【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 證明導(dǎo)數(shù)為零證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數(shù)的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數(shù)的自變量。（重要）判斷方程的根（存在性用零點(diǎn)定理，唯一性或判斷根的個(gè)數(shù)用中值定理，有時(shí)還要結(jié)合單調(diào)性，見(jiàn)153也習(xí)題6）（重要）利用輔助函數(shù)和中值定理證明等式（一個(gè)函數(shù)用拉格朗日，二個(gè)用柯西）例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0，證明至少存在一點(diǎn)x206。(0,1)使得f162。(x)=2f(x)x。證明：上述問(wèn)題等價(jià)于xf162。(x)+2f(x)=0。令f(x)=x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是少存在一點(diǎn)x206。(0,1)使得j162。(x)=2xf(x)+x2f162。(x)=0 即有xf162。(x)+2f(x)=0。（5） 洛必達(dá)法則（重要）（1）(其他類型的未定式)最終轉(zhuǎn)化成0165。型和型未定式 0165。（2）每次用前需判斷（3）結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小效果更佳。 泰勒公式（1）一般方法：求各階導(dǎo)數(shù)代入公式即可；（2）常見(jiàn)函數(shù)ex,ln(1+x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性（1）會(huì)用列表法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間（注意一般是閉區(qū)間），拐點(diǎn)。注意不要漏掉導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分點(diǎn)； 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)。（2）利用單調(diào)性證明不等式（重要）（3）利用單調(diào)性判斷方程的根（重要） 極值和最值（重要）（1）列表法求極值（極值可能點(diǎn)為駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)）（2）最值（找出極值可能點(diǎn)再與端點(diǎn)比較）（3）對(duì)于時(shí)間問(wèn)題，若極值點(diǎn)唯一，則也為最值點(diǎn)。 函數(shù)圖形的描繪 注意漸近線 曲率（1）弧微分公式（2）曲率和曲率半徑的計(jì)算公式（重要）第四章復(fù)習(xí)提要 不定積分的概念和性質(zhì)基本積分表162。公式242。f(x)dx=f(x)和242。f162。(x)dx=f(x)+C ()注意如下問(wèn)題：（填空、選擇、判斷）若ex是f(x)的原函數(shù)，則242。x2f(lnx)dx=若f(x)是ex的原函數(shù)，則242。12x+C 2f(lnx)1dx= +C0lnx+C xx若f(x)的導(dǎo)數(shù)為sinx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是（B）。A 1+sinx。B 1sinx。C 1+cosx。D 1cosx 換元積分法（重要）第一換元法的原理：242。g(x)dx把被積函數(shù)g(x)湊成g(x)=f(j(x))j162。(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。一些規(guī)律： ①242。f(x)1xdx=2242。f(x)(x)162。=2242。f(x)dx11162。f(ax+b)(ax+b)dx=f(ax+b)d(ax+b)a242。a242。②242。f(ax+b)dx=1③242。f(lnx)dx=242。f(lnx)(lnx)162。dx=242。f(lnx)d(lnx)x④242。sin(2k+1)xcosnxdx=242。sin2kxcosnxsinxdx=242。(1cos2x)cosnxdcosx ⑤242。cos(2k+1)kxsinxdx=242。cosxsinxcosxdx=242。(1sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：242。sin(2k+1)xdx和242。cos(2k+1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥242。sin2kxcos2nxdx用公式sin2x=⑦242。tanxse2k+2n2k1cos2x1+cos2x和cos2x=降次。22n2kxdx=242。tanxsecxdtanx=242。tanx(1+tanx)dtanx注242。sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形⑧242。csc2k+2xdx=242。csc2kxcsc2xdx=242。(1+cot2x)dcotx⑨242。tan(2k+1)xsexdx=242。tan2kxse1xdsecx=242。(sec2x1)se1xdsecx ⑩利用積化和差公式：1cosAcosB=[cos(AB)+cos(A+B)]21sinAcosB=[sin(A+B)+sin(AB)]21cosAsinB=[sin(A+B)sin(AB)]21sinAsinB=[cos(AB)cos(A+B)]2第二換元法被積函數(shù)中含有a2x2，利用代換x=asint,t206。(被積函數(shù)中含有a2+x2，利用代換x=atant,t206。(kkpp,)22,)22pp被積函數(shù)中含有x2a2，利用代換x=asect,t206。(0,p)（一般要分情況討論）被積函數(shù)為分式，分母次數(shù)比分子次數(shù)高，到代換 利用下列積分公式：⒃242。tanxdx=ln|cosx|+C；⒄242。cotxdx=ln|sinx|+C⒅242。secxdx=ln|secx+tanx|+C；⒆242。cscxdx=ln|cscxcotx|+C ⒇242。dx1xdx1xa=arctan+C；（21）=ln242。x2a22ax+a+C aa2+x2a（22）242。xdx=arcsin+C；=ln(x+a2+x2)+C（23）242。ax2a2a2+x2dx（24）242。dxx2a2=lnx+x2a2+C 分部積分法（重要）分部積分公式：242。udv=uv242。vduu的選取原則：反174。對(duì)174。冪174。指174。三。這個(gè)原則不是絕對(duì)的，如通常242。exsinxdx=242。sinxdex。如果遇到反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的高次冪，通常先換元更容易算。如242。(arcsinx)2dxarcsinx=t242。t2dsint；ln2x2ttdxlnx=t242。edt 242。x2遇到根式ax+b，先令t=ax+b去根號(hào)。會(huì)做形如例8那樣具有典型特點(diǎn)的題目。 有理函數(shù)的積分（重要）P(x)，先用多項(xiàng)式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)對(duì)Q(x)分解因式，根據(jù)分解結(jié)果用待定系數(shù)法確定x+1x+1AB=+：應(yīng)設(shè)(x2)(x3)(x2)(x3)x2x3 242。x+2x+2ABx+C：應(yīng)設(shè) =+242。(2x+1)(x2+x+1)(2x+1)(x2+x+1)(2x+1)(x2+x+1)x+2x+2ABx3+Cx2+Dx+E242。(2x+1)(x2+x+1)2：應(yīng)設(shè)(2x+1)(x2+x+1)=(2x+1)+(x2+x+1)2原則就是分子的次數(shù)總是要比分母低一次。三角函數(shù)可以通過(guò)如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分xxx2tan1tan22tan2；cosx=2；tanx=2 sinx=xxx1+tan21+tan21tan2222x令tan=t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)+b或nax+bcx+d，則令t=nax+b或t=nax+bcx+d 幾個(gè)典型題目 P207頁(yè)（42）242。x1dxdx，（43）242。x+1x2P211頁(yè)例8 x2+2x+3補(bǔ)充說(shuō)明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習(xí)，方能取得比較好的效果 第五章：定積分 定積分的概念和性質(zhì)定積分的定義：242。f(x)dx=lim229。f(xi)Dxiabnil174。0定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積定積分的性質(zhì)：利用定積分的性質(zhì)判斷積分的取值范圍或比較兩個(gè)積分的大?。╬235,10,13）(重要) 微積分基本公式y(tǒng)=f(x),a163。x163。b的積分上限的函數(shù)（重要）F(x)=242。xaf(t)dt,a163。x163。b及其導(dǎo)數(shù)：（如p243,5題）（1）F162。(x)=f(x)dj(x)f(t)dt=f(j(x))j162。(x)242。adxda（3）242。f(t)dt=f(y(x))y162。(x)dxy(x)dj(x)（4）242。f(t)dt=f(j(x))j162。(x)f(y(x))y162。(x)dxy(x)利用上面的公式計(jì)算極限、判斷函數(shù)單調(diào)性等： 相應(yīng)例題（p242,例7，8），相應(yīng)習(xí)題（p243244:習(xí)題9，12，12，14）（重要）（2）牛頓萊布尼茨公式：函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則242。baf(x)dx=F(b)F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba注意：分段函數(shù)(或者帶絕對(duì)值的函數(shù))的積分應(yīng)為分段積分的和：典型題目p244， 定積分的換元法和分布積分法（重要）第一換元公式：242。f[j(x)]j162。(x)dt=242。f(t)dtabba第二還原公式：242。f(x)dx=242。f[j(t)]j162。(t)dtabba注意：一般來(lái)說(shuō)應(yīng)用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫(xiě)出來(lái)，因而也就233。cos249。2不需要寫(xiě)出新變量的積分限，如242。cossi