【正文】 2 ??? BBB ? ，我們不難證明)( 1 ??BB有界（詳細過程見書上）)( ??? ??? BB AB為無窮小，記為 ? ，所以 ???BAxg xf )( )(，由167。 推論 2： nn xfxf )]([lim)](lim [ ? （ n 為正整數(shù)）。 定 理1（ iii） ABxgxf ?? )()(lim 。 證明：因為 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，由167。 3：若令 0??AA ，即證定理 1。 2：在本定理中，設 0))(l i m ())(( l i m)(,)(l i m ?????????? AAAxfAxgAxgAxf ，反之，若 ??Axf )( ，其中 AAAxf ??????? ??? l i m)l i m ()(l i m0l i m ，即證167。 其它情況類似可證。 定理 3 ：若 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 )]()(lim[ xgxf ? 存在，且 19 )(lim)(lim)]()(l i m[ xgxfBAxgxf ????? 。 推論 1：常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即若 k 為常數(shù)， 0lim0lim ??? ?? k。 定理 2：有界 函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即設 u 有界， 0lim0lim ??? ?? u。 注 1： u 與 ? 都表示函數(shù) )(xu 與 )(x? ，而不是常數(shù)。 6 極限運算法則 由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。 （ ii）若 )(xf 為無窮小，且 0)( ?xf ，則)(1xf為無窮大。 【例 2】 可證明 ??? 20 1limxx，所以當 0?x 時21x為無窮 大。 18 2：無窮大也不是一個數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。 定義 2：若對 )0(0,0 ????? XM ? ，使得當 )(0 0 Xxxx ???? ? 時，有 Mxf ?)( ，就稱 )(xf 當 )(0 ??? xxx 時的無窮大，記作 : ))(lim()(lim0 ???? ??? xfxf xxx。 （ ii） 若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是其極限（證明在下一節(jié)）。 【例 1】 因為 0422)42(lim2 ?????? xx，所以 42?x 當 2?x 時為無窮小； 同理： 0sinlim ??? xxx，所以 xxsin 當 ??x 時為無窮小， 而 04)42(lim0 ????? xx，所以 42?x 當 0?x 時不是無窮小。 注 1：除上兩種之外，還有 0,0, 00 ?????????? xxxxxx 的情形。 167。 【例 6】 證明 0sinlim ??? xxx。 2： AxfxfAxfxxx ???? ???????? )(lim)(lim)(lim。 二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 定義 3：設 )(xf 當 )0( ?? aax 時是有定義的，若對 )(,0 aX ????? ，當 Xx? 時，有???Axf )( ，就稱 A 為 )(xf 當 ??x 時的極限，記為 Axfx ??? )(lim 或 Axf ?)(（當 ??x 時）。 【例 5】設??? ?? ?? 012 01)( xx xxf，求 )(lim0 xfx?。 定理 2： AxfxfAxfxxxxxx ???? ????? )(lim)(lim)(lim 00 000。這樣，就有必要引進單側(cè)極限的定義： 16 定義 2：對 0??? ， 0??? ，當 00 xxx ??? ? 時， [當 ???? 00 xxx 時 ]，有 ??? Axf )( .這時就稱 A 為 )(xf 當 0xx? 時的左 [右 ]極限，記為 Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 。但有時只能或需要 x 從 0x 的某一側(cè)趨于 0x 的極限。 在 (ii)中，若 0)( ?xf ，未必有 0?A 。 當 0)( ?xf 時，類似可證。 當 0?A 時，取 2A??? ，同理得證。 證明：（ i）先證 0?A 的情形。 定理 1：（保號性）設 Axfxx ?? )(lim0， （ i） 若 )0(0 ?? AA ，則 0??? ，當 ),( 0 ??? xUx 時， 0)( ?xf )0)(( ?xf 。因為 3 1)12(3 1,112 ??????? xx xx ，要使 ?????? 3212 122xxx,只須 ???31x ，即 ?31??x 。 15 【例 3】 證明 3212 1lim 2 21 ????? xxxx 。從圖中也可見 ? 不唯一！ 【例 1】 證明 CCxx ??0lim （ C 為一常數(shù)） 證明：對 0??? ，可取任一正數(shù) ? ，當 ???? 00 xx 時， ?????? 0)( CCAxf ， 所以 CCxx ??0lim。即函 數(shù))(xfy? 的圖形夾在直線 ?? ???? AyAy , 之間（ )( 0xf 可能除外）。由定義，對此 0, ???? 。 2：定義中 00 xx?? 表示 0xx? ，這說明當 0xx? 時， )(xf 有無限與 )( 0xf 在 0x 點（是否有）的定義無關(guān)（可以無定義，即使有定義，與 )( 0xf 值也無關(guān)）。顯然 ? 越小， x 與 0x 接近就越好，此 ? 與數(shù)列極限中 的 N 所起的作用是一樣的，它也依賴于 ? 。 一、 自變量趨向有限值 0x 時函數(shù)的極限 與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值 0x 時的函數(shù)極限可理解為：當 0xx? 時，Axf ?)( （ A 為某常數(shù)），即當 0xx? 時， )(xf 與 A 無限地接近，或說 Axf ?)( 可 任意 14 小，亦即對于預先任意給定的正整數(shù) ? （不論多么?。?x 與 0x 充分接近時，可使得Axf ?)( 小于 ? 。它主要表現(xiàn)在兩個方面： 一、 自變量 x 任意接近于有限值 0x ，或講趨向（于） 0x （記 0xx? ）時，相應的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。 4 函數(shù)的極限 由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時的函數(shù)， )(nfxn ? ，因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特性情況。例如數(shù)列 1)1( ??? nnx 是有界的（ 1?nx ），但函數(shù)收斂。 證明 ：設 axnn ???lim，由定義對 ??,1? 自然數(shù) ,N 當 Nn? 時， 1??? ?axn ，所以當 Nn?時， aaaxx nn ????? 1，令 }1,{ 21 axxxM a xM N ?? ??，顯然對一切 n ，Mxn ? 。 證明：（反證法）假設 nx 收斂，由唯一性，設 axnn ???lim，按定義，對 ?? ,21? 自然數(shù) N ，當 Nn? 時， 21??? ?axn，考慮 1212111 ???????? ?? axaxxx nnnn ?，而nx ， 1?nx 總是一個“ 1”，一個“ 1? ”，所以 11 ??? nn xx ,所以矛盾， 所以 1)1( ??? nnx 發(fā)散。 注：本定理的證明方法很多，書上的證明自己看。 由極限的定義，對 0??? ，必分別 ? 自然數(shù) 21,NN ，當 1Nn ? 時，有 ???axn … (1) 當 2Nn? 時，有 ???bxn … (2)令 ? ?21 , NNMaxN ? ，當 Nn? 時，（ 1），（ 2）同時成立。 收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)： 定理 1：（唯一性）數(shù)列 nx 不能收斂于兩個不同的極限。因為 10 ??q ，所以 0ln ?q ，所以qnqn lnln1lnln1 ?? ????? 。 【例 3】 設 1?q ，證明 ???? ,1 12 ?nqqq 的極限為 0，即 0lim 1 ???? nn q。 即有 ?2an? . 所以取 ][ 2?aN? ，當 Nn? 時，因為有 ??na2 ? ???? 122n an，所以 1lim 22 ???? nann。 【例 5】證明 1lim 22 ???? nann。（另外， ? 具有任意性，那么 2,2,2 ??? 等也具有任意性，它們也可代替 ? ） 2： N 是隨 ? 的變小而變大的，是 ? 的函數(shù)，即 N 是依賴于 ? 的。 注 1： ? 是衡量 nx 與 a 的接近程度的，除要求為正以外，無任何限制。 【例 4】證明數(shù)列 ???? ,1,34,23,2 nn ?收斂于 1。 定義：若對 0??? （不論 ? 多么?。?，總 ? 自然數(shù) 0?N ，使得當 Nn? 時都有 ???axn 成立，這是就稱常數(shù) a 是數(shù)列 nx 的極限，或稱數(shù)列 nx 收斂于 a ，記為 axnn ???lim，或axn? （ ??n ）。這就充分體現(xiàn)了當 n 越來越大時， nn1? 無限接近 1 這一事實。同理，若取 100001?? ，由 10000100001111 ?????? nnnn，即?????? ?nn 1從第 10001 項 開 始 ， 以 后 的 項 ??,1 0 0 0 21 0 0 0 3,1 0 0 0 11 0 0 0 21000210001 ?? xx都滿足不等式1000011??nx ，或說，當 10000?n 時，有 100 00111 ???nn 。從圖中不難發(fā)現(xiàn) nn1? 隨著 n 的增大，無限制地接近 1，亦即 n 充分大時， nn1? 與 1 可以任意地接近，即 11??nn可以任意地小，換言之，當 n 充分大時 11??nn可以小于預先給定的無論 多么小的正數(shù) ? 。 對于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是常說的數(shù)列的極限問題。 注：在數(shù)軸上，數(shù)列的每項都相應有點對應它。,1,34,23,2。,)1(,1,1。 【例 1】 書上用圓內(nèi)接正 126 ?? n 邊形的面積來近似代替該圓的面積時，得到數(shù)列 10 ???? , 21 nAAA （多邊形的面積數(shù)列） 【例 2】長一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進行下去，那么剩下部分的長構(gòu)成一數(shù)列： ???? ,21,21,21,21 32 n ，通項為n21。在數(shù)學中，我們可用這樣的話來定義： 定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為 ??3,2,1),( ?? nnfx n ，由于全體自然數(shù)可以從小到大排成一列，因此數(shù) 列的對應值也可以排成一列： ???? nxxx , 21 ，這就是最常見的數(shù)列表現(xiàn)形式了，有時也簡記為 ??nx 或數(shù)列 nx 。 167。 本教材討論的主要都是初等函數(shù)。由 常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合后所得到的能用一個解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。 3：在函數(shù)復合中，未必都有 )(ufy? 、 )(xu ?? 的形式，一般為 )(xfy? 和 )(xgy? ，這時候就要注意哪個為外函數(shù)，哪個為內(nèi)函數(shù)，從而復合后有 )(xfy? 和 )(xgy? 之分。 注 1：并非任何兩函數(shù)都可以復合的， 例如： uy arcsin? 和 22 xu ?? 不能復合； uy? 和 21 xu ??? 也不能復合。 四、 復合函數(shù)和初等函數(shù) 設 )(ufy? ，定義域為 1D ， )(xu ?? ，定義域為 2D ，值域為 2W ，且 12 DW? ，這樣對于2Dx?? ，由 )(xu ?? 可算出函數(shù)值 12 DWu ?? ，所以 1Du? ，由 )(ufy? 又可算出其函數(shù)值 y ，因此對于 2Dx?? ，有確定的值 y 與之對應，從而得一個以 x 為自變量， y 為因變量的函數(shù)，我們稱之為以 )(ufy? 為外函數(shù)， )(xu ?? 為內(nèi)函數(shù)復合成的復合函數(shù)，記為 ))(( xfy ?? ，其中 u 為中間變量。正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個：正割 xxy c os1sec ?? 和余割 xxy sin1csc ?? ，其圖形在此不做討論了。 對數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù) xay? 的反函數(shù)，記為 axy a (log? 為常數(shù)， )1,0 ?? aa ,稱為對數(shù)函數(shù)，其定義域為 ),0( ?? ，由前面反函數(shù)的概念知： xay? 的圖形和 xy alog? 的圖形是關(guān)于 xy? 對稱的，從此，不難得 xy alog? 的圖形， xy alog? 的圖形總在 y 軸右方，且過（ 1， 0）點 （ 1） 當 1?a 時， xy alog? 單調(diào)遞增，且在（ 0， 1）為負， ),1(?? 上為正； （ 2） 當 ??a0 1 時， xy alog? 單調(diào)遞減，且在（ 0， 1）為正， ),1(?? 上為負； 特別當 a