【正文】 圖 1 例 中的二叉樹定價圖 2022/2/16 48 美式期權(quán) 可以在有效期內(nèi)的任何一天執(zhí)行 。 依據(jù)圖 1 所示的數(shù)據(jù)，按公式 ( ) 式和 ( ) 式可以很容易地求解出 來。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時 ,除息日在第一期期末，該公司決定每股股票派發(fā)股價 3% 的股息。 2022/2/16 45 圖 例 中現(xiàn)金股利情況下的二叉樹定價圖 2 、 如某上市公司是 按照 股票市價的一個固定比率 來 派發(fā)股息，設(shè) 這個固定比率 為a， 并設(shè)除息日在第一期期末，則二叉樹期權(quán)定價模型修正為 圖 所示。試求執(zhí)行價格為 $40 美元的買權(quán)的合理價格。 2022/2/16 44 例 ，仍然假設(shè)無風(fēng)險利率為 6% ，某種股票的當(dāng)前價格為每股 $40 美元，與例 不同的是我們預(yù)期 6 個月后的股票價格與期權(quán)價格。 1 、 如果某上市公司是向每股股票派發(fā)固定數(shù)額的股息設(shè)為 D ，這上面分析的模型中需要對股票價格作出調(diào)整 ，如圖 所示。受其影響，股票買權(quán)的價格會隨之下降，股票賣權(quán)的價格隨之等幅上升。就期權(quán)而言，不管是看漲的還是看跌的 , 歐式的還是美式的 , 支付股利的還是不支付股利的，該模型都能適合。 4 、 兩期賣權(quán)定價比一期賣權(quán)定價低 ，因為它虧損的可能性會更大 。 表 買方期權(quán)與賣方期權(quán)的定價比較 定價 一期 兩期 買方期權(quán) $ 2 . 76 $2. 74 賣方期權(quán) $ 2 . 1 7 $ 1 . 49 如果將以上的 4 個例子做一個比較的話，見表 ，我們發(fā)現(xiàn)這樣一些事實： 1 、 賣權(quán)的定價 一般都要 低于買權(quán)的定價 ； 2 、 由于兩期的 累計 偏差會更大，所以兩期的賣權(quán)定價 一般要 比兩期的買權(quán)定價 低 更 多 。但是，增加期數(shù)會使計算量呈幾何級數(shù)增長，這就 必須 借助計算機(jī)來協(xié)助計算了。 但 實際上這 其實 并不 能 構(gòu)成問題，我們完全可以通過增加期數(shù)（或縮短單位時間長度）來擴(kuò)大股票價格變動的范圍，從而使二叉樹期權(quán)定價模型更加準(zhǔn)確地反映金融市場的運(yùn)行情況。 返回電子版主頁 ? ? )( ?????? ??ef? ? ?????????? ??? )()( ef2022/2/16 41 將上面得出的1f、2f代入 (1 ) 式， 可得 ： ? ? )( 0????????ef美元 也可由式 ( .24) 直接求出賣權(quán)的合理價格 ： ? ? ?????????? ??? 0)()( ef = $ 美元 同樣由于股票價格上漲的概率大于下跌的概率，因此，買權(quán)的價格高于賣權(quán)的價格。 ? 從表面上看 ， 二叉樹期權(quán)定價模型似乎有一個不足 ， 即假設(shè)每一期股票價格變動的結(jié)果只有兩種可能性 ， 而在現(xiàn)實中 ， 股票的價格可謂千變?nèi)f化 。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時 ， 試求執(zhí)行價格為 $40 美元的買權(quán)和賣權(quán)的合理價格。則將 ( ) 、 ( .22) 兩式代入 ( ) 式，最后有： ? ?Trfefpfppfpf2222121120)1()1(2?????? ( ) 式 ( ) 即適用于買權(quán)，又 適用 于賣權(quán)。因為兩期之內(nèi)股票價格上升與下跌的概率以及幅度都被假設(shè)是分別相等的，顯然應(yīng)該有1221 SS ?以及：1221 ff ?。 2022/2/16 36 行使價格為0S的買權(quán)價格在基期時被設(shè)為0f，當(dāng)股票價格上漲到1S時，期權(quán)價格為1f，當(dāng)股票價格下跌到2S時，則期權(quán)價格為2f。 圖 10. 2. 5 兩期歐式期權(quán) 的 二叉樹定價圖 假設(shè)現(xiàn)期股票價格為0S，在無風(fēng)險利率fr之下，預(yù)期在第 — 期里股票價格可0S由上漲到 1S或者下跌到2S，概率分別為 p 和pq ?? 1。 2022/2/16 35 三、兩期的歐式期權(quán)定價模型 單期的期權(quán)定價方法很容易擴(kuò)展到期限更長的期權(quán)合約。 根據(jù)題意，有圖 10. 2 . 4 。因此，適當(dāng)?shù)?△ 可以使上面這個證券組合成為無風(fēng)險資產(chǎn)，即股票價格上升與股票價格下降時的該資產(chǎn)組合的價值相同，于是有： 2211fSfS ??????? ( 1 0 . 2 . 1 6 ) 2022/2/16 32 圖 10 . 2. 3 單期的歐式賣權(quán)二叉樹定價圖 于是，可以解得： 21201212SSSSSSff??????? ( 10 . 7 ) 資產(chǎn)組合現(xiàn)值與初始投資值應(yīng)該相等： 001fSeSTrf?????? ( 10 . 2. 18 ) 整理得出買權(quán)的最終定價公式：???????010SeSfTrf ( 10 . 2. 19 ) 式 ( 10 . 2. 10 ) 在這里仍然成立，即 有：2120SSSeSpTrf??? 2022/2/16 33 事實上，我們同樣也可以把 ( 10. 2 . 12) 式整理為用 P 表示的表達(dá)式，整理的結(jié)果為 ：? ?TrTrtteSSpefppff???????? ))(1()1(20220( 10. 2. 20 ) 例 10. 2 . 3 ， 假設(shè)無風(fēng)險利率為 6 ％，某種股票的當(dāng)前價格為每股 $40 美元，我們預(yù)期 3 個月后其價格可能是每股 $4 5 美元或者每股 $35 美元，其概率分別為 p 和pq ?? 1。 現(xiàn)在考慮以價格0f 買入一份賣權(quán)，以及按照套頭率 △ ，以價格0S 購買 △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無風(fēng)險資產(chǎn)組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 1 5 ) 當(dāng)股票價格上升到 1S時，該組合的價值為：??????111SfS。 2022/2/16 31 （二）歐式賣權(quán)的定價模型 返回章 假設(shè)現(xiàn)期股票價格為0P ，在無風(fēng)險利率fr 之下，在任何一個單位時間段內(nèi)，股票價格的預(yù)期變動只取兩個可能值，即股票價格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S ，概率服從二次分布，分別為 p 和 pq ?? 1 。 同樣，我們也可以把 ( 10 . 2. 12 )式整理為用 P 表示的表達(dá)式，整理的結(jié)果為 ： ? ?TrTrffeSSpefppff??????? )()1(01000 ( 10. 2. 14 ) 2022/2/16 30 例 10 . 2 . 2 ，繼續(xù)使用例 10 . 2. 1 中的數(shù)據(jù)：0S ＝ $40 美元，1S ＝ $45 美元，2S = $3 5 美元， fr ＝ 6 ％， m ＝ 3 。 如果購買了0S美元的無風(fēng)險資產(chǎn)，那么在無套利假定之下， m 個月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無風(fēng)險資產(chǎn)的價值應(yīng)為股票的期望價值： 210)1( SppSeSTrf??? ( 1 0 . 2 . 9 ) 2022/2/16 29 整理得： 2120SSSeSpTrf??? ( 10. 2. 10 ) 在連續(xù)復(fù)利的條件下，對式 ( 10. 2. 4 ) ， ( 10. 2. 5 ) 中 D 的討論保持不變。 同樣假設(shè)現(xiàn)期股票價格為0S ，在無風(fēng)險利率fr 之下，股票價格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S，概率分別為 p 和pq ?? 1。先根據(jù) ( 10. 2. 2) 式得到： 3545123???????????p 由 ( 10. 2. 2) 式可得期權(quán)真實價格： ??????1230)4045(f2. 76 美元 上面的討論都是在單利的條件下進(jìn)行的討論，如果在連續(xù)復(fù)利的條件下，買權(quán)的定價公式形式就有所更改。反之，當(dāng)股票價格下跌時、現(xiàn)貨多頭虧損，但是所賣出的買權(quán)價格下降會造成期權(quán)空頭的獲利。 當(dāng)股票價格下降到2S時，該組合的價值為：??????222SfS美元。 2022/2/16 25 二、單期歐式期權(quán)的定價模型 返回節(jié) （一）歐式買權(quán)的定價模型 假設(shè)現(xiàn)期 時 股票價格為0S ，在無風(fēng)險利率fr 之下，在任何一個單位時間段內(nèi)，股票價格的預(yù)期變動只取兩個可能值，即 ： 股票價格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S ， 其 概率服從二次分布，分別為 p 和pq ?? 1。 在西方金融市場上 ， 一般會采用離到期還有 30天的美國短期國庫券 (TBill)利率作為無風(fēng)險利率的近似替代品 ， 但即使是這種利率 ， 也是在每天發(fā)生變化 。 但這一假設(shè)的確能充分地簡化我們的理論推導(dǎo) 。 2022/2/16 24 注釋 ? [1]顯然這一假設(shè)不符合實際 ， 因為即使是交易大廳的交易商也要支付費(fèi)用 。 其中二叉樹 (Binomial Tree)期權(quán)定價模型最早是由考克斯 (Cox) 、 羅斯 (Ross) 和魯賓斯坦(Rubinstein)(1979年 )提出的 ， 他們所依據(jù)的原則也是無套利原則以及風(fēng)險中性原則 。 但期權(quán)價格的確切數(shù)值是如何確定的 ？ 這是個根本性的問題 。試確定有效期和行使價格都相同的買權(quán)的期權(quán)費(fèi)是多少。等號右邊的資產(chǎn)也就是等號左邊資產(chǎn)的組成元素。如果知道了其中的的三個，就可以確定第四個變量的均衡值。 于是 ， 我們可以得到表達(dá)式： ? Ct+SP er(Tt)=St+Pt () )( tTrS P e ??2022/2/16 21 這就是歐式看漲和賣權(quán)之間的平價關(guān)系 ( P ut C al l P a ri t y) 。 ? 于是 ， 當(dāng)股價上漲時 ， 買權(quán)為實值 ， 賣權(quán)為虛值 ，此時組合 A、 B的價值都為： ST；當(dāng)股價下跌時 ， 買權(quán)為虛值 ， 賣權(quán)為實值 ， 此時組合 A、 B的價值都為 SP。 ? 在時刻 t=T， 如買權(quán)為實值 ， 組合 A的價值為：SP+(STSP)=ST；如買權(quán)為虛值 ， 組合 A的價值為 SP。 2022/2/16 20 五、賣權(quán)與買權(quán)之間的平價關(guān)系 ? 在時刻 t=0， 考慮下面兩個組合： 返回電子版主頁 ? 組合 A：一份行使價格為 SP的歐式買權(quán)和價值為 ? 的現(xiàn)金 。 ? 一般說來 ， 隨著股票價格 S的減少 ， 無風(fēng)險利率 r的增加和股票價格的波動率 σ的減少 ， 提前行使賣權(quán)就更有利 。 SPSS P eSC tTr ???? ?? )(2022/2/16 19 四、美式賣權(quán)的提前行使 ? 賣權(quán)與買權(quán)不同 ， 提前行使可能是更有利的 ， 我們可以考慮一個極端的例子 ，假設(shè)期權(quán)的行使價格為 10元 ， 此時股票價格為 0， 由于股票價格不會為負(fù) ， 因而此時行使賣權(quán)可以獲取最大收益 。 一旦該期權(quán)被行使 ， 投資者選擇了持有股票 ， 這種保險就消失了 。 第一個理由在于期權(quán)能夠提供保險 。 因而我們可得到結(jié)論：提前行使期權(quán)是不明智的 。 美式買權(quán)不該提前行使也可以通過下面的式子來說明 。 如果投資者認(rèn)為股票價格被高估 ， 那么他的最優(yōu)選擇應(yīng)該是出售期權(quán)而并非行使它 （ 另一種可以選擇的做法是投資者持有期權(quán)并出售股票 ， 這樣就可以把利潤鎖定在 20元以上 ） 。 不僅如此 ， 如果股票的價格在一個月后跌到 30元以下 ， 沒有提前行使期權(quán)的投資者一定會慶幸自己做出了正確的選擇 。 選擇持有期權(quán)并在到期日行使期權(quán) ， 這是更好的策略 。 假設(shè)投資者擁有一份買權(quán) ， 并且期權(quán)處于實值狀態(tài) （ 如果期權(quán)是虛值狀態(tài)的話 ， 投資者當(dāng)然不會提前行使期權(quán) ） ， 比如期權(quán)的行使價格為 30元 ， 距到期日還有一個月 ， 無風(fēng)險利率為 10%， 股票價格為 50元 。 2022/2/16 14 表 期權(quán)價格的上下限 期權(quán)種類 價格下限 價格上限 歐式買權(quán) ),0()( tTrtS P eSMa x??? tS 美式買權(quán) ),0( SPSM a x T ? tS 歐式賣權(quán) ),0()(ttTrSS P eMa x ??? )