【正文】 2S時(shí)，該組合的價(jià)值為：??????222SfS美元。 在西方金融市場(chǎng)上 ， 一般會(huì)采用離到期還有 30天的美國(guó)短期國(guó)庫(kù)券 (TBill)利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的近似替代品 ， 但即使是這種利率 ， 也是在每天發(fā)生變化 。 2022/2/16 24 注釋 ? [1]顯然這一假設(shè)不符合實(shí)際 ， 因?yàn)榧词故墙灰状髲d的交易商也要支付費(fèi)用 。 但期權(quán)價(jià)格的確切數(shù)值是如何確定的 ？ 這是個(gè)根本性的問(wèn)題 。等號(hào)右邊的資產(chǎn)也就是等號(hào)左邊資產(chǎn)的組成元素。 于是 ， 我們可以得到表達(dá)式： ? Ct+SP er(Tt)=St+Pt () )( tTrS P e ??2022/2/16 21 這就是歐式看漲和賣(mài)權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 ( P ut C al l P a ri t y) 。 ? 在時(shí)刻 t=T， 如買(mǎi)權(quán)為實(shí)值 ， 組合 A的價(jià)值為：SP+(STSP)=ST；如買(mǎi)權(quán)為虛值 ， 組合 A的價(jià)值為 SP。 ? 一般說(shuō)來(lái) ， 隨著股票價(jià)格 S的減少 ， 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r的增加和股票價(jià)格的波動(dòng)率 σ的減少 ， 提前行使賣(mài)權(quán)就更有利 。 一旦該期權(quán)被行使 ， 投資者選擇了持有股票 ， 這種保險(xiǎn)就消失了 。 因而我們可得到結(jié)論：提前行使期權(quán)是不明智的 。 如果投資者認(rèn)為股票價(jià)格被高估 ， 那么他的最優(yōu)選擇應(yīng)該是出售期權(quán)而并非行使它 （ 另一種可以選擇的做法是投資者持有期權(quán)并出售股票 ， 這樣就可以把利潤(rùn)鎖定在 20元以上 ） 。 選擇持有期權(quán)并在到期日行使期權(quán) ， 這是更好的策略 。 2022/2/16 14 表 期權(quán)價(jià)格的上下限 期權(quán)種類(lèi) 價(jià)格下限 價(jià)格上限 歐式買(mǎi)權(quán) ),0()( tTrtS P eSMa x??? tS 美式買(mǎi)權(quán) ),0( SPSM a x T ? tS 歐式賣(mài)權(quán) ),0()(ttTrSS P eMa x ??? )( tTrS P e?? 美式賣(mài)權(quán) ),0(TSSPM a x ? SP 2022/2/16 15 三、美式買(mǎi)權(quán)的提前行使 ? 美式買(mǎi)權(quán)的提前行使是否明智 ？ 通過(guò)下面的討論 ， 我們可以看出：提前行使期權(quán)不是最好的選擇 。 如果SPST?，則期權(quán)不會(huì) 被 行使，該組合的價(jià)值為：SPSSPSPTTT????0 。 如果這一關(guān)系不成立的話(huà)，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的價(jià)格購(gòu)入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來(lái)獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。因而，我們能夠得出在時(shí)刻 t ，有： 0)(?????ttTrtSS PeC ( 10. 1. 5) 或者寫(xiě)成： )( tTrttS P eSC???? ( 10. 1. 6) 由于對(duì)于一個(gè)歐式買(mǎi)權(quán)來(lái)說(shuō)，可能發(fā)生的 最壞情況是期權(quán)到期時(shí)其價(jià)值為零，這意味著期權(quán)的價(jià)值必須為正值，即0?tC。 如果 TSSP ?， 買(mǎi)權(quán)為虛值期權(quán)，期權(quán)不會(huì)被行使，組合會(huì)有一個(gè)正的價(jià)值：TSSP ?。 2022/2/16 10 在時(shí)刻 t = 0 ，這一組合的價(jià)值為：00SS P eCrT???；在時(shí)刻t = T ，這一組合的價(jià)值為：TTSSPC ?? 。 如果這一關(guān)系不成立的話(huà)，套利者就可以以低于期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的價(jià)格購(gòu)入期權(quán)，然后馬上行使期權(quán)來(lái)獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。 只有在股票價(jià)格tS=0 時(shí)，賣(mài)權(quán)才會(huì)達(dá)到其最大價(jià)格。 2022/2/16 4 第一節(jié) 期權(quán)價(jià)格的上下限 ?一、買(mǎi)權(quán)與賣(mài)權(quán)的上限 ?二 、 買(mǎi)權(quán)與賣(mài)權(quán)的下限 ?三 、 美式買(mǎi)權(quán)的提前行使 ?四 、 美式賣(mài)權(quán)的提前行使 ?五 、 賣(mài)權(quán)與買(mǎi)權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 2022/2/16 5 一、買(mǎi)權(quán)與賣(mài)權(quán)的上限 ? （ 一 ） 買(mǎi)權(quán)的上限 ? （ 二 ） 賣(mài)權(quán)的上限 2022/2/16 6 （一）買(mǎi)權(quán)的上限 （一）買(mǎi)權(quán)的上限 單股股票（以下討論同） 美式買(mǎi)權(quán)或歐式買(mǎi)權(quán)的最大價(jià)格就 是 t 時(shí)刻的股票價(jià)格tS ， 這是因?yàn)?單股 美式買(mǎi)權(quán)或歐式買(mǎi)權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 事先 確定的 行使 價(jià)格 SP 來(lái) 購(gòu)買(mǎi)一 股 股票，如果買(mǎi)權(quán)的價(jià)格大于股票價(jià)格，則套利者可以通過(guò)購(gòu)買(mǎi)股 票并賣(mài)出買(mǎi)權(quán)，輕易地獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。2022/2/16 1 《 金融工程學(xué)基礎(chǔ) 》 第十章期權(quán)定價(jià) （ 返回電子版主頁(yè) ）（ 返回 ） 周愛(ài)民 主編 參編：羅曉波、王超穎、譚秋燕、穆菁、 張紹坤、周霞、周天怡、陳婷婷 ? 南開(kāi)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院金融學(xué)系 ? ? 天津市 (300071) 2022/2/16 2 第十章 期權(quán)定價(jià) ?第一節(jié) 期權(quán)價(jià)格的上下限 ?第二節(jié) 二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)法 ?第三節(jié) BlackScholes模型 ?第四節(jié) 新型期權(quán) 2022/2/16 3 本章所用到符號(hào) S P ：期權(quán)的行 使 價(jià)格； T ：期權(quán)的到期時(shí)間； tT ? : 期權(quán)距到期日在一年時(shí)間中的比率； tS ：股票在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tC ： 單股股票 歐式買(mǎi)權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tc ： 單股股票 美式買(mǎi)權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tP ： 單股股票 歐式賣(mài)權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tp： 單 股股票 美式賣(mài)權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； r ： 在 T 時(shí)刻到期的投資的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。我們通過(guò)消除這些無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)來(lái)確定期權(quán)的上下限。 這是因?yàn)?單股的 美式賣(mài)權(quán)或歐式賣(mài)權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 行使價(jià)格 SP 出售一股股票，如果美式賣(mài)權(quán)的價(jià)格大于行 使 價(jià)格，或者歐式賣(mài)權(quán)的價(jià)格大于其行 使 價(jià)格的貼現(xiàn)值，則套利者可以通過(guò)出售賣(mài)權(quán)并將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資， 便 獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。 對(duì)于虛值期權(quán)和平價(jià)期權(quán) 來(lái)說(shuō) ，期權(quán)價(jià)值的最小值為 0 ；對(duì)于實(shí)值期權(quán) 來(lái)說(shuō) ，買(mǎi)權(quán)價(jià)值的最小值即為其內(nèi)在價(jià)值SPST?。 為了給出正式的證明，我們考慮在時(shí)刻 t 時(shí)的如下組合： 1 股股票的空頭及 1 股相應(yīng)的 歐式買(mǎi)權(quán) 再 加上金額為)( tTrS P e??的 現(xiàn)金。這是因?yàn)橘I(mǎi)權(quán)的價(jià)值為SPST?，現(xiàn)金價(jià)值為 SP ，股票空頭的價(jià)值為 TS?，組合在時(shí)刻 T 的價(jià)值就為：0????TTSSPSPS。如果在套利者消除了那些無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)后，我們 就 可以發(fā)現(xiàn)：一份絕不會(huì)造成凈支出的組合是不可能有一個(gè)負(fù)價(jià)格的。 對(duì)于虛值期權(quán)和平價(jià)期權(quán)，期權(quán)價(jià)值的最小值為 0 ；對(duì)于實(shí)值期權(quán)，賣(mài)權(quán)價(jià)值的最小值即為 其內(nèi)在價(jià)值 SSP ? 。 在時(shí)刻 t =T ，這一 組合的價(jià)值為：SPSPTT??。由于一份絕不會(huì)造成凈支出的組合是不可能有一個(gè)負(fù)價(jià)格的，我們可以得出 ： 0)(????? tTrttS P eSP ( 10 . 1. 11 ) 或者寫(xiě)成： ttTrtSS P eP ???? )( ( 10 . 1. 12 ) 因而，我們得到歐式賣(mài)權(quán)在時(shí)刻 t = 0 的下限為： ),0(00SS P eMa xPrT??? ( 10 . 1. 13 ) 所以，一般 情況下應(yīng)有： ),0()(ttTrtSS P eM a xP ???? ( 10 . 1. 1 4 ) 現(xiàn)在，我們可以總結(jié)一下在任意時(shí)刻 t ( t ? T ) 期權(quán)的上下限，見(jiàn)表 10 . 1. 1 。 2022/2/16 16 ? 此時(shí)投資者有提前行使期權(quán)的動(dòng)力 ， 但是如果投資者希望在行使期權(quán)后繼續(xù)持有該股票一個(gè)月 （ 即在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ） ， 那么提前行使期權(quán)就是不明智的 。 2022/2/16 17 我們還可以得到另一個(gè)結(jié)論： ? 即便在投資者認(rèn)為股票價(jià)格被高估的情況下 ， 提前行使期權(quán)仍不是最好的選擇 。 ),0( )( tTrtt S P eSM a xC ???? 0 8 3 3 ?? ??e2022/2/16 18 三、美式買(mǎi)權(quán)的提前行使 ? 由于 ， 如果提前行使是明智的 ， 那么該期權(quán)會(huì)獲得 SSP的收入 ，即 C應(yīng)等于 SSP， 小于美式期權(quán)的最小價(jià)值 。 當(dāng)投資者持有買(mǎi)權(quán)而不是持有股票本身時(shí) ，買(mǎi)權(quán)保證持有者在股票價(jià)格下降到行使價(jià)格之下時(shí)不受損失 。 即便股票價(jià)格一直為 0， 提前獲得 10元的收益也要比等到期權(quán)到期時(shí)才拿到這 10元有利一些 。 ? 組合 B： 1份行使價(jià)格為 SP的歐式賣(mài)權(quán)和 1手股票 。 ? 由于組合 A、 B的收益相同 ， 因而一定有相同價(jià)格 ，否則套利就會(huì)存在 。 上式中各個(gè)組成部分也可寫(xiě)成： )( tTrtttS P ePSC????? ( 1 7 ) )( tTrtttS P ePCS????? ( 1 8 ) )( tTrtttS P eSCP????? ( 1 9 ) ttttTrPCSS P e ????? )( ( 1 . 20 ) 等號(hào)左邊所表示的資產(chǎn)可以通過(guò)右邊的組合表示出來(lái)。 由平價(jià)定理 ，可得 ： )(???????????eS P ePSCtTrttt 2022/2/16 22 第二節(jié) 二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)法 ? 在前面我們分析了期權(quán)價(jià)格的界定范圍 ， 說(shuō)明期權(quán)的價(jià)格必須滿(mǎn)足某些限制條件 ， 否則會(huì)引起套購(gòu)活動(dòng)的發(fā)生 。 返回章 ? 一 、 二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件 ? 二 、 單期歐式期權(quán)的定價(jià)模型 ? 三 、 兩期的歐式期權(quán)定價(jià)模型 ? 四 、 二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型的其他應(yīng)用 2022/2/16 23 一、二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件 ? 股票市場(chǎng)是有效的； ? 存在著股票的賣(mài)空機(jī)制 ， 但不存在套利機(jī)會(huì)； ? 股票和期權(quán)合約的買(mǎi)賣(mài)不涉及交易成本 、也不考慮稅收； [1] ? 市場(chǎng)參與者可按已知的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率無(wú)限制地借入借出資金； ? 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)； [2] ? 金融市場(chǎng)上的投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中立者；[3] ? 假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格在離散的或不連續(xù)的時(shí)間內(nèi)服從一個(gè)倍增的二項(xiàng)式過(guò)程 。 ? [2]無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是金融業(yè)常用的一個(gè)術(shù)語(yǔ) ，實(shí)際上并不存在真正無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的利率 。 當(dāng)股票價(jià)格上漲到1S 時(shí)，其行使價(jià)格為0S 的買(mǎi)權(quán)，其理論價(jià)值1f 就是01SS ? ，而如果股票價(jià)格下跌到2S 時(shí)，則該期權(quán)的理論價(jià)值2f 就為 0( 見(jiàn)圖 10 . 2. 1 ) 另一方面，如果購(gòu)買(mǎi)了0S美元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那么在無(wú)套利假定之下，m 個(gè)月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值應(yīng)為股票的期望價(jià)值： 210)1(121 SppSmrSf??????????? ( 10 . 2. 1) 于是 ， 可以解得概率 ： 2120121SSSmrSpf??????????? ( 1 0 . 2 . 2 ) 2022/2/16 26 現(xiàn)在考慮以?xún)r(jià)格0f 賣(mài)出一份買(mǎi)權(quán)，以及按照套頭率 △ ，以?xún)r(jià)格0S 購(gòu)買(mǎi) △ 數(shù)量的股票，于是可以生成無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合 L ： 00fSL ???? ( 1 0 . 2 . 3 ) 圖 10. 2. 1 單期歐式 買(mǎi) 權(quán) 的 二叉樹(shù)定價(jià)圖 當(dāng)股票價(jià)格上升到1P時(shí)，該組合的價(jià)值為：)(01111SSSfS ????????。 2022/2/16 27 因此，適當(dāng)?shù)?△ 可以使上面這個(gè)證券組合成為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因此， m 個(gè)月后股票價(jià)格上升與股票價(jià)格下降時(shí)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值相同，從期權(quán)的理論價(jià)格方面來(lái)說(shuō)，即有： 2211fSfS ???????