【正文】 圖 1 例 中的二叉樹定價(jià)圖 2022/2/16 48 美式期權(quán) 可以在有效期內(nèi)的任何一天執(zhí)行 。試求執(zhí)行價(jià)格為 $40 美元的買權(quán)的合理價(jià)格。就期權(quán)而言，不管是看漲的還是看跌的 , 歐式的還是美式的 , 支付股利的還是不支付股利的，該模型都能適合。 但 實(shí)際上這 其實(shí) 并不 能 構(gòu)成問題，我們完全可以通過增加期數(shù)（或縮短單位時(shí)間長度）來擴(kuò)大股票價(jià)格變動(dòng)的范圍，從而使二叉樹期權(quán)定價(jià)模型更加準(zhǔn)確地反映金融市場的運(yùn)行情況。則將 ( ) 、 ( .22) 兩式代入 ( ) 式，最后有： ? ?Trfefpfppfpf2222121120)1()1(2?????? ( ) 式 ( ) 即適用于買權(quán)，又 適用 于賣權(quán)。 2022/2/16 35 三、兩期的歐式期權(quán)定價(jià)模型 單期的期權(quán)定價(jià)方法很容易擴(kuò)展到期限更長的期權(quán)合約。 2022/2/16 31 （二）歐式賣權(quán)的定價(jià)模型 返回章 假設(shè)現(xiàn)期股票價(jià)格為0P ，在無風(fēng)險(xiǎn)利率fr 之下，在任何一個(gè)單位時(shí)間段內(nèi)，股票價(jià)格的預(yù)期變動(dòng)只取兩個(gè)可能值，即股票價(jià)格可由0S 上漲到1S 或者下跌到2S ，概率服從二次分布，分別為 p 和 pq ?? 1 。先根據(jù) ( 10. 2. 2) 式得到： 3545123???????????p 由 ( 10. 2. 2) 式可得期權(quán)真實(shí)價(jià)格： ??????1230)4045(f2. 76 美元 上面的討論都是在單利的條件下進(jìn)行的討論，如果在連續(xù)復(fù)利的條件下，買權(quán)的定價(jià)公式形式就有所更改。 在西方金融市場上 ， 一般會(huì)采用離到期還有 30天的美國短期國庫券 (TBill)利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率的近似替代品 ， 但即使是這種利率 ， 也是在每天發(fā)生變化 。 但期權(quán)價(jià)格的確切數(shù)值是如何確定的 ？ 這是個(gè)根本性的問題 。 于是 ， 我們可以得到表達(dá)式： ? Ct+SP er(Tt)=St+Pt () )( tTrS P e ??2022/2/16 21 這就是歐式看漲和賣權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 ( P ut C al l P a ri t y) 。 ? 一般說來 ， 隨著股票價(jià)格 S的減少 ， 無風(fēng)險(xiǎn)利率 r的增加和股票價(jià)格的波動(dòng)率 σ的減少 ， 提前行使賣權(quán)就更有利 。 因而我們可得到結(jié)論：提前行使期權(quán)是不明智的 。 選擇持有期權(quán)并在到期日行使期權(quán) ， 這是更好的策略 。 如果SPST?，則期權(quán)不會(huì) 被 行使，該組合的價(jià)值為：SPSSPSPTTT????0 。因而，我們能夠得出在時(shí)刻 t ，有： 0)(?????ttTrtSS PeC ( 10. 1. 5) 或者寫成： )( tTrttS P eSC???? ( 10. 1. 6) 由于對于一個(gè)歐式買權(quán)來說，可能發(fā)生的 最壞情況是期權(quán)到期時(shí)其價(jià)值為零，這意味著期權(quán)的價(jià)值必須為正值，即0?tC。 2022/2/16 10 在時(shí)刻 t = 0 ，這一組合的價(jià)值為：00SS P eCrT???；在時(shí)刻t = T ，這一組合的價(jià)值為：TTSSPC ?? 。 只有在股票價(jià)格tS=0 時(shí)，賣權(quán)才會(huì)達(dá)到其最大價(jià)格。2022/2/16 1 《 金融工程學(xué)基礎(chǔ) 》 第十章期權(quán)定價(jià) （ 返回電子版主頁 ）（ 返回 ） 周愛民 主編 參編：羅曉波、王超穎、譚秋燕、穆菁、 張紹坤、周霞、周天怡、陳婷婷 ? 南開大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院金融學(xué)系 ? ? 天津市 (300071) 2022/2/16 2 第十章 期權(quán)定價(jià) ?第一節(jié) 期權(quán)價(jià)格的上下限 ?第二節(jié) 二叉樹期權(quán)定價(jià)法 ?第三節(jié) BlackScholes模型 ?第四節(jié) 新型期權(quán) 2022/2/16 3 本章所用到符號 S P ：期權(quán)的行 使 價(jià)格； T ：期權(quán)的到期時(shí)間； tT ? : 期權(quán)距到期日在一年時(shí)間中的比率； tS ：股票在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tC ： 單股股票 歐式買權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tc ： 單股股票 美式買權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tP ： 單股股票 歐式賣權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； tp： 單 股股票 美式賣權(quán)在時(shí)刻 t 的價(jià)格； r ： 在 T 時(shí)刻到期的投資的無風(fēng)險(xiǎn)利率。 這是因?yàn)?單股的 美式賣權(quán)或歐式賣權(quán)的持有者 都 有權(quán)以 行使價(jià)格 SP 出售一股股票，如果美式賣權(quán)的價(jià)格大于行 使 價(jià)格，或者歐式賣權(quán)的價(jià)格大于其行 使 價(jià)格的貼現(xiàn)值，則套利者可以通過出售賣權(quán)并將所得收入以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資， 便 獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。 為了給出正式的證明，我們考慮在時(shí)刻 t 時(shí)的如下組合： 1 股股票的空頭及 1 股相應(yīng)的 歐式買權(quán) 再 加上金額為)( tTrS P e??的 現(xiàn)金。如果在套利者消除了那些無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)后，我們 就 可以發(fā)現(xiàn)：一份絕不會(huì)造成凈支出的組合是不可能有一個(gè)負(fù)價(jià)格的。 在時(shí)刻 t =T ，這一 組合的價(jià)值為：SPSPTT??。 2022/2/16 16 ? 此時(shí)投資者有提前行使期權(quán)的動(dòng)力 ， 但是如果投資者希望在行使期權(quán)后繼續(xù)持有該股票一個(gè)月 （ 即在期權(quán)的有效期內(nèi)持有股票 ） ， 那么提前行使期權(quán)就是不明智的 。 ),0( )( tTrtt S P eSM a xC ???? 0 8 3 3 ?? ??e2022/2/16 18 三、美式買權(quán)的提前行使 ? 由于 ， 如果提前行使是明智的 ， 那么該期權(quán)會(huì)獲得 SSP的收入 ，即 C應(yīng)等于 SSP， 小于美式期權(quán)的最小價(jià)值 。 即便股票價(jià)格一直為 0， 提前獲得 10元的收益也要比等到期權(quán)到期時(shí)才拿到這 10元有利一些 。 ? 由于組合 A、 B的收益相同 ， 因而一定有相同價(jià)格 ，否則套利就會(huì)存在 。 由平價(jià)定理 ，可得 ： )(???????????eS P ePSCtTrttt 2022/2/16 22 第二節(jié) 二叉樹期權(quán)定價(jià)法 ? 在前面我們分析了期權(quán)價(jià)格的界定范圍 ， 說明期權(quán)的價(jià)格必須滿足某些限制條件 ， 否則會(huì)引起套購活動(dòng)的發(fā)生 。 ? [2]無風(fēng)險(xiǎn)利率是金融業(yè)常用的一個(gè)術(shù)語 ，實(shí)際上并不存在真正無風(fēng)險(xiǎn)的利率 。 2022/2/16 27 因此，適當(dāng)?shù)?△ 可以使上面這個(gè)證券組合成為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，因此， m 個(gè)月后股票價(jià)格上升與股票價(jià)格下降時(shí)的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值相同，從期權(quán)的理論價(jià)格方面來說，即有： 2211fSfS ??????? ( 10. 2. 4) 于是，可以解得： 21012121SSSSPPff??????? ( 1 0 . 2 . 5 ) 期權(quán)的價(jià)格也可由 ( 10. 2. 8) 式可以解得。 由 ( 10 . 2. 1 1) 式 ， 可 解得 ：4 5 4 00 .54 5 3 5D = =， 代入 ( 10 . 2 . 13 ) 式 ， 有 ： 0)(?????? ef= 2. 76 美元 也 可以由 ( 10 . 2. 10 ) 式和 ( 10 . 2. 14 ) 式求得 ， 由 ( 10 . 2. 10 ) 式可得 ： 35453540?????ep 代入 ( 10 . 2. 14 ) 式 ， 可 得 ： 0)4045(???? ef= 2. 76 美元 即買權(quán)的價(jià)格為 2. 76 美元。由式 ( 10. 2 . 17) 解得4 0 3 50 . 54 5 3 5D = =，代入 ( 10 . 2. 19 )可得 賣 權(quán)的合理定價(jià)： ???????0ef2. 165 美元 圖 10. 2. 4 例 10. 2. 3 中的二叉樹定價(jià)圖 2022/2/16 34 同 樣 ， 我 們 可 以 利 用 ( 10. 2 . 20 ) 式 求 解 ，將35453540?????ep 代入 ( 10. 2. 20 ) 式 就 有： )3540)((0???????ef 與例 10 . 2. 2 相比，同樣的數(shù)據(jù)算得的買權(quán)和賣權(quán)的價(jià)格不同，原因在于股票價(jià)格上漲的概率大于下跌的概率。 按照單期期權(quán)定價(jià)的思路，現(xiàn)在兩次使用 ( ) 式，應(yīng)分別有： ? ?Tr fefppff????12111)1( ( .2 1) ? ?Tr fefppff????22212)1( ( .2 2) ? ?Trfefppff????210)1( (10 .2 .23) 其中 p 可由 ( ) 式：2120SSSeSpTrf???給出， T 為期權(quán)一 期的期限占一年的百分比。 從表面上看，二叉樹期權(quán)定價(jià)模型 似乎 有一個(gè)不足，即假設(shè)每一 期股票價(jià)格變動(dòng) 的結(jié)果只有兩種可能性，而在現(xiàn)實(shí)中，股票的價(jià)格可謂 千變?nèi)f化。 2022/2/16 43 四、二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的其他應(yīng)用 返回節(jié) 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)是比較直觀，而且具有很大的靈活性，不管基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)服從何種分布 都能適用。假設(shè)股票上升與下跌的幅度都為 10% 時(shí) ,除息日在第一期期末，每股股票派發(fā) 1 美元的股息。具體的計(jì)算過程可參見例 。 對于賣權(quán)，例 10 . 已算得歐式期權(quán)的價(jià)格如圖 10 . 3 所示 。 2022/2/16 54 二、 BlackScholes模型及其推導(dǎo)過程 正態(tài)分布是自然界中是一種常見現(xiàn)象，因此人們設(shè)想基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的價(jià)格也可能具有正態(tài)分布的特點(diǎn)。 用相對價(jià)格的對數(shù)來計(jì)算： )100/99l n ()110/99l n ()100/110l n ( ???? 可以看出，這個(gè)結(jié)果更符合實(shí)際情況。 其中)(TCE表示買權(quán)到期時(shí)的期望值； TS表示到期時(shí)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格； SP 表示期權(quán)的 行使 價(jià)格。?越大，基礎(chǔ)金融資產(chǎn)價(jià)格偏離期權(quán)協(xié)定價(jià)格的可能性也越大。 2022/2/16 63 對這種計(jì)算易變性的方法還可以進(jìn)行 些調(diào)整，譬如賦予離今天較近的相對價(jià)格以較大的權(quán)重；或根據(jù)已知天數(shù)和連續(xù)收盤價(jià)格采用不同的公式計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 再 應(yīng)用前面講過的 賣 權(quán)與買權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系 ： tttTrtPSS P eC ????? )( ( ) 我們 就 可以推出賣權(quán)的定價(jià)公式： ??????????? rTrTrTS P eSdNS P edNSS P eSCP0210000)()(? ? ? ? ??????)(1)(1102dNSdNS P erT)()(102dNSdNS P erT?????( 6 ) 例 ：假設(shè)某股票的數(shù)據(jù)如下：0S= 40 美元， S P = 45 美元的買權(quán)和賣權(quán) ， T = 3 個(gè)月， r = 6% ， s = 40% ， 求該買權(quán) 和賣權(quán) 的價(jià)格。 對于賣權(quán)而言 ， 協(xié)議價(jià)格越高 ， 期權(quán)價(jià)值越大 ， 賣權(quán)的價(jià)格就越高 。 它們通過將標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的條件進(jìn)行變更使其更適合某些客戶或某種情況的特殊需要 。 ?返回子小節(jié) 2022/2/16 71 數(shù)字期權(quán)或二進(jìn)制期權(quán) ? 數(shù)字期權(quán)的收益與期權(quán)為價(jià)內(nèi)期權(quán)時(shí)的盈利程度無關(guān) ， 如果期權(quán)到期時(shí)是價(jià)內(nèi)期權(quán)的 ， 其收益為預(yù)先確定的一個(gè)固定的數(shù)額 A， 否則為 0。 由于期權(quán)的期限通常都較短 ， 所以 ， 期權(quán)在用于避險(xiǎn)時(shí)經(jīng)常要在其到期后更換 。 返回子小節(jié) 2022/2/16 75 呼叫期權(quán) ? 這種期權(quán)與棘輪期權(quán)和梯形期權(quán)很相似 。 ? 檔板賣權(quán)的檔板價(jià)格也是被設(shè)定成價(jià)外的(Out of the Money)， 即高于約定價(jià)格和載體資產(chǎn)價(jià)格 ， 于是也產(chǎn)生兩種檔板賣權(quán)： ? （ 1） 向上觸消型賣權(quán) (Up