【正文】 xy ?? 余切函數(shù)： ??,2,1,0c ot ????? nnxxy ? 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為 ?2 的周期函數(shù) ，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為 ?的周期函數(shù)。 9 初等函數(shù) 我們把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項，第 n 項 nx 稱為一般項或通項。如果將 nx 依次在數(shù)軸上描出點的位置，我們能否發(fā)現(xiàn)點的位置的變化趨勢呢？顯然，???????????? nn 1,21是無限接近于 0 的； ??n2是無限增大的； ? ?1)1( ?? n 的項是在 1 與 1? 兩點跳動的，不接近于某一常數(shù)；?????? ?nn 1無限接近常數(shù) 1。這個數(shù)“ 1”稱為當 ??n 時，?????? ?nn 1的極限。在解題中， N 等于多少關系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個 N ，使得當 Nn? 時，有 ???axn就行了，而不必求最小的 N 。 取?????????? qN lnln1 ? ，所以當 Nn? 時，有 ???? 01nq 成立。 定理 2. （有界性）若數(shù)列 nx 收斂，那么它一定有界，即：對于數(shù)列 nx ，若 ? 正數(shù) M ，對一切 n ，有 Mxn ? 。 二、當自變量 x 的絕對值 x 無限增大，或講趨向無窮大（記 ??x ）時，相應的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。當 ?? ???? 00 xxx ，且 0xx? 時，有 ?? ???? AxfA )( 。取 }3,1min{ ?? ? （從圖形中解釋），當 ???? 10 x 時，有 ?????? 3212 122xxx。 注： (i)中的“ ? ”，“ ? ”不能改為“ ? ”，“ ? ”。 【例 4】 1)s g n (lim,1)s g n (lim0000 ??? ???? xx xx，因為 11?? ，所以 )sgn(lim0 xx?不存在。 證明：對 0??? ，因為xxxxx 1s in0s in ???，所以要使得 ???0sinxx， 只須 17 ?? 11 ??? xx，故取 ?1?X ，所以當 Xx? 時，有 ???0sinxx，所以0sinlim ??? xxx 。 二、無窮大 若當 0xx? 或 ??x 時 ??)(xf ，就稱 )(xf 為當 0xx? 或 ??x 時的無窮大。 （證明自己看） 167。 推論 2：有限個無窮小的乘積仍為無窮小，設 0)l i m (0limlimlim 2121 ?????? nn ?????? ????。 定理 4：若 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 )()(lim xgxf ? 存在，且 )(lim)(lim)()(lim xgxfABxgxf ???。 定理 1（ ii）BAxg xf ?? )( )(lim。 【例 4】 3300 9070397lim53530 ?????????? ??? xxxxx（因為 0305 ??? ）。 定理 2（ ii） ????? 2lim22 xxx。 定理 2 ? ? ? ? ? ? 1lim0)1(lim0lim ?????????????? xxxxx xx xxx。 作為準則 I′ 的應用，下面將證明第一個重要極限： 1sinlim0 ?? xxx。 如果 M? ，使得： ),2,1( ???? nMxn ，就稱數(shù)列 nx 為有上界；若 M? ，使得：),2,1( ???? nMxn ，就稱 }{nx 有下界 。 由準則Ⅱ或Ⅱ′知 nx n)11(lim ???存在，并使用 e 來表示，即??5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 )11(lim ????? en nx 注 1：關于此極 限存在性的證明，書上有不同的方法，希望同學自己看！ 2：我們可證明： enx nnxx ???? ???? )11(lim)1(lim 1 ，具體在此不證明了，書上也有，由證明過程知： exx xxxx ???? ??????11 )1(lim)1(lim 。 【例 1】 當 0?x 時， 2x 是 x 的高階無窮小，即 )(2 xox ? ；反之 x 是 2x 的低階無窮??；2x 與 xcos1? 是同階無窮?。?x 與 xsin 是等價無窮小，即 xx sin~ 。 注 1： )(xf 在 0x 點連續(xù)，不僅要求 )(xf 在 0x 點有意義， )(lim0 xfxx?存在，而且要)()(lim 00 xfxfxx ?? ，即極限值等于函數(shù)值。 定理： )(xf 在 0x 點連續(xù) )(xf? 在 0x 點既左連續(xù)，又右連續(xù)。 【例 4】討論函數(shù)??? ?? ??? 02 02 xx xxy 在 0? 的連續(xù)性。 ????????或無理數(shù)1,001)(x qpxqxf Qx? 不連續(xù)， Qx? 連續(xù)。 10 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 一、 續(xù)函數(shù)的運算 定理 1(連續(xù)函數(shù)的四則運算法則 )：若 )(),( xgxf 均在 0x 連續(xù)，則 )()(),()( xgxfxgxf ?? 及)()(xgxf（要求 0)( 0 ?xg ）都在 0x 連續(xù)。 【例 1】 由于 mxy? （ m 為正整數(shù)）在 ),0[ ?? 上嚴格單調且連續(xù)，由定理 2，其反函數(shù) mxy 1? 在 ),0[ ?? 上也嚴格單調且連續(xù)，進而：對于有理冪函數(shù) ?xy? （ qpppq ,0, ???為正整數(shù)）在定義上是連續(xù)的。 注 2：可類似討論 ??x 時的情形。例如 xy sgn? 在 0?x 處即為跳躍間斷點。 n 種常見的間斷點類型： 【例 5】設21)( xxf ?，當 ??? )(,0 xfx ，即極限不存在，所以 0?x 為 )(xf 的間斷點。 【例 2】不難證明 xyxy c os,sin ?? 在 ),( ???? 上是連續(xù)的。 定義 1ˊ ：設 )(xfy? 在 0x 的某鄰域內有定義，若對 0,0 ???? ?? ，當 ??? 0xx 時，有??? )()( 0xfxf ，就稱 )(xf 在 0x 點連續(xù)。 【例 3】 求 xx xx 22arcsinlim 20 ?? 解：因為當 0?x 時， xx 2~2arcsin ， 所以 原式 12222lim22lim020 ?????? ?? xxx x xx。 2：本定理理論性較強，但不實用，故只須了解就行了。 2：準則Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推廣到函數(shù)情形中去，在此不一一陳述了。 【例 2】 1s inlim)s in (lims inlim0 ????? ??? ????? ttx xx x txtxx ??? ???。 證明：因為 azynnnn ?? ???? limlim，所以對 0,0 1 ???? N? ，當 1Nn? 時，有 ???ayn ，即 ?? ???? aya n ，對 2N? ，當 2Nn? 時，有 ???azn ，即 ?? ???? aza n ，又因為 nnn zxy ?? ，所以當 },{ 21 NNM axNn ?? 時，有 ?? ?????? azxya nnn ， 即有： ?? ???? axa n ，即 ???axn ，所以 axnn ???lim。 解：當 ??n 時，這是無窮多項相加，故不能用167。 21 【例 6】求 )1311(lim 31 ????? xxx。 【例 2】 nnxxnxx xxx 0]lim[lim 00 ?? ??。 推論 1： )(lim)](lim [ xfcxcf ? （ c 為常數(shù)）。 注 1：本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形。 2： “ lim ”下放沒標自變量的變化過程，這說明對 0xx? 及 ??x 均成立，但須同一過程。 3：若 ??? )(lim0 xfxx或 ???? )(lim xfx，按通常意義將， )(xf 的極限不存在。 2：無窮小不是一個數(shù)，而是一個特殊的函數(shù)（極限為 0），不要將其與非常小的數(shù)混淆，因為任一常數(shù)不可能任意地小，除非是 0 函數(shù)，由此得： 0 是唯一可作為無窮小的常數(shù)。 注 1：設 )(xf 在 ]),((),[ ba ???? 上有定義，若對 0,0 ???? X? ，當 )( XxXx ??? 時，有 ???Axf )( ，就稱 A 為 )(xf 當 )( ?????? xx 時的極限，記為Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當 ???x ）（ Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當???x ））。如分段函數(shù)及在區(qū)間的端點處等等。取 2A?? ，由定義，對此 0, ???? ，當 ),( 0 ??? xUx 時，2)( AAxf ??? ? ，即 0)(232)(220 ????????? xfAAAxfAAA 。 【例 2】 證明 )0()(lim00 ????? abaxbaxxx 證明：對 0??? ，要使得 ????????? 000 )()()( xxaxxabaxbax ，只須 axx ??? 0， 所以取 0??a??顯然當 ??? 0xx 時，有 ????? )()( 0 baxbax 。一般地， ? 越小， ? 相應地也小一些。此點希望注意！ 167?，F(xiàn)考慮： ??? 2)()( ???????????? axbxaxbxba nnnn 由于 ba, 均為常數(shù) ba?? ，所以 nx 的極限只能有一個。 注 3：有時找 N 比較困難，這時我們可把 axn? 適當?shù)刈冃?、放大（千萬不可縮小?。?，若放大后小于 ? ，那么必有 ???axn 。 證明：對 0??? ，要使得 ?????nnn 111，只須 ?1?n ，所以取 ??????? ?1N，當 Nn? 時，有 ?????nnn 111，所以 11lim ???? nnn。例如，取 1001?? ，由1001001111 ?????? nnnn ，即 ???????nn1 從第 101 項 開 始 ， 以 后 的 項??,1 0 21 0 3,1 0 11 0 2 102101 ?? xx 都滿足不等式 10011 ??nx ，或者說，當 100?n 時，有100111 ???nn。1,31,21,1 1 ???????? ??? nn 。 五、 雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù) 雙曲正弦： ),(2 ???????? ? xees h xy xx 雙曲余弦： ),(2 ???????? ? xeech xy xx 雙曲正切： ),( ???????????? xee eec h xs h xthxyxxxx 反雙曲正弦： ),()1ln ( 2 ????????? xxxa r s h xy 反雙曲余弦： ),1[)1ln ( 2 ??????? xxxa r c h xy （多值函數(shù) )1ln( 2 ???? xxy 取“ +”號為主值） 反雙曲正切： )1,1(11ln21 ?????? xxxa r th xy 由于這類以后用得較少，只要掌握上面的內容就行了，其它的此外不細講了。 【例 1】 xy 2sin? 就是 2uy? 和 xu sin? 復合而成； 2cosxy? 就是 uy cos? 和 2xu? 復合而成。 【例 1】 31xy? 的定義域為 ),( ???? ； 4321 , xyxy ?? 的定義域為 ? ???,0 ； 21??xy 的定義域為 ),0( ?? 。 2：周期函數(shù)在一每個周期 ))1(,( lkakla ??? （ a 為任意數(shù)， k 為任意常數(shù)）上，有相同的形狀。 32 xxy ?? ， xxy sincos ?? 是非奇非偶函數(shù)。 注： 此處的定義與書上有區(qū)別，希望注意！ 這樣的函數(shù)分別稱為單調函數(shù)和嚴格單調函數(shù)。 【例 5】 書上的幾個例子。 若對每一個 Dx? ，只有唯 一的一個 y 與之對應，就稱函數(shù) )(xfy? 為單值函數(shù)；若有不止一個 y 與之對應，就稱為多值函數(shù)。 當 x 取數(shù)值 Dx?0 時，依法則 f 的對應值稱為函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 時的函數(shù)值。 常量與變量：在自然科學中，我們會遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有的量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)值，這種量稱為變量。 6：不含任何元素的集稱為空集 ,記為 ? ,如： { Rxxx ??? ,012 }=? ,{ 12: ??xx }=? ,空集是任何集合的子集 ,即 A?? 。 注 1：若一集合只有有限個元素，就稱為有限集；