導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性(編輯修改稿)
2025-01-19 03:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? + 4xOy例題講解 21f x? ? = 2 ?x3 6 ?x2? ? + 7xOy例 2 確定函數(shù) f(x)=2x3－ 6x2+7在哪個區(qū)間 內(nèi)是增函數(shù) ， 哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù) . 解： f′(x)=(2x3－ 6x2+7)′=6x2－ 12x 令 6x2－ 12x＞ 0，解得 x＞ 2或 x＜ 0 ∴ 當(dāng) x∈ (－ ∞， 0)時， f′(x)＞ 0， f(x)是增函數(shù) . 當(dāng) x∈ (2， +∞)時， f′(x)＞ 0， f(x)是增函數(shù) . 令 6x2－ 12x＜ 0，解得 0＜ x＜ 2. ∴ 當(dāng) x∈ (0， 2)時， f′(x)＜ 0， f(x)是減函數(shù) . ∴ f(x1)－ f(x2)＞ 0， 即 f(x1)＞ f(x2) ∴ f(x)= 在 (0， +∞)上是減函數(shù) . 1x1例 3 證明函數(shù) f(x)= 在 (0， +∞)上是減函數(shù) . 證法一： (用以前學(xué)的方法證 )任取兩個數(shù) x1， x2∈ (0， +∞)設(shè) x1＜ x2. 21122111xxxxxx???f(x1)－ f(x2)= 2112xxxx ?∵ x1＞ 0， x2＞ 0， ∴ x1x2＞ 0 ∵ x1＜ x2， ∴ x2－ x1＞ 0， ∴ ＞ 0 點評： 比較一下兩種方法 ， 用求導(dǎo)證明是不是更簡捷一些 .如果是更復(fù)雜一些的函數(shù) ， 用導(dǎo)數(shù)的符號判別函數(shù)的增減性更能顯示出它的優(yōu)越性 . 證法二： (用導(dǎo)數(shù)方法證 ) x121x∵ f′(x)=( )′=(－ 1)x－ 2=－ ， x＞ 0， 21∴ x2＞ 0， ∴ － ＜ 0. ∴ f′(x)＜ 0， 1x∴ f(x)= 在 (0， +∞)上是減函數(shù) . 證明：令 f(x)=e2x－ 1－ 2x. ∴ f′(x)=2e2x－ 2=2(e2x－ 1) ∵ x＞ 0， ∴ e2x＞ e0=1， ∴ 2(e2x－ 1)＞ 0, 即 f′(x)＞ 0 ∴ f(x)=e2x－ 1－ 2x在 (0， +∞)上是增函數(shù) . ∵ f(0)=e0－ 1－ 0=0. ∴ 當(dāng) x＞ 0時 ， f(x)＞ f(0)=0， 即 e2x－ 1－ 2x＞ 0. ∴ 1+2x＜ e2x 例 4當(dāng) x＞ 0時，證明不等式： 1+2x＜ e2x.
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