期權(quán)定價(jià)數(shù)值方法(編輯修改稿)
2025-03-08 05:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 概率，所以我們?nèi)匀豢梢韵笠郧耙粯訕?gòu)造出二叉樹圖，不同的是貼現(xiàn)時(shí)用 波動(dòng)率依賴于時(shí)間 參數(shù)依賴于時(shí)間的情形 Monte Carlo: Based On Probability Chance 基本思路： 由于大部分期權(quán)價(jià)值實(shí)際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(bào) (payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多種運(yùn)動(dòng)路徑，計(jì)算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報(bào)均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價(jià)值。 蒙特卡羅模擬法 等價(jià)形式 重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算回報(bào)值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值 （ 是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本） SdzSdtds ?? ?? ?假定在風(fēng)險(xiǎn)世界中，標(biāo)的市場變量服從 ，為了模擬變量 S的路徑，將期權(quán)期限分割成 N個(gè)長度為 的小區(qū)間，其近似方程為： 實(shí)際中，對(duì) lns進(jìn)行模擬結(jié)果更準(zhǔn)確。由伊藤引理， t? ttSttStSttS ??????? ? ??? )()()()( dzdtsd ??? ??? ? )2(ln2因此， tttSttS ????????????? )2()(ln)(ln2])2exp[()()(2tttStt ??????? ? ????當(dāng)回報(bào)僅僅取決于到期時(shí) 的最終價(jià)值時(shí)，可直接用一個(gè)大步（ ）（假設(shè)初始時(shí)刻為零時(shí)刻）來多次模擬最終的資產(chǎn)價(jià)格，得到期權(quán)價(jià)值： S 0T?當(dāng)回報(bào)依賴于多個(gè)市場變量時(shí) 每次模擬運(yùn)算中對(duì)每個(gè)變量的路徑都必須進(jìn)行抽樣，從樣本路徑進(jìn)行的每次模擬運(yùn)算可以得出期權(quán)的終值。 的離散過程可以寫為： i?（期權(quán)依賴于 個(gè)變量 ， 為 的波動(dòng)率， 為 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望增長率， 為 和 之間 的瞬間相關(guān)系數(shù)） ? ? ? ? ? ? ? ??i i i i i i it t t m t t s t t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?n ? ?1i in? ??isi? ?imi?ik?i 多個(gè)標(biāo)的變量的情形 的產(chǎn)生：是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。 如果只有一個(gè)單變量， EXCEL中的指令 =NORMSINV(RAND())用來產(chǎn)生一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)樣本。如果要產(chǎn)生 n元聯(lián)合正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣，用喬里斯基分解。 如果對(duì)衍生產(chǎn)品價(jià)格的估計(jì)值 要求 95％的置信度，則期權(quán)價(jià)值應(yīng) （ 是進(jìn)行運(yùn)算的個(gè)數(shù)， 為均值， 是標(biāo)準(zhǔn)差） ? ????? ? ? ?M?? 由正態(tài)分布中抽樣 ? 模擬次數(shù) 在每個(gè)節(jié)點(diǎn)，取 0~1隨機(jī)數(shù)，隨機(jī)數(shù) P,選擇上升分支，否則，選擇下降分支。到達(dá)下個(gè)節(jié)點(diǎn)后，重復(fù)上述過程直到到達(dá)樹圖末端。（ 例 209） xff??^^*^*fx其中， 為標(biāo)的變量價(jià)格或參數(shù)， 為一般蒙特卡羅法計(jì)算的衍生產(chǎn)品價(jià)格， 為將 值增加 時(shí)計(jì)算出的衍生產(chǎn)品新價(jià)格。為減小標(biāo)準(zhǔn)誤差，計(jì)算這兩次衍生產(chǎn)品價(jià)格時(shí)，選用的時(shí)間區(qū)間個(gè)數(shù) N,選用的隨機(jī)樣本、模擬運(yùn)算的次數(shù) M都必須相同 計(jì)算希臘值 通過樹形取樣 主要優(yōu)點(diǎn)： 1. 可以給出估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，可以處理復(fù)雜的收益形式。 2. 可用于收益為變量所遵循的整個(gè)路徑的函數(shù)，而不只是變量最終值函數(shù)的情形。 主要缺點(diǎn)： 1. 只能為歐式期權(quán)定價(jià)，難以處理提前執(zhí)行的情形。 2. 為了達(dá)到一定的精確度，一般需要大量的模擬運(yùn)算。 應(yīng)用 （一）對(duì)偶變量技術(shù) (antithetic variable technique) （二）控制變量技術(shù) (control variate technique) （三）重點(diǎn)抽樣法 (important sampling) （四）間隔抽樣法 (stratified sampling) （五）矩匹配法 (moment matching) （六）利用偽隨機(jī)數(shù) (quasirandom sequency) 方差縮減程序 222212f f frS S rft S S?? ? ?? ? ?? ? ?轉(zhuǎn)化為一系列近似的差分方程，之后用迭代法求解，得到期權(quán)價(jià)值。 有限差分法 有限差分方法的主要思想是：應(yīng)用有限差分方法將衍生證券所滿足的偏微分方程 有限差分網(wǎng)格 ① 的近似 對(duì)于坐標(biāo)方格內(nèi)部的點(diǎn) ，期權(quán)價(jià)值對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的一階導(dǎo)數(shù)可以用三種差分來表示： 、 和 ② 的近似 對(duì)于 點(diǎn)處的 ，我們則采取前向差分近似以使 時(shí)刻的值和 時(shí)刻的值相關(guān)聯(lián)： ③ 的近似 點(diǎn) 處的 的后向差分近似為 ，因此點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的二階差分為 fS???
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