 另一方面，如果購買了0S美元的無風(fēng)險資產(chǎn)，那么在無套利假定之下，m 個月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無風(fēng)險資產(chǎn)的價值應(yīng)為股票的期望價值： 210)1(121 SppSmrSf??????????? ( 10 . 2. 1) 于是 ， 可以解得概率 ： 2120121SSSmrSpf??????????? ( 1 0 . 2 . 2 ) 2022/2/16 26 現(xiàn)在考慮以價格0f 賣出一份買權(quán)，以及按照套頭率 △ ，以價格0S 購買 △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無風(fēng)險資產(chǎn)組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 3 ) 圖 10. 2. 1 單期歐式 買 權(quán) 的 二叉樹定價圖 當(dāng)股票價格上升到1P時，該組合的價值為：)(01111SSSfS ????????。 返回章 ? 一 、 二叉樹期權(quán)定價模型的假設(shè)條件 ? 二 、 單期歐式期權(quán)的定價模型 ? 三 、 兩期的歐式期權(quán)定價模型 ? 四 、 二叉樹期權(quán)定價模型的其他應(yīng)用 2022/2/16 23 一、二叉樹期權(quán)定價模型的假設(shè)條件 ? 股票市場是有效的； ? 存在著股票的賣空機制 ， 但不存在套利機會； ? 股票和期權(quán)合約的買賣不涉及交易成本 、也不考慮稅收； [1] ? 市場參與者可按已知的無風(fēng)險利率無限制地借入借出資金； ? 無風(fēng)險利率為常數(shù)； [2] ? 金融市場上的投資者都是風(fēng)險中立者；[3] ? 假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價格在離散的或不連續(xù)的時間內(nèi)服從一個倍增的二項式過程 。 上式中各個組成部分也可寫成： )( tTrtttS P ePSC????? ( 1 7 ) )( tTrtttS P ePCS????? ( 1 8 ) )( tTrtttS P eSCP????? ( 1 9 ) ttttTrPCSS P e ????? )( ( 1 . 20 ) 等號左邊所表示的資產(chǎn)可以通過右邊的組合表示出來。 ? 組合 B： 1份行使價格為 SP的歐式賣權(quán)和 1手股票 。 當(dāng)投資者持有買權(quán)而不是持有股票本身時 ，買權(quán)保證持有者在股票價格下降到行使價格之下時不受損失 。 2022/2/16 17 我們還可以得到另一個結(jié)論： ? 即便在投資者認(rèn)為股票價格被高估的情況下 ， 提前行使期權(quán)仍不是最好的選擇 。由于一份絕不會造成凈支出的組合是不可能有一個負(fù)價格的，我們可以得出 ： 0)(????? tTrttS P eSP ( 10 . 1. 11 ) 或者寫成： ttTrtSS P eP ???? )( ( 10 . 1. 12 ) 因而，我們得到歐式賣權(quán)在時刻 t = 0 的下限為： ),0(00SS P eMa xPrT??? ( 10 . 1. 13 ) 所以，一般 情況下應(yīng)有： ),0()(ttTrtSS P eM a xP ???? ( 10 . 1. 1 4 ) 現(xiàn)在，我們可以總結(jié)一下在任意時刻 t ( t ? T ) 期權(quán)的上下限，見表 10 . 1. 1 。 對于虛值期權(quán)和平價期權(quán)，期權(quán)價值的最小值為 0 ；對于實值期權(quán)，賣權(quán)價值的最小值即為 其內(nèi)在價值 SSP ? 。這是因為買權(quán)的價值為SPST?，現(xiàn)金價值為 SP ，股票空頭的價值為 TS?，組合在時刻 T 的價值就為：0????TTSSPSPS。 對于虛值期權(quán)和平價期權(quán) 來說 ，期權(quán)價值的最小值為 0 ；對于實值期權(quán) 來說 ，買權(quán)價值的最小值即為其內(nèi)在價值SPST?。我們通過消除這些無風(fēng)險套利機會來確定期權(quán)的上下限。 2022/2/16 4 第一節(jié) 期權(quán)價格的上下限 ?一、買權(quán)與賣權(quán)的上限 ?二 、 買權(quán)與賣權(quán)的下限 ?三 、 美式買權(quán)的提前行使 ?四 、 美式賣權(quán)的提前行使 ?五 、 賣權(quán)與買權(quán)之間的平價關(guān)系 2022/2/16 5 一、買權(quán)與賣權(quán)的上限 ? （ 一 ） 買權(quán)的上限 ? （ 二 ） 賣權(quán)的上限 2022/2/16 6 （一）買權(quán)的上限 （一）買權(quán)的上限 單股股票（以下討論同） 美式買權(quán)或歐式買權(quán)的最大價格就 是 t 時刻的股票價格tS ， 這是因為 單股 美式買權(quán)或歐式買權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 事先 確定的 行使 價格 SP 來 購買一 股 股票，如果買權(quán)的價格大于股票價格，則套利者可以通過購買股 票并賣出買權(quán)，輕易地獲得無風(fēng)險利潤。 如果這一關(guān)系不成立的話，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價值的價格購入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來獲得無風(fēng)險利潤。