【正文】 （比如sinx1在x=0處）3，介值定理和零點定理?！鸲瑯O限1，數(shù)列和函數(shù)極限的定義2，極限的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性；3，極限四則運算法則；4，復(fù)合函數(shù)極限運算；5，極限存在準則：（1）單調(diào)有界準則：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限（2）夾逼準則：g(x)三，無窮小與無窮大1，把極限為零的量稱為無窮小（0當然也就是最小的無窮小了），絕對值無限大的變量稱為無窮大（正無窮和負無窮）；2，無窮小的比較：看兩者之商的極限。242。242。242。242。242。f(x)dx=242。242。53238。 239。 239。 31p236。00 232。231。nn22 231。f(x)dx=af(x)(ba)會用定積分的定義求極限定積分的計算（1）換元法與不定積分相比要換積分上下限，最后不用回代（2）分部積分法公式 pp230。M(ba)ab（4）積分中值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在x206。242。f(x)163。g(x)dxaab（3）估值定理：x206。f(x)dx163。[a,b],f(x)163。f(x)dx+242。（1）無論a,b,c三者位置關(guān)系如何，242。定積分的幾何意義定積分的重要性質(zhì)242。f(x)在[a,b]有界且有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。0定積分的定義i=1定積分的結(jié)果是常數(shù)，表示的是曲邊梯形面積的代數(shù)和，與積分區(qū)間和被積表達式有關(guān)，和積分變量無關(guān)。(x0)=0,則x0可能是極值點也可能不是。(x0)=0,f162。(x0)0,x0是極小值點。(x0)0,x0是極大值點；f162。0f162。(x0)185。(x0)=0,f162。(x)變號，x0就是極值點；當xx0與xx0時，f162。極值點的疑似點：判定定理：駐點和一階不可導(dǎo)點必要條件：可導(dǎo)的極值點一定是駐點。一個區(qū)間上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值點不唯一；而一個區(qū)間上極值是 不唯一的，可以有幾個極大值和極小值。f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個最大值，x0為f(x)的一個最大值點。(a,b)，對任意x206。f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個極小值，x0為f(x)的一個極小值點。(a,b)，對x206。f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個極大值，x0為f(x)的一個極大值點。(a,b)，對x206。(x0)=0,結(jié)論是(x0,f(x0)可能是拐點也可能不 是拐點。162。162。0,則(x0,f(x0)是拐點。162。(x0)=0,f162。(x)不變號，(x0,f(x0)就不是拐點；判定定理2：若f(x)在x0處三階可導(dǎo)，且f162。(x)變號，(x0,f(x0)就是拐點；當xx0與xx0時，f162。3）拐點：凹凸區(qū)間的分界點拐點的疑似點：二階導(dǎo)函數(shù)為0的點和二階不可導(dǎo)點 判定定理1：若f(x)在x0處可導(dǎo)，在U(x0)內(nèi)二階可導(dǎo)，則當xx0與xx0時，f162。162。162。0)d、單調(diào)區(qū)間的分界點為：一階導(dǎo)函數(shù)為0的點和一階不可導(dǎo)點 要求：會利用一階導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；會利用單調(diào)性證明不等式；會利用嚴格單調(diào)性證明根的唯一性。0(f162。(a,b)，有f162。0)在(a,b)內(nèi),任何使f162。0(f162。(a,b)，有f162。x）a,b）內(nèi)f（0，那么f（x）在[a,b]上175。x）a）如果在（a,b）內(nèi)f（0，那么f（x）在[a,b]上173。165。165。x+sinx1+cosx=lim注意：lim極限不存在，此時洛必達法則不適用。,165。,0165。,165。aF162。(x)x174。)則lim=limx174。(x)f(x)f162。(x)185。(x)F162。ax174。(x0)F(b)F(a)應(yīng)用于等式的證明。(x0)f(b)f(a)。(a,b)，使得f(b)f(a)。(x)185。3）柯西定理若f(x)，F(xiàn)(x)滿足[a,b]連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且x206。(a,b)，使得f162。注意：a)羅爾定理的條件是充分的，不滿足條件結(jié)論不一定成立；b)羅爾定理的結(jié)論可理解為若f(x)滿足羅爾定理三個條件，則導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)至少有一根；強調(diào)了導(dǎo)函數(shù)根的存在性，但沒指出到底有幾個根；c)從羅爾定理可推出，若f(x)有n個根+連續(xù)+可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)至少有n1個根；注意反之不成立；d)若導(dǎo)函數(shù)沒有根，則f(x)至多一個根。(a,b)，使得f162。適用于冪指函數(shù)、無理分式函數(shù) 注意二階導(dǎo)數(shù)求微分dy=f162。(x0)Dx（一點可微）；dy=f162。0Dxx174。2）零點定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 復(fù)習(xí)重點：導(dǎo)數(shù)的定義f162。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1）最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值一定取得到。x0254。f(x0)239。253。f(x0+0)跳躍間斷點 0252。0limDy=0,limf(x)=f(x0)x174。唯一的例外是0永遠是無窮小量；，低階無窮小，同階無窮小，等價無窮?。?無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量等價無窮小量替代求極限注意：下面給出關(guān)系式是在x174。165。165。165。znn206。x3）兩個準則準則一： 若(1)yn163。0x174。2）兩個重要極限n=mmnmnlimsinxsin0=1()x174。b+b+L+b+01n1nnnn 239。bxxxn01n1n239。165。0limnn1 165。ba+a+L+amm101m1n+nnn a0x+a1x+L+am1x+am239。1第四篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提要高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱第一章 函數(shù)與極限 復(fù)習(xí)重點：求極限1）四則運算法則注意：四則運算法則適用的函數(shù)個數(shù)是有限個；四則運算法則的條件是充分條件有理分式函數(shù)求極限公式：236。否則會得到錯誤的結(jié)果：adx。b(xb)qa遇到形如242。練習(xí)：p260,2題；求積分242。,q179。239。= 1q242。(p1)a236。(a0)1,p1xp239。,dx239。1236。+165。和瑕點）算的是函數(shù)的極限。說明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計算方法是一樣的。f(x)dx（c206。f(x)dx=[F(x)]c。f(x)dx=242。f(x)dx =[F(x)]a=F(b)F(a+)；bab則c206。f(x)dx =[F(x)]a=F(b)F(a)；bab若a為瑕點，則242。165。)同時存在。F(+165。),F(165。)；165。f(x)dx=F(x)|b165。)F(165。f(x)dx=F(x)|+165。)F(a)；242。165。+165。則242。x174。)=limF(x)x174。)=limF(x)。N).(p249，例7，p253，0T1(26))形如例9這樣的積分。0Ta+nTaf(x)dx=n242。a+Taf(x)dx=242。xf(sinx)dx=0pp2242。2f(sinx)dx=242。v(x)du(x)baabb說明：無論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計算過程都是相似的。2cos2tdt00分布積分公式：242。174。x190。0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如202pp3242。3235。cossinxdx=234。cos249。f[j(t)]j162。f(t)dtabba第二還原公式：242。f[j(x)]j162。(x)dxy(x)利用上面的公式計算極限、判斷函數(shù)單調(diào)性等： 相應(yīng)例題（p242,例7，8），相應(yīng)習(xí)題（p243244:習(xí)題9，12，12，14）（重要）（2）牛頓萊布尼茨公式：函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則242。f(t)dt=f(j(x))j162。f(t)dt=f(y(x))y162。(x)242。b及其導(dǎo)數(shù)：（如p243,5題）（1）F162。xaf(t)dt,a163。x163。f(xi)Dxiabnil174。x+1x2P211頁例8 x2+2x+3補充說明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習(xí)，方能取得比較好的效果 第五章：定積分 定積分的概念和性質(zhì)定積分的定義：242。三角函數(shù)可以通過如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分xxx2tan1tan22tan2；cosx=2；tanx=2 sinx=xxx1+tan21+tan21tan2222x令tan=t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)+b或nax+bcx+d，則令t=nax+b或t=nax+bcx+d 幾個典型題目 P207頁（42）242。(2x+