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正文內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)考前要點(diǎn)復(fù)習(xí)(編輯修改稿)

2024-10-04 12:20 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 N ,當(dāng) Nn? 時(shí), 21??? ?axn,考慮 1212111 ???????? ?? axaxxx nnnn ?,而nx , 1?nx 總是一個(gè)“ 1”,一個(gè)“ 1? ”,所以 11 ??? nn xx ,所以矛盾, 所以 1)1( ??? nnx 發(fā)散。 定理 2. (有界性)若數(shù)列 nx 收斂,那么它一定有界,即:對(duì)于數(shù)列 nx ,若 ? 正數(shù) M ,對(duì)一切 n ,有 Mxn ? 。 證明 :設(shè) axnn ???lim,由定義對(duì) ??,1? 自然數(shù) ,N 當(dāng) Nn? 時(shí), 1??? ?axn ,所以當(dāng) Nn?時(shí), aaaxx nn ????? 1,令 }1,{ 21 axxxM a xM N ?? ??,顯然對(duì)一切 n ,Mxn ? 。 注:本定理的逆定理不成立,即有界未必收斂。例如數(shù)列 1)1( ??? nnx 是有界的( 1?nx ),但函數(shù)收斂。此點(diǎn)希望注意! 167。 4 函數(shù)的極限 由上節(jié)知,數(shù)列是自變量取自然數(shù)時(shí)的函數(shù), )(nfxn ? ,因此,數(shù)列是函數(shù)的一種特性情況。此處講的是函數(shù)的極限,就是數(shù)列極限意義的。它主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面: 一、 自變量 x 任意接近于有限值 0x ,或講趨向(于) 0x (記 0xx? )時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。 二、當(dāng)自變量 x 的絕對(duì)值 x 無(wú)限增大,或講趨向無(wú)窮大(記 ??x )時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。 一、 自變量趨向有限值 0x 時(shí)函數(shù)的極限 與數(shù)列極限的意義相仿,自變量趨于有限值 0x 時(shí)的函數(shù)極限可理解為:當(dāng) 0xx? 時(shí),Axf ?)( ( A 為某常數(shù)),即當(dāng) 0xx? 時(shí), )(xf 與 A 無(wú)限地接近,或說(shuō) Axf ?)( 可 任意 14 小,亦即對(duì)于預(yù)先任意給定的正整數(shù) ? (不論多么?。?,當(dāng) x 與 0x 充分接近時(shí),可使得Axf ?)( 小于 ? 。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō),即 定義 1:如果對(duì) 0??? (不論它多么?。?0??? ,使得對(duì)于適合不等式 ???? 00 xx 的一切 x 所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 滿足: ???Axf )( ,就稱常數(shù) A 為函數(shù) )(xf 當(dāng)0xx? 時(shí)的極限,記為 Axfn ??? )(lim,或 Axf ?)( (當(dāng) 0xx? 時(shí)) 注 1:“ x 與 0x 充分接近”在定義中表現(xiàn)為: 0??? ,有 ???? 00 xx ,即 ),( 0 ??? xUx 。顯然 ? 越小, x 與 0x 接近就越好,此 ? 與數(shù)列極限中 的 N 所起的作用是一樣的,它也依賴于 ? 。一般地, ? 越小, ? 相應(yīng)地也小一些。 2:定義中 00 xx?? 表示 0xx? ,這說(shuō)明當(dāng) 0xx? 時(shí), )(xf 有無(wú)限與 )( 0xf 在 0x 點(diǎn)(是否有)的定義無(wú)關(guān)(可以無(wú)定義,即使有定義,與 )( 0xf 值也無(wú)關(guān))。 3:幾何解釋:對(duì) 0??? ,作兩條平行直線 ?? ???? AyAy , 。由定義,對(duì)此 0, ???? 。當(dāng) ?? ???? 00 xxx ,且 0xx? 時(shí),有 ?? ???? AxfA )( 。即函 數(shù))(xfy? 的圖形夾在直線 ?? ???? AyAy , 之間( )( 0xf 可能除外)。換言之:當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí), ),()( ?AUxf ? 。從圖中也可見(jiàn) ? 不唯一! 【例 1】 證明 CCxx ??0lim ( C 為一常數(shù)) 證明:對(duì) 0??? ,可取任一正數(shù) ? ,當(dāng) ???? 00 xx 時(shí), ?????? 0)( CCAxf , 所以 CCxx ??0lim。 【例 2】 證明 )0()(lim00 ????? abaxbaxxx 證明:對(duì) 0??? ,要使得 ????????? 000 )()()( xxaxxabaxbax ,只須 axx ??? 0, 所以取 0??a??顯然當(dāng) ??? 0xx 時(shí),有 ????? )()( 0 baxbax 。 15 【例 3】 證明 3212 1lim 2 21 ????? xxxx 。 證明:對(duì) 0??? ,因?yàn)?,1?a 所以)12(3 13212 13212 22?????????? ???? x xxxxx xx [此處 1?x ,即考慮 10?x 附近的情況,故不妨限制 x 為 110 ??? x ,即 20 ?? x ,1?x ]。因?yàn)?3 1)12(3 1,112 ??????? xx xx ,要使 ?????? 3212 122xxx,只須 ???31x ,即 ?31??x 。取 }3,1min{ ?? ? (從圖形中解釋),當(dāng) ???? 10 x 時(shí),有 ?????? 3212 122xxx。 定理 1:(保號(hào)性)設(shè) Axfxx ?? )(lim0, ( i) 若 )0(0 ?? AA ,則 0??? ,當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí), 0)( ?xf )0)(( ?xf 。 ( ii) 若 )0)((0)( ?? xfxf ,必有 )0(0 ?? AA 。 證明:( i)先證 0?A 的情形。取 2A?? ,由定義,對(duì)此 0, ???? ,當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí),2)( AAxf ??? ? ,即 0)(232)(220 ????????? xfAAAxfAAA 。 當(dāng) 0?A 時(shí),取 2A??? ,同理得證。 ( ii) (反證法 )若 0?A ,由 (i) 0)( ?? xf 矛盾,所以 0?A 。 當(dāng) 0)( ?xf 時(shí),類(lèi)似可證。 注: (i)中的“ ? ”,“ ? ”不能改為“ ? ”,“ ? ”。 在 (ii)中,若 0)( ?xf ,未必有 0?A 。 在函數(shù)極限 的定義中, x 是既從 0x 的左邊(即從小于 0x 的方向)趨于 0x ,也從 0x 的右邊(即從大于 0x 的方向)趨于 0x 。但有時(shí)只能或需要 x 從 0x 的某一側(cè)趨于 0x 的極限。如分段函數(shù)及在區(qū)間的端點(diǎn)處等等。這樣,就有必要引進(jìn)單側(cè)極限的定義: 16 定義 2:對(duì) 0??? , 0??? ,當(dāng) 00 xxx ??? ? 時(shí), [當(dāng) ???? 00 xxx 時(shí) ],有 ??? Axf )( .這時(shí)就稱 A 為 )(xf 當(dāng) 0xx? 時(shí)的左 [右 ]極限,記為 Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 。 [ Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 0 ]。 定理 2: AxfxfAxfxxxxxx ???? ????? )(lim)(lim)(lim 00 000。 【例 4】 1)s g n (lim,1)s g n (lim0000 ??? ???? xx xx,因?yàn)?11?? ,所以 )sgn(lim0 xx?不存在。 【例 5】設(shè)??? ?? ?? 012 01)( xx xxf,求 )(lim0 xfx?。 解:顯然 11lim)(lim0000 ?? ???? xx xf 1)12(lim)(lim0000 ??? ???? xxf xx 因?yàn)?1)(lim)(lim0000 ?? ???? xfxf xx,所以 1)(lim0 ?? xfx。 二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 定義 3:設(shè) )(xf 當(dāng) )0( ?? aax 時(shí)是有定義的,若對(duì) )(,0 aX ????? ,當(dāng) Xx? 時(shí),有???Axf )( ,就稱 A 為 )(xf 當(dāng) ??x 時(shí)的極限,記為 Axfx ??? )(lim 或 Axf ?)((當(dāng) ??x 時(shí))。 注 1:設(shè) )(xf 在 ]),((),[ ba ???? 上有定義,若對(duì) 0,0 ???? X? ,當(dāng) )( XxXx ??? 時(shí),有 ???Axf )( ,就稱 A 為 )(xf 當(dāng) )( ?????? xx 時(shí)的極限,記為Axfx ???? )(lim ,或 Axf ?)( (當(dāng) ???x )( Axfx ???? )(lim ,或 Axf ?)( (當(dāng)???x ))。 2: AxfxfAxfxxx ???? ???????? )(lim)(lim)(lim。 3:若 Axfx ??? )(lim,就稱 Ay? 為 )(xfy? 的圖形的水平漸近線(若 Axfx ???? )(lim或Axfx ???? )(lim ,有類(lèi)似的漸近線)。 【例 6】 證明 0sinlim ??? xxx。 證明:對(duì) 0??? ,因?yàn)閤xxxx 1s in0s in ???,所以要使得 ???0sinxx, 只須 17 ?? 11 ??? xx,故取 ?1?X ,所以當(dāng) Xx? 時(shí),有 ???0sinxx,所以0sinlim ??? xxx 。 167。 5 無(wú)窮小與無(wú)窮大 一、無(wú)窮小 若 )(xf 當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的極限為零,就稱 )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的無(wú)窮小,即有 定義 1:對(duì) ,0??? 若 )0(0 ??? X? ,使得當(dāng) )(0 0 Xxxx ???? ? 時(shí),有 ??)(xf 成立,就稱 )(xf 為當(dāng) )(0 ???? xxx 時(shí)的無(wú)窮小,記為 )0)(lim(0)(lim0 ?? ???? xfxf xxx。 注 1:除上兩種之外,還有 0,0, 00 ?????????? xxxxxx 的情形。 2:無(wú)窮小不是一個(gè)數(shù),而是一個(gè)特殊的函數(shù)(極限為 0),不要將其與非常小的數(shù)混淆,因?yàn)槿我怀?shù)不可能任意地小,除非是 0 函數(shù),由此得: 0 是唯一可作為無(wú)窮小的常數(shù)。 【例 1】 因?yàn)?0422)42(lim2 ?????? xx,所以 42?x 當(dāng) 2?x 時(shí)為無(wú)窮??; 同理: 0sinlim ??? xxx,所以 xxsin 當(dāng) ??x 時(shí)為無(wú)窮小, 而 04)42(lim0 ????? xx,所以 42?x 當(dāng) 0?x 時(shí)不是無(wú)窮小。 定理 1:當(dāng)自變量在同一變化過(guò)程 0xx? (或 ??x )中時(shí): ( i) 具有極限的函數(shù)等于其極限與一個(gè)無(wú)窮小之和,即: A 為 )(xf 的極限 Axf ?? )( 為無(wú)窮小。 ( ii) 若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無(wú)窮小之和,那么該常數(shù)就是其極限(證明在下一節(jié))。 二、無(wú)窮大 若當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí) ??)(xf ,就稱 )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí)的無(wú)窮大。 定義 2:若對(duì) )0(0,0 ????? XM ? ,使得當(dāng) )(0 0 Xxxx ???? ? 時(shí),有 Mxf ?)( ,就稱 )(xf 當(dāng) )(0 ??? xxx 時(shí)的無(wú)窮大,記作 : ))(lim()(lim0 ???? ??? xfxf xxx。 注 1:同理還有 ?????? )(,)( xfxf 時(shí)的定義。 18 2:無(wú)窮大也不是一個(gè)數(shù),不要將其與非常大的數(shù)混淆。 3:若 ??? )(lim0 xfxx或 ???? )(lim xfx,按通常意義將, )(xf 的極限不存在。 【例 2】 可證明 ??? 20 1limxx,所以當(dāng) 0?x 時(shí)21x為無(wú)窮 大。 定理 2:當(dāng)自變量在同一變化過(guò)程中時(shí), ( i)若 )(xf 為無(wú)窮大,則)(1xf為無(wú)窮小。 ( ii)若 )(xf 為無(wú)窮小,且 0)( ?xf ,則)(1xf為無(wú)窮大。 (證明自己看) 167。 6 極限運(yùn)算法則 由極限定義來(lái)求極限是不可取的,也是不行的,因此需尋求一些方法來(lái)求極限。 定理 1:有限個(gè)無(wú)窮小的和仍為無(wú)窮小,即設(shè) 0)lim (0lim,0lim ????? ???? (證明在后面)。 注 1: u 與 ? 都表示函數(shù) )(xu 與 )(x? ,而不是常數(shù)。 2: “ lim ”下放沒(méi)標(biāo)自變量的變化過(guò)程,這說(shuō)明對(duì) 0xx? 及 ??x 均成立,但須同一過(guò)程。 定理 2:有界 函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小,即設(shè) u 有界, 0lim0lim ??? ?? u。 證明:證明 0xx? 時(shí)的情況,設(shè)函數(shù) u 在 0x 的某鄰域 ),( 10 ?xU 內(nèi)有界,即 0??M ,當(dāng)),( 10 ?xUx? 時(shí),有 Mu? ,又設(shè) ? 為當(dāng) 0xx? 時(shí)的無(wú)窮小,即 0lim0 ?? ?xx,故對(duì) )(0,0 1???? ????? ,當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí),有 ?????? ?????? MMuuM 所以 0lim0 ?? ?uxx,即 ?u 為無(wú)窮?。煌砜勺C ??x 時(shí)的情形。 推論 1:常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小,即若 k 為常數(shù), 0lim0lim ??? ?? k。 推論 2:有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小,設(shè) 0)l i m (0limlimlim 2121 ????
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