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高等數學考前要點復習(編輯修改稿)

2024-10-04 12:20 本頁面
 

【文章內容簡介】 N ,當 Nn? 時, 21??? ?axn,考慮 1212111 ???????? ?? axaxxx nnnn ?,而nx , 1?nx 總是一個“ 1”,一個“ 1? ”,所以 11 ??? nn xx ,所以矛盾, 所以 1)1( ??? nnx 發(fā)散。 定理 2. (有界性)若數列 nx 收斂,那么它一定有界,即:對于數列 nx ,若 ? 正數 M ,對一切 n ,有 Mxn ? 。 證明 :設 axnn ???lim,由定義對 ??,1? 自然數 ,N 當 Nn? 時, 1??? ?axn ,所以當 Nn?時, aaaxx nn ????? 1,令 }1,{ 21 axxxM a xM N ?? ??,顯然對一切 n ,Mxn ? 。 注:本定理的逆定理不成立,即有界未必收斂。例如數列 1)1( ??? nnx 是有界的( 1?nx ),但函數收斂。此點希望注意! 167。 4 函數的極限 由上節(jié)知,數列是自變量取自然數時的函數, )(nfxn ? ,因此,數列是函數的一種特性情況。此處講的是函數的極限,就是數列極限意義的。它主要表現在兩個方面: 一、 自變量 x 任意接近于有限值 0x ,或講趨向(于) 0x (記 0xx? )時,相應的函數值 )(xf 的變化情況。 二、當自變量 x 的絕對值 x 無限增大,或講趨向無窮大(記 ??x )時,相應的函數值 )(xf 的變化情況。 一、 自變量趨向有限值 0x 時函數的極限 與數列極限的意義相仿,自變量趨于有限值 0x 時的函數極限可理解為:當 0xx? 時,Axf ?)( ( A 為某常數),即當 0xx? 時, )(xf 與 A 無限地接近,或說 Axf ?)( 可 任意 14 小,亦即對于預先任意給定的正整數 ? (不論多么?。?x 與 0x 充分接近時,可使得Axf ?)( 小于 ? 。用數學的語言說,即 定義 1:如果對 0??? (不論它多么?。?,總 0??? ,使得對于適合不等式 ???? 00 xx 的一切 x 所對應的函數值 )(xf 滿足: ???Axf )( ,就稱常數 A 為函數 )(xf 當0xx? 時的極限,記為 Axfn ??? )(lim,或 Axf ?)( (當 0xx? 時) 注 1:“ x 與 0x 充分接近”在定義中表現為: 0??? ,有 ???? 00 xx ,即 ),( 0 ??? xUx 。顯然 ? 越小, x 與 0x 接近就越好,此 ? 與數列極限中 的 N 所起的作用是一樣的,它也依賴于 ? 。一般地, ? 越小, ? 相應地也小一些。 2:定義中 00 xx?? 表示 0xx? ,這說明當 0xx? 時, )(xf 有無限與 )( 0xf 在 0x 點(是否有)的定義無關(可以無定義,即使有定義,與 )( 0xf 值也無關)。 3:幾何解釋:對 0??? ,作兩條平行直線 ?? ???? AyAy , 。由定義,對此 0, ???? 。當 ?? ???? 00 xxx ,且 0xx? 時,有 ?? ???? AxfA )( 。即函 數)(xfy? 的圖形夾在直線 ?? ???? AyAy , 之間( )( 0xf 可能除外)。換言之:當 ),( 0 ??? xUx 時, ),()( ?AUxf ? 。從圖中也可見 ? 不唯一! 【例 1】 證明 CCxx ??0lim ( C 為一常數) 證明:對 0??? ,可取任一正數 ? ,當 ???? 00 xx 時, ?????? 0)( CCAxf , 所以 CCxx ??0lim。 【例 2】 證明 )0()(lim00 ????? abaxbaxxx 證明:對 0??? ,要使得 ????????? 000 )()()( xxaxxabaxbax ,只須 axx ??? 0, 所以取 0??a??顯然當 ??? 0xx 時,有 ????? )()( 0 baxbax 。 15 【例 3】 證明 3212 1lim 2 21 ????? xxxx 。 證明:對 0??? ,因為 ,1?a 所以)12(3 13212 13212 22?????????? ???? x xxxxx xx [此處 1?x ,即考慮 10?x 附近的情況,故不妨限制 x 為 110 ??? x ,即 20 ?? x ,1?x ]。因為 3 1)12(3 1,112 ??????? xx xx ,要使 ?????? 3212 122xxx,只須 ???31x ,即 ?31??x 。取 }3,1min{ ?? ? (從圖形中解釋),當 ???? 10 x 時,有 ?????? 3212 122xxx。 定理 1:(保號性)設 Axfxx ?? )(lim0, ( i) 若 )0(0 ?? AA ,則 0??? ,當 ),( 0 ??? xUx 時, 0)( ?xf )0)(( ?xf 。 ( ii) 若 )0)((0)( ?? xfxf ,必有 )0(0 ?? AA 。 證明:( i)先證 0?A 的情形。取 2A?? ,由定義,對此 0, ???? ,當 ),( 0 ??? xUx 時,2)( AAxf ??? ? ,即 0)(232)(220 ????????? xfAAAxfAAA 。 當 0?A 時,取 2A??? ,同理得證。 ( ii) (反證法 )若 0?A ,由 (i) 0)( ?? xf 矛盾,所以 0?A 。 當 0)( ?xf 時,類似可證。 注: (i)中的“ ? ”,“ ? ”不能改為“ ? ”,“ ? ”。 在 (ii)中,若 0)( ?xf ,未必有 0?A 。 在函數極限 的定義中, x 是既從 0x 的左邊(即從小于 0x 的方向)趨于 0x ,也從 0x 的右邊(即從大于 0x 的方向)趨于 0x 。但有時只能或需要 x 從 0x 的某一側趨于 0x 的極限。如分段函數及在區(qū)間的端點處等等。這樣,就有必要引進單側極限的定義: 16 定義 2:對 0??? , 0??? ,當 00 xxx ??? ? 時, [當 ???? 00 xxx 時 ],有 ??? Axf )( .這時就稱 A 為 )(xf 當 0xx? 時的左 [右 ]極限,記為 Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 。 [ Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 0 ]。 定理 2: AxfxfAxfxxxxxx ???? ????? )(lim)(lim)(lim 00 000。 【例 4】 1)s g n (lim,1)s g n (lim0000 ??? ???? xx xx,因為 11?? ,所以 )sgn(lim0 xx?不存在。 【例 5】設??? ?? ?? 012 01)( xx xxf,求 )(lim0 xfx?。 解:顯然 11lim)(lim0000 ?? ???? xx xf 1)12(lim)(lim0000 ??? ???? xxf xx 因為 1)(lim)(lim0000 ?? ???? xfxf xx,所以 1)(lim0 ?? xfx。 二、自變量趨向無窮大時函數的極限 定義 3:設 )(xf 當 )0( ?? aax 時是有定義的,若對 )(,0 aX ????? ,當 Xx? 時,有???Axf )( ,就稱 A 為 )(xf 當 ??x 時的極限,記為 Axfx ??? )(lim 或 Axf ?)((當 ??x 時)。 注 1:設 )(xf 在 ]),((),[ ba ???? 上有定義,若對 0,0 ???? X? ,當 )( XxXx ??? 時,有 ???Axf )( ,就稱 A 為 )(xf 當 )( ?????? xx 時的極限,記為Axfx ???? )(lim ,或 Axf ?)( (當 ???x )( Axfx ???? )(lim ,或 Axf ?)( (當???x ))。 2: AxfxfAxfxxx ???? ???????? )(lim)(lim)(lim。 3:若 Axfx ??? )(lim,就稱 Ay? 為 )(xfy? 的圖形的水平漸近線(若 Axfx ???? )(lim或Axfx ???? )(lim ,有類似的漸近線)。 【例 6】 證明 0sinlim ??? xxx。 證明:對 0??? ,因為xxxxx 1s in0s in ???,所以要使得 ???0sinxx, 只須 17 ?? 11 ??? xx,故取 ?1?X ,所以當 Xx? 時,有 ???0sinxx,所以0sinlim ??? xxx 。 167。 5 無窮小與無窮大 一、無窮小 若 )(xf 當 0xx? 或 ???x 時的極限為零,就稱 )(xf 為當 0xx? 或 ???x 時的無窮小,即有 定義 1:對 ,0??? 若 )0(0 ??? X? ,使得當 )(0 0 Xxxx ???? ? 時,有 ??)(xf 成立,就稱 )(xf 為當 )(0 ???? xxx 時的無窮小,記為 )0)(lim(0)(lim0 ?? ???? xfxf xxx。 注 1:除上兩種之外,還有 0,0, 00 ?????????? xxxxxx 的情形。 2:無窮小不是一個數,而是一個特殊的函數(極限為 0),不要將其與非常小的數混淆,因為任一常數不可能任意地小,除非是 0 函數,由此得: 0 是唯一可作為無窮小的常數。 【例 1】 因為 0422)42(lim2 ?????? xx,所以 42?x 當 2?x 時為無窮?。? 同理: 0sinlim ??? xxx,所以 xxsin 當 ??x 時為無窮小, 而 04)42(lim0 ????? xx,所以 42?x 當 0?x 時不是無窮小。 定理 1:當自變量在同一變化過程 0xx? (或 ??x )中時: ( i) 具有極限的函數等于其極限與一個無窮小之和,即: A 為 )(xf 的極限 Axf ?? )( 為無窮小。 ( ii) 若一函數可表示為一常數與無窮小之和,那么該常數就是其極限(證明在下一節(jié))。 二、無窮大 若當 0xx? 或 ??x 時 ??)(xf ,就稱 )(xf 為當 0xx? 或 ??x 時的無窮大。 定義 2:若對 )0(0,0 ????? XM ? ,使得當 )(0 0 Xxxx ???? ? 時,有 Mxf ?)( ,就稱 )(xf 當 )(0 ??? xxx 時的無窮大,記作 : ))(lim()(lim0 ???? ??? xfxf xxx。 注 1:同理還有 ?????? )(,)( xfxf 時的定義。 18 2:無窮大也不是一個數,不要將其與非常大的數混淆。 3:若 ??? )(lim0 xfxx或 ???? )(lim xfx,按通常意義將, )(xf 的極限不存在。 【例 2】 可證明 ??? 20 1limxx,所以當 0?x 時21x為無窮 大。 定理 2:當自變量在同一變化過程中時, ( i)若 )(xf 為無窮大,則)(1xf為無窮小。 ( ii)若 )(xf 為無窮小,且 0)( ?xf ,則)(1xf為無窮大。 (證明自己看) 167。 6 極限運算法則 由極限定義來求極限是不可取的,也是不行的,因此需尋求一些方法來求極限。 定理 1:有限個無窮小的和仍為無窮小,即設 0)lim (0lim,0lim ????? ???? (證明在后面)。 注 1: u 與 ? 都表示函數 )(xu 與 )(x? ,而不是常數。 2: “ lim ”下放沒標自變量的變化過程,這說明對 0xx? 及 ??x 均成立,但須同一過程。 定理 2:有界 函數與無窮小的乘積仍為無窮小,即設 u 有界, 0lim0lim ??? ?? u。 證明:證明 0xx? 時的情況,設函數 u 在 0x 的某鄰域 ),( 10 ?xU 內有界,即 0??M ,當),( 10 ?xUx? 時,有 Mu? ,又設 ? 為當 0xx? 時的無窮小,即 0lim0 ?? ?xx,故對 )(0,0 1???? ????? ,當 ),( 0 ??? xUx 時,有 ?????? ?????? MMuuM 所以 0lim0 ?? ?uxx,即 ?u 為無窮??;同理可證 ??x 時的情形。 推論 1:常數與無窮小的乘積仍為無窮小,即若 k 為常數, 0lim0lim ??? ?? k。 推論 2:有限個無窮小的乘積仍為無窮小,設 0)l i m (0limlimlim 2121 ????
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