【文章內容簡介】 N ，當 Nn? 時， 21??? ?axn，考慮 1212111 ???????? ?? axaxxx nnnn ?，而nx ， 1?nx 總是一個“ 1”，一個“ 1? ”，所以 11 ??? nn xx ,所以矛盾， 所以 1)1( ??? nnx 發(fā)散。 定理 2. （有界性）若數列 nx 收斂，那么它一定有界，即：對于數列 nx ，若 ? 正數 M ，對一切 n ，有 Mxn ? 。 證明 ：設 axnn ???lim，由定義對 ??,1? 自然數 ,N 當 Nn? 時， 1??? ?axn ，所以當 Nn?時， aaaxx nn ????? 1，令 }1,{ 21 axxxM a xM N ?? ??，顯然對一切 n ，Mxn ? 。 注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數列 1)1( ??? nnx 是有界的（ 1?nx ），但函數收斂。此點希望注意！ 167。 4 函數的極限 由上節(jié)知，數列是自變量取自然數時的函數， )(nfxn ? ，因此，數列是函數的一種特性情況。此處講的是函數的極限，就是數列極限意義的。它主要表現在兩個方面： 一、 自變量 x 任意接近于有限值 0x ，或講趨向（于） 0x （記 0xx? ）時，相應的函數值 )(xf 的變化情況。 二、當自變量 x 的絕對值 x 無限增大，或講趨向無窮大（記 ??x ）時，相應的函數值 )(xf 的變化情況。 一、 自變量趨向有限值 0x 時函數的極限 與數列極限的意義相仿，自變量趨于有限值 0x 時的函數極限可理解為：當 0xx? 時，Axf ?)( （ A 為某常數），即當 0xx? 時， )(xf 與 A 無限地接近，或說 Axf ?)( 可 任意 14 小，亦即對于預先任意給定的正整數 ? （不論多么?。?x 與 0x 充分接近時，可使得Axf ?)( 小于 ? 。用數學的語言說，即 定義 1：如果對 0??? （不論它多么?。?，總 0??? ，使得對于適合不等式 ???? 00 xx 的一切 x 所對應的函數值 )(xf 滿足： ???Axf )( ，就稱常數 A 為函數 )(xf 當0xx? 時的極限，記為 Axfn ??? )(lim，或 Axf ?)( （當 0xx? 時） 注 1：“ x 與 0x 充分接近”在定義中表現為： 0??? ，有 ???? 00 xx ，即 ),( 0 ??? xUx 。顯然 ? 越小， x 與 0x 接近就越好，此 ? 與數列極限中 的 N 所起的作用是一樣的，它也依賴于 ? 。一般地， ? 越小， ? 相應地也小一些。 2：定義中 00 xx?? 表示 0xx? ，這說明當 0xx? 時， )(xf 有無限與 )( 0xf 在 0x 點（是否有）的定義無關（可以無定義，即使有定義，與 )( 0xf 值也無關）。 3：幾何解釋：對 0??? ，作兩條平行直線 ?? ???? AyAy , 。由定義，對此 0, ???? 。當 ?? ???? 00 xxx ，且 0xx? 時，有 ?? ???? AxfA )( 。即函 數)(xfy? 的圖形夾在直線 ?? ???? AyAy , 之間（ )( 0xf 可能除外）。換言之：當 ),( 0 ??? xUx 時， ),()( ?AUxf ? 。從圖中也可見 ? 不唯一！ 【例 1】 證明 CCxx ??0lim （ C 為一常數） 證明：對 0??? ，可取任一正數 ? ，當 ???? 00 xx 時， ?????? 0)( CCAxf ， 所以 CCxx ??0lim。 【例 2】 證明 )0()(lim00 ????? abaxbaxxx 證明：對 0??? ，要使得 ????????? 000 )()()( xxaxxabaxbax ，只須 axx ??? 0， 所以取 0??a??顯然當 ??? 0xx 時，有 ????? )()( 0 baxbax 。 15 【例 3】 證明 3212 1lim 2 21 ????? xxxx 。 證明：對 0??? ，因為 ,1?a 所以)12(3 13212 13212 22?????????? ???? x xxxxx xx [此處 1?x ，即考慮 10?x 附近的情況，故不妨限制 x 為 110 ??? x ，即 20 ?? x ，1?x ]。因為 3 1)12(3 1,112 ??????? xx xx ，要使 ?????? 3212 122xxx,只須 ???31x ，即 ?31??x 。取 }3,1min{ ?? ? （從圖形中解釋），當 ???? 10 x 時，有 ?????? 3212 122xxx。 定理 1：（保號性）設 Axfxx ?? )(lim0， （ i） 若 )0(0 ?? AA ，則 0??? ，當 ),( 0 ??? xUx 時， 0)( ?xf )0)(( ?xf 。 （ ii） 若 )0)((0)( ?? xfxf ，必有 )0(0 ?? AA 。 證明：（ i）先證 0?A 的情形。取 2A?? ，由定義，對此 0, ???? ，當 ),( 0 ??? xUx 時，2)( AAxf ??? ? ，即 0)(232)(220 ????????? xfAAAxfAAA 。 當 0?A 時，取 2A??? ，同理得證。 （ ii） (反證法 )若 0?A ，由 (i) 0)( ?? xf 矛盾，所以 0?A 。 當 0)( ?xf 時，類似可證。 注： (i)中的“ ? ”，“ ? ”不能改為“ ? ”，“ ? ”。 在 (ii)中，若 0)( ?xf ，未必有 0?A 。 在函數極限 的定義中， x 是既從 0x 的左邊（即從小于 0x 的方向）趨于 0x ，也從 0x 的右邊（即從大于 0x 的方向）趨于 0x 。但有時只能或需要 x 從 0x 的某一側趨于 0x 的極限。如分段函數及在區(qū)間的端點處等等。這樣，就有必要引進單側極限的定義： 16 定義 2：對 0??? ， 0??? ，當 00 xxx ??? ? 時， [當 ???? 00 xxx 時 ]，有 ??? Axf )( .這時就稱 A 為 )(xf 當 0xx? 時的左 [右 ]極限，記為 Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 。 [ Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 0 ]。 定理 2： AxfxfAxfxxxxxx ???? ????? )(lim)(lim)(lim 00 000。 【例 4】 1)s g n (lim,1)s g n (lim0000 ??? ???? xx xx，因為 11?? ，所以 )sgn(lim0 xx?不存在。 【例 5】設??? ?? ?? 012 01)( xx xxf，求 )(lim0 xfx?。 解：顯然 11lim)(lim0000 ?? ???? xx xf 1)12(lim)(lim0000 ??? ???? xxf xx 因為 1)(lim)(lim0000 ?? ???? xfxf xx，所以 1)(lim0 ?? xfx。 二、自變量趨向無窮大時函數的極限 定義 3：設 )(xf 當 )0( ?? aax 時是有定義的，若對 )(,0 aX ????? ，當 Xx? 時，有???Axf )( ，就稱 A 為 )(xf 當 ??x 時的極限，記為 Axfx ??? )(lim 或 Axf ?)(（當 ??x 時）。 注 1：設 )(xf 在 ]),((),[ ba ???? 上有定義，若對 0,0 ???? X? ，當 )( XxXx ??? 時，有 ???Axf )( ，就稱 A 為 )(xf 當 )( ?????? xx 時的極限，記為Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當 ???x ）（ Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當???x ））。 2： AxfxfAxfxxx ???? ???????? )(lim)(lim)(lim。 3：若 Axfx ??? )(lim，就稱 Ay? 為 )(xfy? 的圖形的水平漸近線（若 Axfx ???? )(lim或Axfx ???? )(lim ，有類似的漸近線）。 【例 6】 證明 0sinlim ??? xxx。 證明：對 0??? ，因為xxxxx 1s in0s in ???，所以要使得 ???0sinxx， 只須 17 ?? 11 ??? xx，故取 ?1?X ，所以當 Xx? 時，有 ???0sinxx，所以0sinlim ??? xxx 。 167。 5 無窮小與無窮大 一、無窮小 若 )(xf 當 0xx? 或 ???x 時的極限為零，就稱 )(xf 為當 0xx? 或 ???x 時的無窮小，即有 定義 1：對 ,0??? 若 )0(0 ??? X? ，使得當 )(0 0 Xxxx ???? ? 時，有 ??)(xf 成立，就稱 )(xf 為當 )(0 ???? xxx 時的無窮小，記為 )0)(lim(0)(lim0 ?? ???? xfxf xxx。 注 1：除上兩種之外，還有 0,0, 00 ?????????? xxxxxx 的情形。 2：無窮小不是一個數，而是一個特殊的函數（極限為 0），不要將其與非常小的數混淆，因為任一常數不可能任意地小，除非是 0 函數，由此得： 0 是唯一可作為無窮小的常數。 【例 1】 因為 0422)42(lim2 ?????? xx，所以 42?x 當 2?x 時為無窮?。? 同理： 0sinlim ??? xxx，所以 xxsin 當 ??x 時為無窮小， 而 04)42(lim0 ????? xx，所以 42?x 當 0?x 時不是無窮小。 定理 1：當自變量在同一變化過程 0xx? （或 ??x ）中時： （ i） 具有極限的函數等于其極限與一個無窮小之和，即： A 為 )(xf 的極限 Axf ?? )( 為無窮小。 （ ii） 若一函數可表示為一常數與無窮小之和，那么該常數就是其極限（證明在下一節(jié)）。 二、無窮大 若當 0xx? 或 ??x 時 ??)(xf ，就稱 )(xf 為當 0xx? 或 ??x 時的無窮大。 定義 2：若對 )0(0,0 ????? XM ? ，使得當 )(0 0 Xxxx ???? ? 時，有 Mxf ?)( ，就稱 )(xf 當 )(0 ??? xxx 時的無窮大，記作 : ))(lim()(lim0 ???? ??? xfxf xxx。 注 1：同理還有 ?????? )(,)( xfxf 時的定義。 18 2：無窮大也不是一個數，不要將其與非常大的數混淆。 3：若 ??? )(lim0 xfxx或 ???? )(lim xfx，按通常意義將， )(xf 的極限不存在。 【例 2】 可證明 ??? 20 1limxx，所以當 0?x 時21x為無窮 大。 定理 2：當自變量在同一變化過程中時， （ i）若 )(xf 為無窮大，則)(1xf為無窮小。 （ ii）若 )(xf 為無窮小，且 0)( ?xf ，則)(1xf為無窮大。 （證明自己看） 167。 6 極限運算法則 由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。 定理 1：有限個無窮小的和仍為無窮小，即設 0)lim (0lim,0lim ????? ???? （證明在后面）。 注 1： u 與 ? 都表示函數 )(xu 與 )(x? ，而不是常數。 2： “ lim ”下放沒標自變量的變化過程，這說明對 0xx? 及 ??x 均成立，但須同一過程。 定理 2：有界 函數與無窮小的乘積仍為無窮小，即設 u 有界， 0lim0lim ??? ?? u。 證明：證明 0xx? 時的情況，設函數 u 在 0x 的某鄰域 ),( 10 ?xU 內有界，即 0??M ，當),( 10 ?xUx? 時，有 Mu? ，又設 ? 為當 0xx? 時的無窮小，即 0lim0 ?? ?xx，故對 )(0,0 1???? ????? ，當 ),( 0 ??? xUx 時，有 ?????? ?????? MMuuM 所以 0lim0 ?? ?uxx，即 ?u 為無窮??；同理可證 ??x 時的情形。 推論 1：常數與無窮小的乘積仍為無窮小，即若 k 為常數， 0lim0lim ??? ?? k。 推論 2：有限個無窮小的乘積仍為無窮小，設 0)l i m (0limlimlim 2121 ????