【正文】 ( tTrS P e?? 美式賣權(quán) ),0(TSSPM a x ? SP 2022/2/16 15 三、美式買權(quán)的提前行使 ? 美式買權(quán)的提前行使是否明智 ？ 通過下面的討論 ， 我們可以看出：提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 所以， 在時刻 t =0 時，應(yīng) 有： 000???? rTS P eSP ( 10. 1. 10) 2022/2/16 13 同理，我們又構(gòu)造了一個價值或者為零或者大于零的組合，不會得到一個負(fù)的價值。 如果SPST?，則期權(quán)不會 被 行使，該組合的價值為：SPSSPSPTTT????0 。 在時刻 t =0 時 有以下資產(chǎn)組合： 1 股股票及 1 股相應(yīng)的 歐式賣權(quán) 再加上金額 為)( tTrS P e??的現(xiàn)金 借貸。 如果這一關(guān)系不成立的話，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價值的價格購入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來獲得無風(fēng)險利潤。 2022/2/16 12 （二）賣權(quán)的下限 對于美式賣權(quán)，由于隨時 可以 行 使 ，因而它的最小價值一定是期權(quán)的內(nèi)在價值。因而，我們能夠得出在時刻 t ，有： 0)(?????ttTrtSS PeC ( 10. 1. 5) 或者寫成： )( tTrttS P eSC???? ( 10. 1. 6) 由于對于一個歐式買權(quán)來說，可能發(fā)生的 最壞情況是期權(quán)到期時其價值為零，這意味著期權(quán)的價值必須為正值，即0?tC。 2022/2/16 11 可以看出，無論期權(quán)在到期時是實(shí)值的、平價的還是虛值的，我們所構(gòu)造的組合的價值或者為零或者大于零，不會得到一個負(fù)的價值。 如果 TSSP ?， 買權(quán)為虛值期權(quán)，期權(quán)不會被行使，組合會有一個正的價值：TSSP ?。 如果SPST?，買權(quán)為實(shí)值期權(quán)，則在 T 時刻應(yīng)行使買權(quán)，組合的價值為 0 。 2022/2/16 10 在時刻 t = 0 ，這一組合的價值為：00SS P eCrT???；在時刻t = T ，這一組合的價值為：TTSSPC ?? 。 事實(shí)上我們可以簡單地證明： 歐式買權(quán)的下限是)( tTrtS P eS???。 如果這一關(guān)系不成立的話，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價值的價格購入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來獲得無風(fēng)險利潤。 因而 賣權(quán) 的價格tP在 t 時刻的價值不會超過行 使 價格 SP 的貼現(xiàn)值： )( tTrtS PeP??? ( 10. 1. 3) 2022/2/16 8 二、買權(quán)與賣權(quán)的下限 ? （一）買權(quán)的下限 ? （ 二 ） 賣權(quán)的下限 2022/2/16 9 （一）買權(quán)的下限 （ 一）買權(quán)的下限 對于美式買權(quán)，由于隨 時 都可以 行使，因而它的最小價值一定是期權(quán)的內(nèi)在價值。 只有在股票價格tS=0 時，賣權(quán)才會達(dá)到其最大價格。 因此，股票價格tS就 是 買 權(quán)價格的上限 ，即對于美式買權(quán)的價格tc及歐式買權(quán)的價格tC來說，應(yīng)有不等式： tc?tS；tC?tS ( 10 . 1. 1) 2022/2/16 7 （二）賣權(quán)的上限 （二）賣權(quán)的上限 當(dāng)然，美式賣權(quán)的最大價格 應(yīng)該是 其 行使 價格 SP ， 而歐式期權(quán)的最大價格 則應(yīng)該是 其 行使 價格 SP 的貼現(xiàn)值。 2022/2/16 4 第一節(jié) 期權(quán)價格的上下限 ?一、買權(quán)與賣權(quán)的上限 ?二 、 買權(quán)與賣權(quán)的下限 ?三 、 美式買權(quán)的提前行使 ?四 、 美式賣權(quán)的提前行使 ?五 、 賣權(quán)與買權(quán)之間的平價關(guān)系 2022/2/16 5 一、買權(quán)與賣權(quán)的上限 ? （ 一 ） 買權(quán)的上限 ? （ 二 ） 賣權(quán)的上限 2022/2/16 6 （一）買權(quán)的上限 （一）買權(quán)的上限 單股股票（以下討論同） 美式買權(quán)或歐式買權(quán)的最大價格就 是 t 時刻的股票價格tS ， 這是因?yàn)?單股 美式買權(quán)或歐式買權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 事先 確定的 行使 價格 SP 來 購買一 股 股票，如果買權(quán)的價格大于股票價格，則套利者可以通過購買股 票并賣出買權(quán)，輕易地獲得無風(fēng)險利潤。如果期權(quán)的價格超過其上限或低于其下限，則套利就有利可圖。2022/2/16 1 《 金融工程學(xué)基礎(chǔ) 》 第十章期權(quán)定價 （ 返回電子版主頁 ）（ 返回 ） 周愛民 主編 參編：羅曉波、王超穎、譚秋燕、穆菁、 張紹坤、周霞、周天怡、陳婷婷 ? 南開大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院金融學(xué)系 ? ? 天津市 (300071) 2022/2/16 2 第十章 期權(quán)定價 ?第一節(jié) 期權(quán)價格的上下限 ?第二節(jié) 二叉樹期權(quán)定價法 ?第三節(jié) BlackScholes模型 ?第四節(jié) 新型期權(quán) 2022/2/16 3 本章所用到符號 S P ：期權(quán)的行 使 價格； T ：期權(quán)的到期時間； tT ? : 期權(quán)距到期日在一年時間中的比率； tS ：股票在時刻 t 的價格； tC ： 單股股票 歐式買權(quán)在時刻 t 的價格； tc ： 單股股票 美式買權(quán)在時刻 t 的價格； tP ： 單股股票 歐式賣權(quán)在時刻 t 的價格； tp： 單 股股票 美式賣權(quán)在時刻 t 的價格； r ： 在 T 時刻到期的投資的無風(fēng)險利率。 在這一節(jié)中，我們將推導(dǎo) 單股股票 期權(quán)價格的上下限 ，如果不加以特別的說明，在以后的討論中 。我們通過消除這些無風(fēng)險套利機(jī)會來確定期權(quán)的上下限。 可見在任何情況下，期權(quán)的價值都不會超過股票的價值。 這是因?yàn)?單股的 美式賣權(quán)或歐式賣權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 行使價格 SP 出售一股股票，如果美式賣權(quán)的價格大于行 使 價格，或者歐式賣權(quán)的價格大于其行 使 價格的貼現(xiàn)值，則套利者可以通過出售賣權(quán)并將所得收入以無風(fēng)險利率進(jìn)行投資， 便 獲得無風(fēng)險收益。 因此，對于美式賣權(quán) 的價格tp來說 ，應(yīng)有： tp? S P ( 1 0 . 1 . 2 ) 而 對于歐式 賣 權(quán)，我們知道在 T 時刻期權(quán)的價值也不會超過 SP 。 對于虛值期權(quán)和平價期權(quán) 來說 ，期權(quán)價值的最小值為 0 ；對于實(shí)值期權(quán) 來說 ，買權(quán)價值的最小值即為其內(nèi)在價值SPST?。因而 ，對于 美式買權(quán)的 價格tc 來說，應(yīng)該有如下的不等式 ： ),0( SPSM a xcTt?? ( 10. 1. 4) 對于歐式 期權(quán) 來說 ，其 價格的 下限的確定就沒有如此明顯了，我們將通過構(gòu)造一個資產(chǎn)組合來估計它的下限。 為了給出正式的證明，我們考慮在時刻 t 時的如下組合： 1 股股票的空頭及 1 股相應(yīng)的 歐式買權(quán) 再 加上金額為)( tTrS P e??的 現(xiàn)金。 由美式買權(quán)下限的結(jié)論，我們可以得出歐式買權(quán)在時刻 t = T 的價值 為：),0( SPSM a xCTT??。這是因?yàn)橘I權(quán)的價值為SPST?，現(xiàn)金價值為 SP ，股票空頭的價值為 TS?，組合在時刻 T 的價值就為：0????TTSSPSPS。這是因?yàn)橘I權(quán)的價值為 0 ，現(xiàn)金價值為 SP ，股票空頭的價值為TS?，組合在時刻 T 的價值就為：TTSSPSSP ????0。如果在套利者消除了那些無風(fēng)險套利機(jī)會后，我們 就 可以發(fā)現(xiàn)：一份絕不會造成凈支出的組合是不可能有一個負(fù)價格的。因此應(yīng)該有： ),0()( tTrttS PeSMa xC???? ( 10. 1. 7) 基于上面的結(jié)論，對于 美 式買權(quán)的價格tc來說，也應(yīng)該有如下的 不等式： ),0()( tTrttS P eSMa xc???? ( 10. 1. 8) 這是因?yàn)槊朗劫I權(quán)具有可以提前行使的性質(zhì)，這使得美式期權(quán)至少具有與歐式期權(quán)相同的價值，即 有 ： ttCc ?。 對于虛值期權(quán)和平價期權(quán)，期權(quán)價值的最小值為 0 ；對于實(shí)值期權(quán)，賣權(quán)價值的最小值即為 其內(nèi)在價值 SSP ? 。 因而 ，對于 美式賣權(quán)的 價格tp 來說，應(yīng)該有如下的不等式成立 ： ),0(TtSSPM a xp ?? ( 10. 1. 9) 我們再來構(gòu)造一個組合來估計歐式賣權(quán)的下限 。 在時刻 t =T ，這一 組合的價值為：SPSPTT??。 如果SPST?，賣權(quán)盈利正好抵消股票現(xiàn)貨的損失，所以該 組合的價值為 0 。由于一份絕不會造成凈支出的組合是不可能有一個負(fù)價格的，我們可以得出 ： 0)(????? tTrttS P eSP ( 10 . 1. 11 ) 或者寫成： ttTrtSS P eP ???? )( ( 10 . 1. 12 ) 因而，我們得到歐式賣權(quán)在時刻 t = 0 的下限為： ),0(00SS P eMa xPrT??? ( 10 . 1. 13 ) 所以，一般 情況下應(yīng)有： ),0()(ttTrtSS P eM a xP ???? ( 10 . 1. 1 4 ) 現(xiàn)在，我們可以總結(jié)一下在任意時刻 t ( t ? T ) 期權(quán)的上下限，見表 10 . 1. 1 。 返回節(jié) ? 首先 ， 如果投資者計劃在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ， 則提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 2022/2/16 16 ? 此時投資者有提前行使期權(quán)的動力 ， 但是如果投資者希望在行使期權(quán)后繼續(xù)持有該股票一個月 （ 即在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ） ， 那么提前行使期權(quán)就是不明智的 。 這是因?yàn)闊o論你是否提前行使期權(quán) ，在到期日你所具有的財富都是一份股票 ， 然而前者需要你在一個月前就支付 30元錢 ， 而后者的支付則要晚一個月 ， 選擇后者為你節(jié)省了利息 。 2022/2/16 17 我們還可以得到另一個結(jié)論： ? 即便在投資者認(rèn)為股票價格被高估的情況下 ， 提前行使期權(quán)仍不是最好的選擇 。 由于： ? () ? 可以得出期權(quán)的市場價格要高于： ? 否則就會存在套利機(jī)會 。 ),0( )( tTrtt S P eSM a xC ???? 0 8 3 3 ?? ??e2022/2/16 18 三、美式買權(quán)的提前行使 ? 由于 ， 如果提前行使是明智的 ， 那么該期權(quán)會獲得 SSP的收入 ，即 C應(yīng)等于 SSP， 小于美式期權(quán)的最小價值 。 ? 對于買權(quán)不應(yīng)提前行使的原因 ， 我們可以從理論上作以解釋 。 當(dāng)投資者持有買權(quán)而不是持有股票本身時 ，買權(quán)保證持有者在股票價格下降到行使價格之下時不受損失 。 另一個原因是由于貨幣的時間價值 ， 越晚支付等于行使價格的貨幣越好 。 即便股票價格一直為 0， 提前獲得 10元的收益也要比等到期權(quán)到期時才拿到這 10元有利一些 。 這是因?yàn)闊o風(fēng)險利率 r的增加提高了現(xiàn)在不轉(zhuǎn)換為現(xiàn)金的成本 ， 波動率 σ的減少降低了在以后的時間里期權(quán)能更加獲利的可能性 。 ? 組合 B： 1份行使價格為 SP的歐式賣權(quán)和 1手股票 。 ? 在時刻 t=T， 如賣權(quán)為虛值 ， 組合 B的價值也為：ST；如賣權(quán)為實(shí)值 ， 則組合 B的價值為： SP。 ? 由于組合 A、 B的收益相同 ， 因而一定有相同價格 ，否則套利就會存在 。買權(quán)、賣權(quán)、股票價格以及無風(fēng)險利率是互為聯(lián)系的金融變 量 。 上式中各個組成部分也可寫成： )( tTrtttS P ePSC????? ( 1 7 ) )( tTrtttS P ePCS????? ( 1 8 ) )( tTrttt