【正文】 2S時，該組合的價值為：??????222SfS美元。 在西方金融市場上 ， 一般會采用離到期還有 30天的美國短期國庫券 (TBill)利率作為無風險利率的近似替代品 ， 但即使是這種利率 ， 也是在每天發(fā)生變化 。 2022/2/16 24 注釋 ? [1]顯然這一假設不符合實際 ， 因為即使是交易大廳的交易商也要支付費用 。 但期權(quán)價格的確切數(shù)值是如何確定的 ？ 這是個根本性的問題 。等號右邊的資產(chǎn)也就是等號左邊資產(chǎn)的組成元素。 于是 ， 我們可以得到表達式： ? Ct+SP er(Tt)=St+Pt () )( tTrS P e ??2022/2/16 21 這就是歐式看漲和賣權(quán)之間的平價關(guān)系 ( P ut C al l P a ri t y) 。 ? 在時刻 t=T， 如買權(quán)為實值 ， 組合 A的價值為：SP+(STSP)=ST；如買權(quán)為虛值 ， 組合 A的價值為 SP。 ? 一般說來 ， 隨著股票價格 S的減少 ， 無風險利率 r的增加和股票價格的波動率 σ的減少 ， 提前行使賣權(quán)就更有利 。 一旦該期權(quán)被行使 ， 投資者選擇了持有股票 ， 這種保險就消失了 。 因而我們可得到結(jié)論：提前行使期權(quán)是不明智的 。 如果投資者認為股票價格被高估 ， 那么他的最優(yōu)選擇應該是出售期權(quán)而并非行使它 （ 另一種可以選擇的做法是投資者持有期權(quán)并出售股票 ， 這樣就可以把利潤鎖定在 20元以上 ） 。 選擇持有期權(quán)并在到期日行使期權(quán) ， 這是更好的策略 。 2022/2/16 14 表 期權(quán)價格的上下限 期權(quán)種類 價格下限 價格上限 歐式買權(quán) ),0()( tTrtS P eSMa x??? tS 美式買權(quán) ),0( SPSM a x T ? tS 歐式賣權(quán) ),0()(ttTrSS P eMa x ??? )( tTrS P e?? 美式賣權(quán) ),0(TSSPM a x ? SP 2022/2/16 15 三、美式買權(quán)的提前行使 ? 美式買權(quán)的提前行使是否明智 ？ 通過下面的討論 ， 我們可以看出：提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 如果SPST?，則期權(quán)不會 被 行使，該組合的價值為：SPSSPSPTTT????0 。 如果這一關(guān)系不成立的話，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價值的價格購入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來獲得無風險利潤。因而，我們能夠得出在時刻 t ，有： 0)(?????ttTrtSS PeC ( 10. 1. 5) 或者寫成： )( tTrttS P eSC???? ( 10. 1. 6) 由于對于一個歐式買權(quán)來說，可能發(fā)生的 最壞情況是期權(quán)到期時其價值為零，這意味著期權(quán)的價值必須為正值，即0?tC。 如果 TSSP ?， 買權(quán)為虛值期權(quán)，期權(quán)不會被行使，組合會有一個正的價值：TSSP ?。 2022/2/16 10 在時刻 t = 0 ，這一組合的價值為：00SS P eCrT???；在時刻t = T ，這一組合的價值為：TTSSPC ?? 。 如果這一關(guān)系不成立的話，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價值的價格購入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來獲得無風險利潤。 只有在股票價格tS=0 時，賣權(quán)才會達到其最大價格。 2022/2/16 4 第一節(jié) 期權(quán)價格的上下限 ?一、買權(quán)與賣權(quán)的上限 ?二 、 買權(quán)與賣權(quán)的下限 ?三 、 美式買權(quán)的提前行使 ?四 、 美式賣權(quán)的提前行使 ?五 、 賣權(quán)與買權(quán)之間的平價關(guān)系 2022/2/16 5 一、買權(quán)與賣權(quán)的上限 ? （ 一 ） 買權(quán)的上限 ? （ 二 ） 賣權(quán)的上限 2022/2/16 6 （一）買權(quán)的上限 （一）買權(quán)的上限 單股股票（以下討論同） 美式買權(quán)或歐式買權(quán)的最大價格就 是 t 時刻的股票價格tS ， 這是因為 單股 美式買權(quán)或歐式買權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 事先 確定的 行使 價格 SP 來 購買一 股 股票，如果買權(quán)的價格大于股票價格，則套利者可以通過購買股 票并賣出買權(quán)，輕易地獲得無風險利潤。2022/2/16 1 《 金融工程學基礎 》 第十章期權(quán)定價 （ 返回電子版主頁 ）（ 返回 ） 周愛民 主編 參編：羅曉波、王超穎、譚秋燕、穆菁、 張紹坤、周霞、周天怡、陳婷婷 ? 南開大學經(jīng)濟學院金融學系 ? ? 天津市 (300071) 2022/2/16 2 第十章 期權(quán)定價 ?第一節(jié) 期權(quán)價格的上下限 ?第二節(jié) 二叉樹期權(quán)定價法 ?第三節(jié) BlackScholes模型 ?第四節(jié) 新型期權(quán) 2022/2/16 3 本章所用到符號 S P ：期權(quán)的行 使 價格； T ：期權(quán)的到期時間； tT ? : 期權(quán)距到期日在一年時間中的比率； tS ：股票在時刻 t 的價格； tC ： 單股股票 歐式買權(quán)在時刻 t 的價格； tc ： 單股股票 美式買權(quán)在時刻 t 的價格； tP ： 單股股票 歐式賣權(quán)在時刻 t 的價格； tp： 單 股股票 美式賣權(quán)在時刻 t 的價格； r ： 在 T 時刻到期的投資的無風險利率。我們通過消除這些無風險套利機會來確定期權(quán)的上下限。 這是因為 單股的 美式賣權(quán)或歐式賣權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 行使價格 SP 出售一股股票，如果美式賣權(quán)的價格大于行 使 價格，或者歐式賣權(quán)的價格大于其行 使 價格的貼現(xiàn)值，則套利者可以通過出售賣權(quán)并將所得收入以無風險利率進行投資， 便 獲得無風險收益。 對于虛值期權(quán)和平價期權(quán) 來說 ，期權(quán)價值的最小值為 0 ；對于實值期權(quán) 來說 ，買權(quán)價值的最小值即為其內(nèi)在價值SPST?。 為了給出正式的證明，我們考慮在時刻 t 時的如下組合： 1 股股票的空頭及 1 股相應的 歐式買權(quán) 再 加上金額為)( tTrS P e??的 現(xiàn)金。這是因為買權(quán)的價值為SPST?，現(xiàn)金價值為 SP ，股票空頭的價值為 TS?，組合在時刻 T 的價值就為：0????TTSSPSPS。如果在套利者消除了那些無風險套利機會后，我們 就 可以發(fā)現(xiàn)：一份絕不會造成凈支出的組合是不可能有一個負價格的。 對于虛值期權(quán)和平價期權(quán)，期權(quán)價值的最小值為 0 ；對于實值期權(quán)，賣權(quán)價值的最小值即為 其內(nèi)在價值 SSP ? 。 在時刻 t =T ，這一 組合的價值為：SPSPTT??。由于一份絕不會造成凈支出的組合是不可能有一個負價格的，我們可以得出 ： 0)(????? tTrttS P eSP ( 10 . 1. 11 ) 或者寫成： ttTrtSS P eP ???? )( ( 10 . 1. 12 ) 因而，我們得到歐式賣權(quán)在時刻 t = 0 的下限為： ),0(00SS P eMa xPrT??? ( 10 . 1. 13 ) 所以，一般 情況下應有： ),0()(ttTrtSS P eM a xP ???? ( 10 . 1. 1 4 ) 現(xiàn)在，我們可以總結(jié)一下在任意時刻 t ( t ? T ) 期權(quán)的上下限，見表 10 . 1. 1 。 2022/2/16 16 ? 此時投資者有提前行使期權(quán)的動力 ， 但是如果投資者希望在行使期權(quán)后繼續(xù)持有該股票一個月 （ 即在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ） ， 那么提前行使期權(quán)就是不明智的 。 2022/2/16 17 我們還可以得到另一個結(jié)論： ? 即便在投資者認為股票價格被高估的情況下 ， 提前行使期權(quán)仍不是最好的選擇 。 ),0( )( tTrtt S P eSM a xC ???? 0 8 3 3 ?? ??e2022/2/16 18 三、美式買權(quán)的提前行使 ? 由于 ， 如果提前行使是明智的 ， 那么該期權(quán)會獲得 SSP的收入 ，即 C應等于 SSP， 小于美式期權(quán)的最小價值 。 當投資者持有買權(quán)而不是持有股票本身時 ，買權(quán)保證持有者在股票價格下降到行使價格之下時不受損失 。 即便股票價格一直為 0， 提前獲得 10元的收益也要比等到期權(quán)到期時才拿到這 10元有利一些 。 ? 組合 B： 1份行使價格為 SP的歐式賣權(quán)和 1手股票 。 ? 由于組合 A、 B的收益相同 ， 因而一定有相同價格 ，否則套利就會存在 。 上式中各個組成部分也可寫成： )( tTrtttS P ePSC????? ( 1 7 ) )( tTrtttS P ePCS????? ( 1 8 ) )( tTrtttS P eSCP????? ( 1 9 ) ttttTrPCSS P e ????? )( ( 1 . 20 ) 等號左邊所表示的資產(chǎn)可以通過右邊的組合表示出來。 由平價定理 ，可得 ： )(???????????eS P ePSCtTrttt 2022/2/16 22 第二節(jié) 二叉樹期權(quán)定價法 ? 在前面我們分析了期權(quán)價格的界定范圍 ， 說明期權(quán)的價格必須滿足某些限制條件 ， 否則會引起套購活動的發(fā)生 。 返回章 ? 一 、 二叉樹期權(quán)定價模型的假設條件 ? 二 、 單期歐式期權(quán)的定價模型 ? 三 、 兩期的歐式期權(quán)定價模型 ? 四 、 二叉樹期權(quán)定價模型的其他應用 2022/2/16 23 一、二叉樹期權(quán)定價模型的假設條件 ? 股票市場是有效的； ? 存在著股票的賣空機制 ， 但不存在套利機會； ? 股票和期權(quán)合約的買賣不涉及交易成本 、也不考慮稅收； [1] ? 市場參與者可按已知的無風險利率無限制地借入借出資金； ? 無風險利率為常數(shù)； [2] ? 金融市場上的投資者都是風險中立者；[3] ? 假設基礎資產(chǎn)的價格在離散的或不連續(xù)的時間內(nèi)服從一個倍增的二項式過程 。 ? [2]無風險利率是金融業(yè)常用的一個術(shù)語 ，實際上并不存在真正無風險的利率 。 當股票價格上漲到1S 時，其行使價格為0S 的買權(quán)，其理論價值1f 就是01SS ? ，而如果股票價格下跌到2S 時，則該期權(quán)的理論價值2f 就為 0( 見圖 10 . 2. 1 ) 另一方面，如果購買了0S美元的無風險資產(chǎn)，那么在無套利假定之下，m 個月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無風險資產(chǎn)的價值應為股票的期望價值： 210)1(121 SppSmrSf??????????? ( 10 . 2. 1) 于是 ， 可以解得概率 ： 2120121SSSmrSpf??????????? ( 1 0 . 2 . 2 ) 2022/2/16 26 現(xiàn)在考慮以價格0f 賣出一份買權(quán)，以及按照套頭率 △ ，以價格0S 購買 △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無風險資產(chǎn)組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 3 ) 圖 10. 2. 1 單期歐式 買 權(quán) 的 二叉樹定價圖 當股票價格上升到1P時，該組合的價值為：)(01111SSSfS ????????。 2022/2/16 27 因此，適當?shù)?△ 可以使上面這個證券組合成為無風險資產(chǎn)，因此， m 個月后股票價格上升與股票價格下降時的無風險資產(chǎn)價值相同，從期權(quán)的理論價格方面來說，即有： 2211fSfS ???????