【正文】 CCAxf ， 所以 CCxx ??0lim。顯然 ? 越小， x 與 0x 接近就越好，此 ? 與數(shù)列極限中 的 N 所起的作用是一樣的，它也依賴于 ? 。例如數(shù)列 1)1( ??? nnx 是有界的（ 1?nx ），但函數(shù)收斂。 由極限的定義，對 0??? ，必分別 ? 自然數(shù) 21,NN ，當(dāng) 1Nn ? 時(shí)，有 ???axn … (1) 當(dāng) 2Nn? 時(shí)，有 ???bxn … (2)令 ? ?21 , NNMaxN ? ，當(dāng) Nn? 時(shí)，（ 1），（ 2）同時(shí)成立。 即有 ?2an? . 所以取 ][ 2?aN? ，當(dāng) Nn? 時(shí)，因?yàn)橛???na2 ? ???? 122n an，所以 1lim 22 ???? nann。 【例 4】證明數(shù)列 ???? ,1,34,23,2 nn ?收斂于 1。從圖中不難發(fā)現(xiàn) nn1? 隨著 n 的增大，無限制地接近 1，亦即 n 充分大時(shí)， nn1? 與 1 可以任意地接近，即 11??nn可以任意地小，換言之，當(dāng) n 充分大時(shí) 11??nn可以小于預(yù)先給定的無論 多么小的正數(shù) ? 。,)1(,1,1。 本教材討論的主要都是初等函數(shù)。 四、 復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù) 設(shè) )(ufy? ，定義域?yàn)?1D ， )(xu ?? ，定義域?yàn)?2D ，值域?yàn)?2W ，且 12 DW? ，這樣對于2Dx?? ，由 )(xu ?? 可算出函數(shù)值 12 DWu ?? ，所以 1Du? ，由 )(ufy? 又可算出其函數(shù)值 y ，因此對于 2Dx?? ，有確定的值 y 與之對應(yīng)，從而得一個(gè)以 x 為自變量， y 為因變量的函數(shù)，我們稱之為以 )(ufy? 為外函數(shù)， )(xu ?? 為內(nèi)函數(shù)復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)，記為 ))(( xfy ?? ，其中 u 為中間變量。 其定義域較為復(fù)雜，下作一些簡單的討論： （ 1） 當(dāng) ? 為非負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?),( ???? ； （ 2） 當(dāng) ? 為負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?),0()0,( ????? ； （ 3） 當(dāng) ? 為其它有理數(shù)時(shí)，要視情況而定。 注 1：若 l 為 )(xf 的周期，由定義知 ??lll 4,3,2 也都是 )(xf 的周期，故周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期，通常說的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（為什么？） 例如： 1c o ss in 22 ??? xxy ，設(shè)有最小正周期。 【例 11】 2xy? ， xy cos? , xy? ,是偶函數(shù)， 3xy? ， xy sin? ， xy sgn? ，是奇函數(shù)。 （ 2） )()( 21 xfxf ? ，就稱 )(xf 在 I 上單調(diào)遞減，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式 )()( 21 xfxf ? 成立時(shí)，就稱 )(xf 在 I 上嚴(yán)格單調(diào)遞減。換言之，當(dāng) x 在 D 中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn) ),( yx 的軌跡就是 )(xfy? 的圖形。 【例 4】 1)( ?xf 的定義域?yàn)?),( ???? ， xxxh ?)( 的定義域?yàn)?),0()0,( ????? ，從而顯然)()( xhxf ? 。 定義：設(shè) x 和 y 為 兩個(gè)變量， D 為一個(gè)給定的數(shù)集，如果對每一個(gè) Dx? ，按照一定的法則 f 變量 y 總有確定的數(shù)值與之對應(yīng)，就稱 y 為 x 的函數(shù)，記為 )(xfy? .數(shù)集 D稱為該函數(shù)的定義域， x 叫做自變量， y 叫做因變量。 9：集合的內(nèi)容很多，其它內(nèi)容 (如集合的運(yùn)算 )在此不作一一介紹了。 5：當(dāng)集合中的元素重復(fù)時(shí) ,重復(fù)的元素只算一次 .如： {1,2,2,3}={1,2,3}。若事物 a 是集合 M 的一個(gè)元素，就記 a? M（讀 a 屬于 M）；若事物 a 不是集合 M 的一個(gè)元素，就記 a?M 或 a? M（讀 a 不屬于 M）；集合有時(shí)也簡稱為集。通常用大寫字母 A、 B、 C??等來表示，組成集合的各個(gè)事物稱為該集合的元素。 顯然： RQZN ??? . 若 BA? ,同時(shí) AB? ,就稱 A、 B 相等 ,記為 A=B。 同理：我們稱 }0{),( ?? ?? axxaU ??? 為 a 的去心 ? 鄰域，或 a 的空心 ? 鄰域。它們在遵循某一規(guī)律時(shí)相互聯(lián)系、相互約束著。 3 【例 3】 ?????????????011021102??xxxxxy 的定義域?yàn)?]1,1[? ，值域?yàn)?]2,0[ 。當(dāng) x 取遍 D 中的每一數(shù)時(shí)，便得到一個(gè)點(diǎn)集}),(),{( DxxfyyxC ??? ，我們稱之為函數(shù) )(xfy? 的圖形。 函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 I 上有定義，若對 Ixx ?? 2 ，當(dāng) 21 xx? 時(shí)總有： （ 1） )()( 21 xfxf ? ，就稱 )(xf 在 I 上單調(diào)遞增，特別當(dāng)嚴(yán)格不等式 )()( 21 xfxf ? 成立時(shí)，就稱 )(xf 在 I 上嚴(yán)格單調(diào)遞增。 (2) 若對 Dx?? ，有 )()( xfxf ??? 恒成立，就稱 )(xf 為奇函數(shù)。 【例 12】 tgxyxyxy ??? ,c os,s in 分別為周期為 ??? ,2,2 的周期函數(shù)， ][xxy ?? 為周期為 1 的函數(shù)。 2 初等函數(shù) 一、 冪函數(shù) 形如 ?xy? （ ? 為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)。 反三角函數(shù)： 反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為： 反正弦函數(shù)： ]1,1[s in ??? xxA rcy 反余弦函數(shù)： ]1,1[c o s ??? xxA rcy 反正切函數(shù)： ),(t a n ?????? xxA rcy 8 反余切函數(shù)： ),(c o t ?????? xxA rcy 顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個(gè)單值分支，叫做主值，選法如下： 將 xArcy sin? 限制在 ]2,2[ ??? 上，得一單值函數(shù)，記為 xy arcsin? ，它就是所取主值函數(shù)， ]2,2[ ??? 叫做主值區(qū)間，顯然 2arc s in2 ?? ??? x ， 同理：將 xArcy cos? 限 制在 ],0[ ? 上，得 xy arccos? 將 xArcy tan? 限制在 ]2,2[ ??? 上，得 xy arctan? 將 xArcy cot? 限制在 ],0[ ? 上，得 xarcy cot? 從圖中不難看出 xarcsin 和 xarctan 是單調(diào)遞增的， xarccos 和 xarccot 是單調(diào)遞減的。 【例 2】 xxyxyxyyxy x s i n1 s i n1a r c t a n,)t a n ( l n,s i n,21,1 22 ?????????等都是初等函數(shù)。 【例 3】 。 我們來 觀察?????? ?nn 1的情況。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。 證明：對 0??? ，因?yàn)??????nnn 111,因?yàn)閚anann an an222222)(1 ?????? （此處不妨設(shè) 0?a ，若 0?a ，顯然有 1lim 22 ???? nann） 12 所以要使得 ???? 122n an，只須 ??na2 就行了。 證明：設(shè) a 和 b 為 nx 的任意兩個(gè)極限，下證 ba? 。 注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。用數(shù)學(xué)的語言說，即 定義 1：如果對 0??? （不論它多么?。?0??? ，使得對于適合不等式 ???? 00 xx 的一切 x 所對應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 滿足： ???Axf )( ，就稱常數(shù) A 為函數(shù) )(xf 當(dāng)0xx? 時(shí)的極限，記為 Axfn ??? )(lim，或 Axf ?)( （當(dāng) 0xx? 時(shí)） 注 1：“ x 與 0x 充分接近”在定義中表現(xiàn)為： 0??? ，有 ???? 00 xx ，即 ),( 0 ??? xUx 。換言之：當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)， ),()( ?AUxf ? 。 （ ii） 若 )0)((0)( ?? xfxf ，必有 )0(0 ?? AA 。 在函數(shù)極限 的定義中， x 是既從 0x 的左邊（即從小于 0x 的方向）趨于 0x ，也從 0x 的右邊（即從大于 0x 的方向）趨于 0x 。 解：顯然 11lim)(lim0000 ?? ???? xx xf 1)12(lim)(lim0000 ??? ???? xxf xx 因?yàn)?1)(lim)(lim0000 ?? ???? xfxf xx，所以 1)(lim0 ?? xfx。 5 無窮小與無窮大 一、無窮小 若 )(xf 當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的極限為零，就稱 )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的無窮小，即有 定義 1：對 ,0??? 若 )0(0 ??? X? ，使得當(dāng) )(0 0 Xxxx ???? ? 時(shí)，有 ??)(xf 成立，就稱 )(xf 為當(dāng) )(0 ???? xxx 時(shí)的無窮小，記為 )0)(lim(0)(lim0 ?? ???? xfxf xxx。 注 1：同理還有 ?????? )(,)( xfxf 時(shí)的定義。 定理 1：有限個(gè)無窮小的和仍為無窮小，即設(shè) 0)lim (0lim,0lim ????? ???? （證明在后面）。 證明： 只證 BAxgxf ??? )]()(lim [ ，過程為 0xx? ，對 0,0 1 ???? ?? ，當(dāng) 100 ???? xx 時(shí)，有 2)( ??? Axf ，對此 ? ， 02??? ，當(dāng) 200 ???? xx 時(shí)，有 2)( ???Bxg ，取 },min{ 21 ??? ? ，當(dāng) ???? 00 xx 時(shí)，有 ??? ?????????????? 22)()())(())(()())()(( BxgAxfBxgAxfBAxgxf 所以 BAxgxfxx ???? ))()((lim 0。 定理 1（ i） ? ,)(,)( ?? ???? BxgAxf （ ??, 均為無窮小） )())(()()( ?????? ???????? BAABBAxgxf ，記 ????? ??? BA ，由定理 2的推論 及定理 1 ?? 為無窮小，再由167。 定理 6：如果 )()( xx ?? ? ，且 bxax ?? )(lim,)(lim ?? ，則 ba? 。 【例 5】求 32 2lim221 ????? xxxxx。 證明：當(dāng) ??x 時(shí) ，分子、分母極限均不存在，故不能用167。 極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限 準(zhǔn)則 I：如果數(shù)列 nnn zyx , 滿足下列條件： （ i）對 nnn zxyn ??? , 。 x 又因?yàn)?21421)2(s i n21)c o s1(1c o s 222 xxxxx ?????????? ， 所以 1co slim1co s2102 ?????? xxxx 而 1s inlim11limc o slim000 ???? ??? x xx xxx ，證畢。 準(zhǔn)則Ⅱ″ : 單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。 25 【例 1】 22222 ])211(l i m[])211[(l i m)21(l i m exxxxxxxxx ?????? ?????? 【例 2】 ezx zzxzxx ???? ???? )1(lim)1(lim110 【例 3】 eexxxxxxxxxxxx 11)11(lim])11(lim[)11(])11[(lim)11(lim 1111 ????????????? ?????????????? 【例 4】 eennnnn nxnxnx111)2111()2111(lim)12 21(lim)12 12(lim 212121 ?????????????? ????????? ? Cauchy 極限存在準(zhǔn)則：數(shù)列 nx 收斂 ? 對 N??? ,0? ，當(dāng) NmNn ?? , 時(shí)，有 ??? mn xx 。 【例 2】 求 xxx 20 sincos1lim ??。 若)()0()(lim 00 xfxfxfxx ????? ，就稱 )(xf 在 0x 點(diǎn)右連續(xù)。 以上由167。 二、 間斷點(diǎn) 簡單地說，若 )(xf 在 0x 點(diǎn)不連續(xù)，就稱 0x 為 )(xf 的間斷點(diǎn)，或不連續(xù)點(diǎn)，為方便起見，在此要求 0x 的任一 鄰域均含有 )(xf 的定義域中非 0x 的點(diǎn)。故這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)。 注 1： )(xy ?? 亦為 )(xfy? 的反函數(shù)，如上知： )(xy ?? 在 yI 上有上述性質(zhì)。 二、 初等函數(shù)的連續(xù)性 我們已知道 xyxy c os,