數(shù)學(xué)提高班之——高等數(shù)學(xué)(編輯修改稿)
2024-09-15 14:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 基本要求：理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型．【例12】設(shè)在處連續(xù)，則 。【例13】函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ C ）（A）1； （B）2； （C）3； （D）無(wú)窮多個(gè)?！纠?4】求極限，記此極限為，求的間斷點(diǎn)，并指出其類(lèi)型。【思考題6】⑴設(shè)，則是的（ ） （A）連續(xù)點(diǎn)； （B）可去間斷點(diǎn)； （C）跳躍間斷點(diǎn)； （D）無(wú)窮間斷點(diǎn)。⑵設(shè)在處連續(xù)，且，則存在的某個(gè)去心鄰域，使在該鄰域內(nèi)恒有（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D）⑶設(shè)，求的間斷點(diǎn)。⑷已知在處連續(xù)，求的值。⑸求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)， 并判斷其類(lèi)型： ①； ②； ③二、基本理論（一）極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號(hào)性）函數(shù)極限的性質(zhì)（唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性）（二）無(wú)窮大與無(wú)窮小的性質(zhì)有限個(gè)無(wú)窮小的和、積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的積是無(wú)窮小其中是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)“無(wú)窮小的倒數(shù)（不為0）為無(wú)窮大，無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小”（三）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最值定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值與最小值（2）有界定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界（3）價(jià)值定理：設(shè)在上連續(xù)，則在上必可取到介于 在上的最大值與最小值之間的一切值。（4）零點(diǎn)定理：設(shè)在上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使?？佳谢疽螈僬莆諛O限的性質(zhì)②掌握利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限③了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)．【例15】若，則必有（ C ）（A）； （B）；（C）存在鄰域，使在其中有界；（D）對(duì)任何鄰域，在其中有界【例16】設(shè)對(duì)任意的，總有，且，則（ ）。 （A）存在且等于零； （B）存在但不一定為零； （C）一定不存在； （D）不一定存在。（選D，考察反例：，不存在，也不存在，但有，）【例17】求下列極限：（無(wú)窮小的性質(zhì)求極限）⑴⑵⑶【思考題7】求下列極限⑴； ⑵【例18】若在處連續(xù)，在處不連續(xù)，則在處（ ）（A）都不連續(xù)；（B）都可能連續(xù)；（C）必不連續(xù)；（D）可能連續(xù)。（選D，有例：）【例19】證明下列各題：⑴設(shè)在上連續(xù)，且，試證方程在 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。⑵設(shè)在上連續(xù)，且存在，證明在上有界?！舅伎碱}8】證明下列各題：⑴若存在，不存在，則（ ） （A）與都不存在； （B）與都存在； （C）可能存在，必不存在； （D）必不存在，可能存在。⑵若在處連續(xù)，在處有第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則是的 （A）連續(xù)點(diǎn)； （B）可能是連續(xù)點(diǎn)，也可能是間斷點(diǎn)； （C）第一類(lèi)間斷點(diǎn)； （D）可能是第二類(lèi)間斷點(diǎn)。⑶設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且存在，則（ ） （A）在上連續(xù)； （B）在上可能不連續(xù)，但有最大值和最小值； （C）在內(nèi)沒(méi)有最大值與最小值，但有界； （D）在內(nèi)可能無(wú)界。⑷若在內(nèi)連續(xù)，則在上必至少存在一點(diǎn)，使。⑸設(shè)在上連續(xù)，且，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，存在，使得。⑹證明方程至少有一
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