【正文】 回節(jié) 2022/2/16 68 第四節(jié) 新型期權(quán) ? 近幾年來(lái) ， 在金融市場(chǎng)上開始出現(xiàn)了一些獨(dú)樹一幟的品種 ， 被總結(jié)為第二代期權(quán) 。 ? 三 、 多因素期權(quán) ——期權(quán)的最終收益取決于兩 個(gè) 或 更 多 的 載 體 資 產(chǎn) 的 價(jià) 格 ， 合同條款變化型期權(quán) 。 這種期權(quán)計(jì)算更復(fù)雜 ， 只能用二叉樹方法或三叉樹方法近似求解 。 ? （ 2） “ 一觸即有 ” 型：該種期權(quán)只要在有效期內(nèi)某一階段為價(jià)內(nèi)期權(quán)就會(huì)有收益 。 ?返回子小節(jié) 2022/2/16 73 延期期權(quán)或可擴(kuò)展期權(quán) ? 擁有這種期權(quán)的投資者有權(quán)在未來(lái)某時(shí)刻獲得另一種期權(quán) ， 且該期權(quán)的約定價(jià)格是當(dāng)日標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià) 。 返回子小節(jié) 2022/2/16 74 買賣權(quán)可選期權(quán)或后定期權(quán) ? 這種期權(quán)持有者有權(quán)在未來(lái)某時(shí)刻獲得另一種期權(quán) ， 既可選買權(quán)也可選賣權(quán) 。 后定選擇權(quán)封閉解是 Rubinstein (199 1994)得出的 。 返回子小節(jié) 2022/2/16 76 檔板期權(quán)或障礙期權(quán) ? 檔板期權(quán) (Barry Option)在初始時(shí)就確定兩個(gè)價(jià)格水平 ， 其一為約定價(jià)格 ， 另一個(gè)是特定的檔板價(jià)格 (Barrier)或 引發(fā)價(jià)格 。 2022/2/16 77 觸消期權(quán) /觸發(fā)期權(quán) ? 檔板買權(quán)的檔板價(jià)格通常比約定價(jià)格和當(dāng)前資產(chǎn)價(jià)格都要低 ,這就產(chǎn)生兩種檔板買權(quán)： ? （ 1） 向下觸消型買權(quán) (Downandout Calls)； ? （ 2） 向下觸發(fā)型買權(quán) (Downandin Calls)。 檔板期可分為兩種： ? （ 1） 觸消期權(quán) (Knockout Option)： 觸消期權(quán)一開始與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)一樣 ， 但當(dāng)檔板價(jià)格水平被突破時(shí)權(quán)利就會(huì)消失； 返回子小節(jié) ? （ 2） 觸發(fā)期權(quán) (Knockin Option)： 觸發(fā)期權(quán)當(dāng)價(jià)格達(dá)到檔板水平時(shí)就會(huì)被激活 。 棘輪期權(quán)的約定價(jià)格在預(yù)先確定的日期重新確定 ， 梯形期權(quán)則可以多次在達(dá)到預(yù)先定好的資產(chǎn)價(jià)格水平時(shí)重新約定價(jià)格 。 ? 前兩種選擇權(quán)的到期日相同 ， 行使價(jià)格也相同 ， 所以定價(jià)公式并不復(fù)雜 。 有了可擴(kuò)展期權(quán)就可以不再經(jīng)常更換期權(quán) ， 從而降低避險(xiǎn)成本 。 返回子小節(jié) 2022/2/16 72 遲付期權(quán)或或有期權(quán) ? 這種期權(quán)除非打算執(zhí)行 ， 否則不需要支付購(gòu)買價(jià)格 。就像二進(jìn)制數(shù)那樣 ， 非 0即 1， 所以才有此名 。 ?返回章 2022/2/16 70 半美式期權(quán)或百慕大式期權(quán) ? 歐式期權(quán)只能在到期日清算執(zhí)行 ， 而美式期權(quán)可在期權(quán)有效期內(nèi)任意時(shí)間點(diǎn)上通過執(zhí)有一份相反的期權(quán)頭寸而對(duì)沖 。 主要包括： 返回章 ? 一 、 合同條款變化型期權(quán) ——由于標(biāo)準(zhǔn)條款的一些基本特征的變化而產(chǎn)生的新期權(quán) 。 但對(duì)于買權(quán)來(lái)說 ， 前者將使期權(quán)價(jià)格上升 ， 而后者將使期權(quán)價(jià)格下降 。 ? （ 三 ） 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 ? 從比較靜態(tài)的角度考察 ． 即比較不同利率水平下的兩種均衡狀態(tài) 。 人們買入賣權(quán)就是指望從股價(jià)下跌中獲利 。 0 5 1 1 0 3 2 4 6 24140ln21??????????????????????d 0 3 1 1 5 1 1 2???d )0 3 1 1 (45)0 5 1 1 (400NeNC??????= 2 6 4 0 4 ?????? 5 9 3 5 4 8 5 6 4 0 4 0?????P 2022/2/16 66 三、期權(quán)價(jià)格的決定因素： ? 從 B—S模型所涉及的變量來(lái)看 ， 期權(quán)價(jià)格的決定因素主要有：基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的價(jià)格 ， 期權(quán)的行使價(jià)格 ， 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 ， 到期時(shí)間 ， 基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的易變性 。雖然歷史易變性與未來(lái)的金融資產(chǎn)未來(lái)的易變性存在一定的差距，但在 B — S 模型中，用歷史易變性計(jì)算期權(quán)價(jià)值也是很 好一個(gè)替代方法。但無(wú)論進(jìn)行何種高明的調(diào)整，所計(jì)算出來(lái)的結(jié)果反映的都是歷史的易變性。 樣本數(shù)越多，得出的結(jié)果就越可靠?？梢詰?yīng)用歷史資料 來(lái) 求出 金融資產(chǎn) 的易變性，我們稱之為歷史易變性，其具體計(jì)算方法需要分四步進(jìn)行計(jì)算： 2022/2/16 62 已知各個(gè)時(shí)期某金融資產(chǎn)的價(jià)格nS ，求出金融資產(chǎn)的相對(duì)價(jià)格1/?nnSS ? 取相對(duì)價(jià)格的自然對(duì)數(shù) )/l n (1?nnSS ? 求出對(duì)數(shù)相對(duì)價(jià)格樣本的均值和方差： 均值 ：NSSNiii????11)/l n (? ， 方差 ：? ?1)/l n (11??????NSSNiii?? N 為所取的樣本數(shù)?？赏瞥觯? 221?? ?? r ( .9) 2022/2/16 60 何為正態(tài)分布的對(duì)稱性？ 返回節(jié) ? 將 ()代入 ()并根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性 ， 有： 1N(d)=N(D)， 于是可得： ? 返回電子版主頁(yè) ? () ? 式 ()中的 也被稱為金融資產(chǎn)的易變性 (Volatility)。 如果SPST?，則SPSSPSTT??? )0,m a x (。 圖 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)圖 2022/2/16 57 一種金融資產(chǎn)的合理價(jià)格就是這種金融資產(chǎn)的期望值，期權(quán)到期時(shí)的合理價(jià)格就是可能出現(xiàn)的每一種價(jià)值與出現(xiàn)這每一種價(jià)值的概率的乘積之和。 在市場(chǎng)有效的假設(shè)的前提下 ， 可以認(rèn)為股票價(jià)格tS 的對(duì)數(shù)ts （ 小寫 ）遵從隨機(jī)游走 ( r an d om w al k ) 模型 ： tttss ???? 1 其中t?是一個(gè)服從于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差項(xiàng) ， 因而它另外的表達(dá)式? ?ttttttssSSSS ??????? 111lnln/ln也服從于正態(tài)分布。 而在本章節(jié)我們把收益定義為： ??????????ttSS1ln收益率 ( .1) 2022/2/16 55 可以證明，取相對(duì)價(jià)格的對(duì)數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算比采用相對(duì)價(jià)格本身來(lái)計(jì)算收益更為準(zhǔn)確。但是符合正態(tài)分布的變量一般可以取負(fù)值，但是基礎(chǔ)金融產(chǎn)品的價(jià)格沒有特殊的原因都是取正值的，這不符合正態(tài)分布的要求。 ? 之所以先選擇歐式期權(quán)來(lái)進(jìn)行定價(jià) ，是因?yàn)槊朗狡跈?quán)可以在期權(quán)的有效期內(nèi)任意時(shí)刻被行使 ， 其靈活性很大 ， 所以更有價(jià)值 。 在 B點(diǎn)，按歐式期權(quán)算得期權(quán)價(jià)格為 65 美元，美式期權(quán)是虛值的，取兩者 的最大值，可知對(duì)于美式期權(quán)來(lái)講，在 B 點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格同樣為 65美元。 圖 例 中美式買權(quán)的二叉樹定價(jià)圖 2022/2/16 49 在 B 點(diǎn)，按歐式期權(quán)算得期權(quán)價(jià)格為 99 美元，如果執(zhí)行美式期權(quán)的話，可以取得 4 美元的收益，取兩者的最大值，可知對(duì)于美式期權(quán)來(lái)講，在 B 點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格同樣為 99 美元。 2022/2/16 47 圖 1 例 中的二叉樹定價(jià)圖 2022/2/16 48 美式期權(quán) 可以在有效期內(nèi)的任何一天執(zhí)行 。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10 ％時(shí) ,除息日在第一期期末，該公司決定每股股票派發(fā)股價(jià) 3% 的股息。試求執(zhí)行價(jià)格為 $40 美元的買權(quán)的合理價(jià)格。 1 、 如果某上市公司是向每股股票派發(fā)固定數(shù)額的股息設(shè)為 D ，這上面分析的模型中需要對(duì)股票價(jià)格作出調(diào)整 ，如圖 所示。就期權(quán)而言，不管是看漲的還是看跌的 , 歐式的還是美式的 , 支付股利的還是不支付股利的，該模型都能適合。 表 買方期權(quán)與賣方期權(quán)的定價(jià)比較 定價(jià) 一期 兩期 買方期權(quán) $ 2 . 76 $2. 74 賣方期權(quán) $ 2 . 1 7 $ 1 . 49 如果將以上的 4 個(gè)例子做一個(gè)比較的話，見表 ，我們發(fā)現(xiàn)這樣一些事實(shí)： 1 、 賣權(quán)的定價(jià) 一般都要 低于買權(quán)的定價(jià) ； 2 、 由于兩期的 累計(jì) 偏差會(huì)更大，所以兩期的賣權(quán)定價(jià) 一般要 比兩期的買權(quán)定價(jià) 低 更 多 。 但 實(shí)際上這 其實(shí) 并不 能 構(gòu)成問題，我們完全可以通過增加期數(shù)（或縮短單位時(shí)間長(zhǎng)度）來(lái)擴(kuò)大股票價(jià)格變動(dòng)的范圍，從而使二叉樹期權(quán)定價(jià)模型更加準(zhǔn)確地反映金融市場(chǎng)的運(yùn)行情況。 ? 從表面上看 ， 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型似乎有一個(gè)不足 ， 即假設(shè)每一期股票價(jià)格變動(dòng)的結(jié)果只有兩種可能性 ， 而在現(xiàn)實(shí)中 ， 股票的價(jià)格可謂千變?nèi)f化 。則將 ( ) 、 ( .22) 兩式代入 ( ) 式，最后有： ? ?Trfefpfppfpf2222121120)1()1(2?????? ( ) 式 ( ) 即適用于買權(quán)，又 適用 于賣權(quán)。 2022/2/16 36 行使價(jià)格為0S的買權(quán)價(jià)格在基期時(shí)被設(shè)為0f，當(dāng)股票價(jià)格上漲到1S時(shí)，期權(quán)價(jià)格為1f，當(dāng)股票價(jià)格下跌到2S時(shí)，則期權(quán)價(jià)格為2f。 2022/2/16 35 三、兩期的歐式期權(quán)定價(jià)模型 單期的期權(quán)定價(jià)方法很容易擴(kuò)展到期限更長(zhǎng)的期權(quán)合約。因此，適當(dāng)?shù)?△ 可以使上面這個(gè)證券組合成為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，即股票價(jià)格上升與股票價(jià)格下降時(shí)的該資產(chǎn)組合的價(jià)值相同，于是有： 2211fSfS ??????? ( 1 0 . 2 . 1 6 ) 2022/2/16 32 圖 10 . 2. 3 單期的歐式賣權(quán)二叉樹定價(jià)圖 于是，可以解得： 21201212SSSSSSff??????? ( 10 . 7 ) 資產(chǎn)組合現(xiàn)值與初始投資值應(yīng)該相等： 001fSeSTrf?????? ( 10 . 2. 18 ) 整理得出買權(quán)的最終定價(jià)公式：???????010SeSfTrf ( 10 . 2. 19 ) 式 ( 10 . 2. 10 ) 在這里仍然成立，即 有：2120SSSeSpTrf??? 2022/2/16 33 事實(shí)上，我們同樣也可以把 ( 10. 2 . 12) 式整理為用 P 表示的表達(dá)式，整理的結(jié)果為 ：? ?TrTrtteSSpefppff???????? ))(1()1(20220( 10. 2. 20 ) 例 10. 2 . 3 ， 假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 6 ％，某種股票的當(dāng)前價(jià)格為每股 $40 美元，我們預(yù)期 3 個(gè)月后其價(jià)格可能是每股 $4 5 美元或者每股 $35 美元，其概率分別為 p 和pq ?? 1。 2022/2/16 31 （二）歐式賣權(quán)的定價(jià)模型 返回章 假設(shè)現(xiàn)期股票價(jià)格為0P ，在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率fr 之下，在任何一個(gè)單位時(shí)間段內(nèi)，股票價(jià)格的預(yù)期變動(dòng)只取兩個(gè)可能值，即股票價(jià)格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S ，概率服從二次分布，分別為 p 和 pq ?? 1 。 如果購(gòu)買了0S美元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那么在無(wú)套利假定之下， m 個(gè)月 (m ＝ 3 、 6 、 9) 后無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值應(yīng)為股票的期望價(jià)值： 210)1( SppSeSTrf??? ( 1 0 . 2 . 9 ) 2022/2/16 29 整理得： 2120SSSeSpTrf??? ( 10. 2. 10 ) 在連續(xù)復(fù)利的條件下，對(duì)式 ( 10. 2. 4 ) ， ( 10. 2. 5 ) 中 D 的討論保持不變。先根據(jù) ( 10. 2. 2) 式得到： 3545123???????????p 由 ( 10. 2. 2) 式可得期權(quán)真實(shí)價(jià)格： ??????1230)4045(f2. 76 美元 上面的討論都是在單利的條件下進(jìn)行的討論，如果在連續(xù)復(fù)利的條件下，買權(quán)的定價(jià)公式形式就有所更改。 當(dāng)股票價(jià)格下降到