【正文】 【例 2】求xxx sin2lim0 ?? 解：因?yàn)?1sinlim0 ?? xxx，及 u?2 在 1?u 點(diǎn)連續(xù)，故由定理 3，原式 112s inlim2 0 ????? ? x xx 。 注 4：在定理 3中代入 )( 00 xua ??? ，即得定理 4。 定理 4：設(shè)函數(shù) )(xu ?? 在點(diǎn) 0xx? 連續(xù)，且 00)( ux ?? ，函數(shù) )(ufy? 在 0u 點(diǎn)連續(xù)，那么，復(fù)合函數(shù) ))(( xfy ?? 在點(diǎn) 0xx? 處連續(xù)。 定理 3：設(shè) )(xu ?? 當(dāng) 0xx? 時(shí)的極限存在且等于 a ，即 axxx ?? )(lim0?，又設(shè) )(ufy? 在au? 處連續(xù)，那么，當(dāng) 0xx? 時(shí)，復(fù)合函數(shù) ))(( xfy ?? 的極限存在，且等于 )(af ， 30 即 )())((lim0 afxfxx ?? ?。 定理 2（反函數(shù)的連續(xù)性）：如果 )(xfy? 在區(qū)間 xI 上單值，單增（減），且連續(xù)，那么其反函數(shù) )(yx ?? 也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間 }),({ xy IxxfyyI ??? 上單值，單增（減），且連續(xù)。 167。 歸納： (1) ??? )(lim0 xfxx， 0x 為無窮間斷點(diǎn)； (2) )(lim0 xfxx?震蕩不存在， 0x 為震蕩間斷點(diǎn)； (3) )()(lim00 xfAxfxx ???， 0x 為可去間斷點(diǎn)； (4) )(lim)(lim00 00 xfxf xxxx ???? ?， 0x 為跳躍間斷點(diǎn)。 【例 8】 [例 4]的函數(shù)在 0?x 點(diǎn)不連續(xù)，但左、右極限均存在，且有不等于 )0(f 的，這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)。 29 【例 7】 xxy sin? 在 0?x 點(diǎn)無定義，所以 0?x 為其間斷點(diǎn)，又 1sinlim0 ?? xxx，所以若補(bǔ)充定義 1)0( ?f ，那么函數(shù)在 0?x 點(diǎn)就連續(xù)了。 1.??? ??? Qx Qxxf 10)( x? 均為振蕩間斷點(diǎn)。因?yàn)???? 20 1limxx，所以 0?x 為無窮間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)有下列三種情況： （ 1） )(xf 在 0xx? 沒有定義； （ 2） )(lim0 xfxx?不存在； （ 3）雖然 )(lim0 xfxx?不存在，也雖然在 0x 點(diǎn)有定義，但 )()(lim00 xfxfx ??。 解： 220)2(limlim,220)2(limlim00000000 ??????????? ???????? xyxy xxxx ，因?yàn)?22?? ，所以該函數(shù)在 0?x 點(diǎn)不連續(xù)，又因?yàn)?2)0( ?f ，所以為右連續(xù)函數(shù)。 習(xí)題 5知 )0(0lim0 fxx ???，所以 ? xxf ?)( 在 0?x 點(diǎn)連續(xù)。 【例 3】證明 xxf ?)( 在 0?x 點(diǎn)連續(xù)。 【例 2】的推論 推論 2即得。 【例 1】 多項(xiàng)式函數(shù)在 ),( ???? 上是連續(xù)的；所以 )()(lim00 xfxfxx ??，有理函數(shù)在分母不 28 等于零的點(diǎn) 處是連續(xù)的，即在定義域內(nèi)是連續(xù)的。 定義 1″：設(shè) )(xfy? 在 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng) 0??x 時(shí)，有 0??y ，即 0lim0 ???? yx，或 0)]()([lim000 ?????? xfxxfx，就稱 )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù)。 下面再給出連續(xù)性定義的另一種形式： 先介紹增量：變量 u 由初值 1u 變到終值 2u ，終值 2u 與初值 1u 的差 12 uu? 稱為 u 的增量，記為 u? ，即 12 uuu ??? ； u? 可正、可負(fù)、也可為零，這些取決于 1u 與 2u 的大小。 3：如果 )(xf 在區(qū)間 I 上的每一點(diǎn)處都連續(xù) ，就稱 )(xf 在 I 上連續(xù)；并稱 )(xf 為 I 上的連續(xù)函數(shù)；若 I 包含端點(diǎn)，那么 )(xf 在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。 2 ：若 )()0()(lim00 xfxfxfxx ??????， 就 稱 )(xf 在 0x 點(diǎn) 左 連 續(xù) 。在數(shù)學(xué)上，我們有： 定義 1：設(shè) )( xfy ? 在 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若 )()(lim00 xfxfxx ??，就稱函數(shù) )(xfy? 在 0x 點(diǎn)處連續(xù)。 7：在目前，常用當(dāng) 0?x 時(shí)，等價(jià)無窮小有： 221~c o s1,~a r c t a n,~a r c s i n,~t a n,~s i n xxxxxxxxxx ?； 8：用等價(jià)無窮小代換適用于乘、除，對(duì)于加、減須謹(jǐn)慎！ 167。 解：因?yàn)楫?dāng) 0?x 時(shí)， xx~sin 所以 21c o s1lims inc o s1lim2020 ???? ?? x xx x xx。 注 1：高階無窮小不具有等價(jià)代換性，即： )(),( 22 xoxxox ?? ，但 )()( xoo ? ，因?yàn)?(?o 不是一個(gè)量，而是高階無窮小的記號(hào)； 2：顯然 (iv)是 (iii)的特殊情況； 3：等價(jià)無窮小具有傳遞性：即 ?????? ~~,~ ?； 4：未必任意兩個(gè)無窮小量都可進(jìn)行比較，例如：當(dāng) 0?x 時(shí)， xx 1sin 與 2x 既非同階，又無高低階可比較，因?yàn)?01sinlim x xxx? 不存在； 5：對(duì)于無窮大量也可作類似的比較、分類； 6：用等價(jià)無窮小可以簡化極限的運(yùn)算，事實(shí)上，有： 定理：若 ???? ??, 均為 x 的同一變化過程中的無窮小，且 ???? ?? ~,~ ， 及 ?????lim ，那么 ???? ???? limlim 。 6 中我們討論了無窮小的和、差、積的情況，對(duì)于其商會(huì)出現(xiàn)不同的情況，例如：?????????????? ???nmnmnmbabaxxbxa mnxmnx0limlim00000000 （ 00,ba 為常數(shù)， nm, 為自然數(shù)） 可見對(duì)于 nm, 取不同數(shù)時(shí)， nxa0 與 mxb0 趨于 0 的速度不一樣，為此有必要對(duì)無窮小進(jìn)行比較或分類： 定義：設(shè) ? 與 ? 為 x 在同一變化過程中的兩個(gè)無窮小， (i) 若 0lim ??? ，就說 ? 是比 ? 高階的無窮小，記為 )(?? o? ； (ii) 若 ????lim ，就說 ? 是比 ? 低階的無窮小； (iii) 若 0lim ??C?? ，就說 ? 是比 ? 同階的無窮??； 26 (iv) 若 1lim ??? ，就說 ? 與 ? 是等價(jià)無窮小，記為 ??~ 。 167。 注 1：此定理證明較繁，在此不證了。 3：指數(shù)函數(shù) xey? 及自然對(duì)數(shù) xy ln? 中的底就是這個(gè)常數(shù) e 。 （ ii）又令 1?a ， 21)21(1)1(,211 ?????????? nnnbannb 所以 nn nn )211(221)211(1 ?????? nn 2)211(4 ??? ， 即對(duì) 4, 2 ?? nxn ， 又對(duì) 4)22 11()12 11( 2212 ??????? ?? nn nn 所以 { nn)11( ? }是有界的。 作為準(zhǔn)則Ⅱ的一個(gè)應(yīng)用，下面來證明極限 xx x)11(lim ???是不存在的。 注 1：由前已知，有界數(shù)列未必有極限，若加單調(diào)性，就有極限。 24 準(zhǔn)則Ⅱ′：單調(diào)上升，且有上界的數(shù)列必有極限。 準(zhǔn)則Ⅱ：單調(diào)有界數(shù)列必有極限 如果數(shù)列 nx 滿足： ???? ???? nxxx 21 ，就稱之為單調(diào)增加數(shù)列；若滿足：???? ???? nxxx 21 ，就稱之為單調(diào)減少數(shù)列；同理亦有嚴(yán)格單增或單減，以上通稱為單減數(shù)列和嚴(yán)格單減數(shù)列。 【例 3】 3113c o s13 3s in3lim3t a nlim00 ??????? ?? xx xx x xx。 【例 1】 1s in1lims inlims inlim 00a r c s i n0 ??? ????ttttx xc ttxtx令 。 證明：作單位圓，如下圖： 23 設(shè) x 為圓心角 AOB? ，并設(shè) 20 ???x 見圖不難發(fā)現(xiàn)： A O DA O BA O B SSS ?? ?? 扇形 ，即：xxx ta n2121s in21 ?? ，即 xxx tansin ?? ， 1s i nc o sc o s1s i n1 ?????? x xxxxx （因?yàn)?20 ???x ，所以上不等式不改變方向） 當(dāng) x 改變符號(hào)時(shí)， xxx sin,cos 及 1的值均不變，故對(duì)滿足 20 ??? x 的一切 x ，有 1sincos ?? x xx 。 那么當(dāng) )(0 ??? xxx 時(shí)， )(xf 的極限存在，且等于 A 。 準(zhǔn)則 I′ 如果函數(shù) )(),(),( xhxgxf 滿足下列條件： （ i）當(dāng) ))(,( 0 MxrxUx ?? ? 時(shí)，有 )()()( xhxfxg ?? 。 （ ii） azynnnn ?? ???? limlim 那么，數(shù)列 nx 的極限存在，且 axnn ???lim。 167。 證明：先考慮 ? ? ? ?x xxxx ???1 ，因?yàn)???xx? 是有界函數(shù)，且當(dāng) ??x 時(shí)， 01?x ，所以由 167。 定理 3，先變形： 原式 212 1l i m2 )1(1l i m)21(1l i m22 ?????????? ?????? nnnnnnn nnn ??。 定理 5，先變形： mmnnmnxmmmnnnxxbxbbxaxaaxbxbxb axaxa??????????? ??? ??????? ????????1010110110 l i ml i m ?????????????????????????????????????時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)mnbamnbamnba00000000000001000000???????????? 【例 9】求 )21(lim222 nnnnn ????? ??。 【例 8】設(shè) nmba ,0,0 00 ?? 為自然數(shù)，則 ????????????????????????時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx0l i m00110110????。 解：當(dāng) 2?x 時(shí)， 02??x ，故不能直接用定理 5，又 42 ?x ，考慮： 04 222lim22 ????? xxx， 由167。 解：當(dāng)13,11,1 3 ???? xxx全沒有極限，故不能直接用定理 3，但當(dāng) 1??x 時(shí)， 12)1)(1( )2)(1(1311 223 ??????? ?????? xx xxxx xxxx，所以 11)1()1( 2112l i m)1311(l i m 22131 ?????? ?????????? ???? xx xxx xx 。 解：當(dāng) 1?x 時(shí)，分子、分母均趨于 0，因?yàn)?1?x ，約去公因子 )1( ?x ， 所以 5332 2lim32 2lim1221 ?????? ???? xxxx xxxx。 注：若 0)( 0 ?xQ ，則不能用推論 2來求極限，需采用其它手段。 【例 3】 31151105(lim 221 ????????? xxx。 推論 1：設(shè) nnnn axaxaxaxf ????? ?? 1110)( ??為一多項(xiàng)式，當(dāng) )()(l i m 001101000 xfaxaxaxaxf nnnnxx ?????? ??? ??。 【例 1】 baxbxabaxbaxxxxxxxxx ??????? ???? 00000 limlimlim)(lim。 注：以 上定理對(duì)數(shù)列亦成立。 證明：設(shè) ?? ???? BxgAxf )(,)( （ ??, 為無 窮小），考慮差： 20 )()( )( ????? ???????? BB ABBABABAxg xf 其分子 ?? AB ? 為無窮小，分母 0)(