【正文】 否則稱為無限集。 函 數(shù) 一、 集合、常量與變量 集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。 4：集合間的基本關(guān)系：若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若有 Ax? ，必有 Bx? ，就稱 A 為 B 的子集，記為 BA? ,或 AB? (讀 B 包含 A)。 8：鄰域：設(shè) a 和 ? 為兩個實數(shù)，且 ? ? }{ ??axx ? 稱為點 a 的 ? 鄰域，記為),( ?aU ,a 為該鄰域的中心， ? 為該鄰域的半徑，事實上， ),(}{),( ????? ?????? aaaxaxaU ??。 這就是說，同一過程中變量之間往往存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系。 【例 2】 xy ?? 1 的定義域為 ),1[ ??? ，值域為 ),0[ ?? 。（這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，在以后經(jīng)常遇見，希望注意?。┍M管有幾個不同的算式，但它們合起來只表示一個函數(shù)！ 對 D 中任一固定的 x ，依照法則有一個數(shù) y 與之對應(yīng)，以 x 為橫坐標， y 為縱坐標在坐標平面上就確定了一個點。 【 例 7】 上段例 4 中的函數(shù)是有界的；例 2 中的函數(shù)是無界的，但有下界。 函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù) )(xf 的定義域 D 為對稱于原點的數(shù)集，即若 Dx? ，有 Dx?? ， (1) 若對 Dx?? ，有 )()( xfxf ?? 恒成立，就稱 )(xf 為偶函數(shù)。 周期性：設(shè)函數(shù) )(xf 的定義域為 D ，如果 0??l ，使得對 Dx?? ，有 Dlx ?? ，且 )()( xflxf ?? 恒成立，就稱 )(xf 為周期函數(shù)， l 稱為 )(xf 的周 期。 167。正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個：正割 xxy c os1sec ?? 和余割 xxy sin1csc ?? ，其圖形在此不做討論了。由 常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合后所得到的能用一個解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。 【例 1】 書上用圓內(nèi)接正 126 ?? n 邊形的面積來近似代替該圓的面積時，得到數(shù)列 10 ???? , 21 nAAA （多邊形的面積數(shù)列） 【例 2】長一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進行下去，那么剩下部分的長構(gòu)成一數(shù)列： ???? ,21,21,21,21 32 n ，通項為n21。 對于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是常說的數(shù)列的極限問題。 定義：若對 0??? （不論 ? 多么小），總 ? 自然數(shù) 0?N ，使得當(dāng) Nn? 時都有 ???axn 成立，這是就稱常數(shù) a 是數(shù)列 nx 的極限，或稱數(shù)列 nx 收斂于 a ，記為 axnn ???lim，或axn? （ ??n ）。 【例 5】證明 1lim 22 ???? nann。 收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)： 定理 1：（唯一性）數(shù)列 nx 不能收斂于兩個不同的極限。 證明 ：設(shè) axnn ???lim，由定義對 ??,1? 自然數(shù) ,N 當(dāng) Nn? 時， 1??? ?axn ，所以當(dāng) Nn?時， aaaxx nn ????? 1，令 }1,{ 21 axxxM a xM N ?? ??，顯然對一切 n ，Mxn ? 。 一、 自變量趨向有限值 0x 時函數(shù)的極限 與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值 0x 時的函數(shù)極限可理解為：當(dāng) 0xx? 時，Axf ?)( （ A 為某常數(shù)），即當(dāng) 0xx? 時， )(xf 與 A 無限地接近，或說 Axf ?)( 可 任意 14 小，亦即對于預(yù)先任意給定的正整數(shù) ? （不論多么?。?，當(dāng) x 與 0x 充分接近時，可使得Axf ?)( 小于 ? 。即函 數(shù))(xfy? 的圖形夾在直線 ?? ???? AyAy , 之間（ )( 0xf 可能除外）。 定理 1：（保號性）設(shè) Axfxx ?? )(lim0， （ i） 若 )0(0 ?? AA ，則 0??? ，當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時， 0)( ?xf )0)(( ?xf 。 在 (ii)中，若 0)( ?xf ，未必有 0?A 。 【例 5】設(shè)??? ?? ?? 012 01)( xx xxf，求 )(lim0 xfx?。 167。 定義 2：若對 )0(0,0 ????? XM ? ，使得當(dāng) )(0 0 Xxxx ???? ? 時，有 Mxf ?)( ，就稱 )(xf 當(dāng) )(0 ??? xxx 時的無窮大，記作 : ))(lim()(lim0 ???? ??? xfxf xxx。 6 極限運算法則 由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。 定理 3 ：若 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 )]()(lim[ xgxf ? 存在，且 19 )(lim)(lim)]()(l i m[ xgxfBAxgxf ????? 。 證明：因為 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，由167。 注：以 上定理對數(shù)列亦成立。 注：若 0)( 0 ?xQ ，則不能用推論 2來求極限，需采用其它手段。 【例 8】設(shè) nmba ,0,0 00 ?? 為自然數(shù)，則 ????????????????????????時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx0l i m00110110????。 167。 證明：作單位圓，如下圖： 23 設(shè) x 為圓心角 AOB? ，并設(shè) 20 ???x 見圖不難發(fā)現(xiàn)： A O DA O BA O B SSS ?? ?? 扇形 ，即：xxx ta n2121s in21 ?? ，即 xxx tansin ?? ， 1s i nc o sc o s1s i n1 ?????? x xxxxx （因為 20 ???x ，所以上不等式不改變方向） 當(dāng) x 改變符號時， xxx sin,cos 及 1的值均不變，故對滿足 20 ??? x 的一切 x ，有 1sincos ?? x xx 。 24 準則Ⅱ′：單調(diào)上升，且有上界的數(shù)列必有極限。 3：指數(shù)函數(shù) xey? 及自然對數(shù) xy ln? 中的底就是這個常數(shù) e 。 注 1：高階無窮小不具有等價代換性，即： )(),( 22 xoxxox ?? ，但 )()( xoo ? ，因為)(?o 不是一個量，而是高階無窮小的記號； 2：顯然 (iv)是 (iii)的特殊情況； 3：等價無窮小具有傳遞性：即 ?????? ~~,~ ?； 4：未必任意兩個無窮小量都可進行比較，例如：當(dāng) 0?x 時， xx 1sin 與 2x 既非同階，又無高低階可比較，因為201sinlim x xxx? 不存在； 5：對于無窮大量也可作類似的比較、分類； 6：用等價無窮小可以簡化極限的運算，事實上，有： 定理：若 ???? ??, 均為 x 的同一變化過程中的無窮小，且 ???? ?? ~,~ ， 及 ?????lim ，那么 ???? ???? limlim 。 2 ：若 )()0()(lim00 xfxfxfxx ??????， 就 稱 )(xf 在 0x 點 左 連 續(xù) 。 【例 1】 多項式函數(shù)在 ),( ???? 上是連續(xù)的；所以 )()(lim00 xfxfxx ??，有理函數(shù)在分母不 28 等于零的點 處是連續(xù)的，即在定義域內(nèi)是連續(xù)的。 解： 220)2(limlim,220)2(limlim00000000 ??????????? ???????? xyxy xxxx ，因為 22?? ，所以該函數(shù)在 0?x 點不連續(xù)，又因為 2)0( ?f ，所以為右連續(xù)函數(shù)。 29 【例 7】 xxy sin? 在 0?x 點無定義，所以 0?x 為其間斷點，又 1sinlim0 ?? xxx，所以若補充定義 1)0( ?f ，那么函數(shù)在 0?x 點就連續(xù)了。 定理 2（反函數(shù)的連續(xù)性）：如果 )(xfy? 在區(qū)間 xI 上單值，單增（減），且連續(xù)，那么其反函數(shù) )(yx ?? 也在對應(yīng)的區(qū)間 }),({ xy IxxfyyI ??? 上單值，單增（減），且連續(xù)。 【例 2】求xxx sin2lim0 ?? 解：因為 1sinlim0 ?? xxx，及 u?2 在 1?u 點連續(xù)，故由定理 3，原式 112s inlim2 0 ????? ? x xx 。 定理 3：設(shè) )(xu ?? 當(dāng) 0xx? 時的極限存在且等于 a ，即 axxx ?? )(lim0?，又設(shè) )(ufy? 在au? 處連續(xù)，那么，當(dāng) 0xx? 時，復(fù)合函數(shù) ))(( xfy ?? 的極限存在，且等于 )(af ， 30 即 )())((lim0 afxfxx ?? ?。 【例 8】 [例 4]的函數(shù)在 0?x 點不連續(xù)，但左、右極限均存在，且有不等于 )0(f 的，這種間斷點稱為跳躍間斷點。間斷點有下列三種情況： （ 1） )(xf 在 0xx? 沒有定義； （ 2） )(lim0 xfxx?不存在； （ 3）雖然 )(lim0 xfxx?不存在，也雖然在 0x 點有定義，但 )()(lim00 xfxfx ??。 【例 2】的推論 推論 2即得。 3：如果 )(xf 在區(qū)間 I 上的每一點處都連續(xù) ，就稱 )(xf 在 I 上連續(xù)；并稱 )(xf 為 I 上的連續(xù)函數(shù)；若 I 包含端點，那么 )(xf 在左端點連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點連續(xù)是指左連續(xù)。 解：因為當(dāng) 0?x 時， xx~sin 所以 21c o s1lims inc o s1lim2020 ???? ?? x xx x xx。 注 1：此定理證明較繁，在此不證了。 注 1：由前已知，有界數(shù)列未必有極限，若加單調(diào)性，就有極限。 【例 1】 1s in1lims inlims inlim 00a r c s i n0 ??? ????ttttx xc ttxtx令 。 （ ii） azynnnn ?? ???? limlim 那么，數(shù)列 nx 的極限存在，且 axnn ???lim。 定理 5，先變形： mmnnmnxmmmnnnxxbxbbxaxaaxbxbxb axaxa??????????? ??? ??????? ????????1010110110 l i ml i m ?????????????????????????????????????時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)mnbamnbamnba00000000000001000000???????????? 【例 9】求 )21(lim222 nnnnn ????? ??。 解：當(dāng) 1?x 時，分子、分母均趨于 0，因為 1?x ，約去公因子 )1( ?x ， 所以 5332 2lim32 2lim1221 ?????? ???? xxxx xxxx。 【例 1】 baxbxabaxbaxxxxxxxxx ??????? ???? 00000 limlimlim)(lim。 定 理1（ iii） ABxgxf ?? )()(lim 。 其它情況類似可證。 注 1： u 與 ? 都表示函數(shù) )(xu 與 )(x? ，而不是常數(shù)。 18 2：無窮大也不是一個數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。 注 1：除上兩種之外，還有 0,0, 00 ?????????? xxxxxx 的情形。 二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 定義 3：設(shè) )(xf 當(dāng) )0( ?? aax 時是有定義的，若對 )(,0 aX ????? ，當(dāng) Xx? 時，有???Axf )( ，就稱 A 為 )(xf 當(dāng) ??x 時的極限，記為 Axfx ??? )(lim 或 Axf ?)(（當(dāng) ??x 時）。但有時只能或需要 x 從 0x 的某一側(cè)趨于 0x 的極限。 證明：（ i）先證 0?A 的情形。從圖中也可見 ? 不唯一！ 【例 1】 證明 CCxx ??0lim （ C 為一常數(shù)） 證明：對 0??? ，可取任一正數(shù) ? ，當(dāng) ???? 00 xx 時， ?????? 0)(