【導(dǎo)讀】切內(nèi)容都將從這二者開(kāi)始。通常用大寫(xiě)字母A、B、C??等來(lái)表示，組成集合的各個(gè)事物稱為該集合的元素。屬于M）；集合有時(shí)也簡(jiǎn)稱為集。注1：若一集合只有有限個(gè)元素，就稱為有限集；否則稱為無(wú)限集。點(diǎn)；為我校的學(xué)生；須有此性質(zhì)。為全體偶數(shù)集；，，，然數(shù)集，以后不特別說(shuō)明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。稱為左閉右開(kāi)、左開(kāi)右閉的區(qū)間，統(tǒng)稱為半開(kāi)區(qū)間。為該鄰域的半徑，事實(shí)上，又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)值，這種量稱為變量。力大小均為變量。等字母表示，常量a為一定。值，在數(shù)軸上可用定點(diǎn)表示，變量x代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動(dòng)點(diǎn)表示，若有不止一個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，就稱為多值函數(shù)。別聲明，只討論單值函數(shù)。，就稱)(xf在D上有上(

　　

【正文】 注 1：關(guān)于此極 限存在性的證明，書(shū)上有不同的方法，希望同學(xué)自己看！ 2：我們可證明： enx nnxx ???? ???? )11(lim)1(lim 1 ，具體在此不證明了，書(shū)上也有，由證明過(guò)程知： exx xxxx ???? ??????11 )1(lim)1(lim 。 3：指數(shù)函數(shù) xey? 及自然對(duì)數(shù) xy ln? 中的底就是這個(gè)常數(shù) e 。 25 【例 1】 22222 ])211(l i m[])211[(l i m)21(l i m exxxxxxxxx ?????? ?????? 【例 2】 ezx zzxzxx ???? ???? )1(lim)1(lim110 【例 3】 eexxxxxxxxxxxx 11)11(lim])11(lim[)11(])11[(lim)11(lim 1111 ????????????? ?????????????? 【例 4】 eennnnn nxnxnx111)2111()2111(lim)12 21(lim)12 12(lim 212121 ?????????????? ????????? ? Cauchy 極限存在準(zhǔn)則：數(shù)列 nx 收斂 ? 對(duì) N??? ,0? ，當(dāng) NmNn ?? , 時(shí)，有 ??? mn xx 。 注 1：此定理證明較繁，在此不證了。 2：本定理理論性較強(qiáng)，但不實(shí)用，故只須了解就行了。 167。 8 無(wú)窮小的比較 在167。 6 中我們討論了無(wú)窮小的和、差、積的情況，對(duì)于其商會(huì)出現(xiàn)不同的情況，例如：?????????????? ???nmnmnmbabaxxbxa mnxmnx0limlim00000000 （ 00,ba 為常數(shù)， nm, 為自然數(shù)） 可見(jiàn)對(duì)于 nm, 取不同數(shù)時(shí)， nxa0 與 mxb0 趨于 0 的速度不一樣，為此有必要對(duì)無(wú)窮小進(jìn)行比較或分類： 定義：設(shè) ? 與 ? 為 x 在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小， (i) 若 0lim ??? ，就說(shuō) ? 是比 ? 高階的無(wú)窮小，記為 )(?? o? ； (ii) 若 ????lim ，就說(shuō) ? 是比 ? 低階的無(wú)窮?。? (iii) 若 0lim ??C?? ，就說(shuō) ? 是比 ? 同階的無(wú)窮??； 26 (iv) 若 1lim ??? ，就說(shuō) ? 與 ? 是等價(jià)無(wú)窮小，記為 ??~ 。 【例 1】 當(dāng) 0?x 時(shí)， 2x 是 x 的高階無(wú)窮小，即 )(2 xox ? ；反之 x 是 2x 的低階無(wú)窮小；2x 與 xcos1? 是同階無(wú)窮??； x 與 xsin 是等價(jià)無(wú)窮小，即 xx sin~ 。 注 1：高階無(wú)窮小不具有等價(jià)代換性，即： )(),( 22 xoxxox ?? ，但 )()( xoo ? ，因?yàn)?(?o 不是一個(gè)量，而是高階無(wú)窮小的記號(hào)； 2：顯然 (iv)是 (iii)的特殊情況； 3：等價(jià)無(wú)窮小具有傳遞性：即 ?????? ~~,~ ?； 4：未必任意兩個(gè)無(wú)窮小量都可進(jìn)行比較，例如：當(dāng) 0?x 時(shí)， xx 1sin 與 2x 既非同階，又無(wú)高低階可比較，因?yàn)?01sinlim x xxx? 不存在； 5：對(duì)于無(wú)窮大量也可作類似的比較、分類； 6：用等價(jià)無(wú)窮小可以簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算，事實(shí)上，有： 定理：若 ???? ??, 均為 x 的同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，且 ???? ?? ~,~ ， 及 ?????lim ，那么 ???? ???? limlim 。 【例 2】 求 xxx 20 sincos1lim ??。 解：因?yàn)楫?dāng) 0?x 時(shí)， xx~sin 所以 21c o s1lims inc o s1lim2020 ???? ?? x xx x xx。 【例 3】 求 xx xx 22arcsinlim 20 ?? 解：因?yàn)楫?dāng) 0?x 時(shí)， xx 2~2arcsin ， 所以 原式 12222lim22lim020 ?????? ?? xxx x xx。 7：在目前，常用當(dāng) 0?x 時(shí)，等價(jià)無(wú)窮小有： 221~c o s1,~a r c t a n,~a r c s i n,~t a n,~s i n xxxxxxxxxx ?； 8：用等價(jià)無(wú)窮小代換適用于乘、除，對(duì)于加、減須謹(jǐn)慎！ 167。 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 一、 函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一，在實(shí)際問(wèn)題中普遍存在連續(xù)性問(wèn)題，從圖形上看， 27 函數(shù)的圖象連綿不斷。在數(shù)學(xué)上，我們有： 定義 1：設(shè) )( xfy ? 在 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若 )()(lim00 xfxfxx ??，就稱函數(shù) )(xfy? 在 0x 點(diǎn)處連續(xù)。 注 1： )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù)，不僅要求 )(xf 在 0x 點(diǎn)有意義， )(lim0 xfxx?存在，而且要)()(lim 00 xfxfxx ?? ，即極限值等于函數(shù)值。 2 ：若 )()0()(lim00 xfxfxfxx ??????， 就 稱 )(xf 在 0x 點(diǎn) 左 連 續(xù) 。 若)()0()(lim 00 xfxfxfxx ????? ，就稱 )(xf 在 0x 點(diǎn)右連續(xù)。 3：如果 )(xf 在區(qū)間 I 上的每一點(diǎn)處都連續(xù) ，就稱 )(xf 在 I 上連續(xù)；并稱 )(xf 為 I 上的連續(xù)函數(shù)；若 I 包含端點(diǎn)，那么 )(xf 在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。 定義 1ˊ ：設(shè) )(xfy? 在 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì) 0,0 ???? ?? ，當(dāng) ??? 0xx 時(shí)，有??? )()( 0xfxf ，就稱 )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù)。 下面再給出連續(xù)性定義的另一種形式： 先介紹增量：變量 u 由初值 1u 變到終值 2u ，終值 2u 與初值 1u 的差 12 uu? 稱為 u 的增量，記為 u? ，即 12 uuu ??? ； u? 可正、可負(fù)、也可為零，這些取決于 1u 與 2u 的大小。 我們稱 0xx? 為自 變量 x 在 0x 點(diǎn)的增量，記為 x? ，即 0xxx ??? 或 xxx ??? 0 ；00 ???? xxx 相應(yīng)函數(shù)值差， )()( 0xfxf ? 稱為函數(shù) )(xf 在 0x 點(diǎn)的增量，記為 y? ，即 00 )()( yyxfxfy ????? ，即 yxfxf ??? )()( 0 或 yyy ??? 0 ， 00)()()()( 000 ????????? yxfxxfxfxf 。 定義 1″：設(shè) )(xfy? 在 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng) 0??x 時(shí)，有 0??y ，即 0lim0 ???? yx，或 0)]()([lim000 ?????? xfxxfx，就稱 )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù)。 定理： )(xf 在 0x 點(diǎn)連續(xù) )(xf? 在 0x 點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)。 【例 1】 多項(xiàng)式函數(shù)在 ),( ???? 上是連續(xù)的；所以 )()(lim00 xfxfxx ??，有理函數(shù)在分母不 28 等于零的點(diǎn) 處是連續(xù)的，即在定義域內(nèi)是連續(xù)的。 以上由167。 【例 2】的推論 推論 2即得。 【例 2】不難證明 xyxy c os,sin ?? 在 ),( ???? 上是連續(xù)的。 【例 3】證明 xxf ?)( 在 0?x 點(diǎn)連續(xù)。 證明： 0limlim,0)(limlim000000 ????? ???????? xxxx xxxx，又 0)0( ?f ，所以由定理 ? xxf ?)( 在0?x 點(diǎn)連續(xù)； 或由前167。 習(xí)題 5知 )0(0lim0 fxx ???，所以 ? xxf ?)( 在 0?x 點(diǎn)連續(xù)。 【例 4】討論函數(shù)??? ?? ??? 02 02 xx xxy 在 0? 的連續(xù)性。 解： 220)2(limlim,220)2(limlim00000000 ??????????? ???????? xyxy xxxx ，因?yàn)?22?? ，所以該函數(shù)在 0?x 點(diǎn)不連續(xù)，又因?yàn)?2)0( ?f ，所以為右連續(xù)函數(shù)。 二、 間斷點(diǎn) 簡(jiǎn)單地說(shuō)，若 )(xf 在 0x 點(diǎn)不連續(xù)，就稱 0x 為 )(xf 的間斷點(diǎn)，或不連續(xù)點(diǎn)，為方便起見(jiàn)，在此要求 0x 的任一 鄰域均含有 )(xf 的定義域中非 0x 的點(diǎn)。間斷點(diǎn)有下列三種情況： （ 1） )(xf 在 0xx? 沒(méi)有定義； （ 2） )(lim0 xfxx?不存在； （ 3）雖然 )(lim0 xfxx?不存在，也雖然在 0x 點(diǎn)有定義，但 )()(lim00 xfxfx ??。 n 種常見(jiàn)的間斷點(diǎn)類型： 【例 5】設(shè)21)( xxf ?，當(dāng) ??? )(,0 xfx ，即極限不存在，所以 0?x 為 )(xf 的間斷點(diǎn)。因?yàn)???? 20 1limxx，所以 0?x 為無(wú)窮間斷點(diǎn)。 【例 6】 xy 1sin? 在 0?x 點(diǎn)無(wú)定義 ，且當(dāng) 0?x 時(shí)，函數(shù)值在 1? 與 1? 之間無(wú)限次地振蕩，而不超于某一定數(shù)，見(jiàn)書(shū)上圖，這種間斷點(diǎn)稱為振蕩間斷點(diǎn)。 1.??? ??? Qx Qxxf 10)( x? 均為振蕩間斷點(diǎn)。 ????????或無(wú)理數(shù)1,001)(x qpxqxf Qx? 不連續(xù)， Qx? 連續(xù)。 29 【例 7】 xxy sin? 在 0?x 點(diǎn)無(wú)定義，所以 0?x 為其間斷點(diǎn)，又 1sinlim0 ?? xxx，所以若補(bǔ)充定義 1)0( ?f ，那么函數(shù)在 0?x 點(diǎn)就連續(xù)了。故這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)。 【例 8】 [例 4]的函數(shù)在 0?x 點(diǎn)不連續(xù)，但左、右極限均存在，且有不等于 )0(f 的，這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)。例如 xy sgn? 在 0?x 處即為跳躍間斷點(diǎn)。 歸納： (1) ??? )(lim0 xfxx， 0x 為無(wú)窮間斷點(diǎn)； (2) )(lim0 xfxx?震蕩不存在， 0x 為震蕩間斷點(diǎn)； (3) )()(lim00 xfAxfxx ???， 0x 為可去間斷點(diǎn)； (4) )(lim)(lim00 00 xfxf xxxx ???? ?， 0x 為跳躍間斷點(diǎn)。 如果 )(xf 在間斷點(diǎn) 0x 處的左右極限都存在，就稱 0x 為 )(xf 的第一類間斷點(diǎn)，顯然它包含 (3)、 (4)兩種情況；否則就稱為第二類間斷點(diǎn)。 167。 10 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 一、 續(xù)函數(shù)的運(yùn)算 定理 1(連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則 )：若 )(),( xgxf 均在 0x 連續(xù)，則 )()(),()( xgxfxgxf ?? 及)()(xgxf（要求 0)( 0 ?xg ）都在 0x 連續(xù)。 定理 2（反函數(shù)的連續(xù)性）：如果 )(xfy? 在區(qū)間 xI 上單值，單增（減），且連續(xù)，那么其反函數(shù) )(yx ?? 也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間 }),({ xy IxxfyyI ??? 上單值，單增（減），且連續(xù)。 注 1： )(xy ?? 亦為 )(xfy? 的反函數(shù)，如上知： )(xy ?? 在 yI 上有上述性質(zhì)。 定理 3：設(shè) )(xu ?? 當(dāng) 0xx? 時(shí)的極限存在且等于 a ，即 axxx ?? )(lim0?，又設(shè) )(ufy? 在au? 處連續(xù)，那么，當(dāng) 0xx? 時(shí)，復(fù)合函數(shù) ))(( xfy ?? 的極限存在，且等于 )(af ， 30 即 )())((lim0 afxfxx ?? ?。 注 2：可類似討論 ??x 時(shí)的情形。 定理 4：設(shè)函數(shù) )(xu ?? 在點(diǎn) 0xx? 連續(xù)，且 00)( ux ?? ，函數(shù) )(ufy? 在 0u 點(diǎn)連續(xù)，那么，復(fù)合函數(shù) ))(( xfy ?? 在點(diǎn) 0xx? 處連續(xù)。 注 3：定理 4 說(shuō)明 lim 與 f 的次序可交換。 注 4：在定理 3中代入 )( 00 xua ??? ，即得定理 4。 【例 1】 由于 mxy? （ m 為正整數(shù)）在 ),0[ ?? 上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，由定理 2，其反函數(shù) mxy 1? 在 ),0[ ?? 上也嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，進(jìn)而：對(duì)于有理冪函數(shù) ?xy? （ qpppq ,0, ???為正整數(shù)）在定義上是連續(xù)的。 【例 2】求xxx sin2lim0 ?? 解：因?yàn)?1sinlim0 ?? xxx，及 u?2 在 1?u 點(diǎn)連續(xù)，故由定理 3，原式 112s inlim2 0 ????? ? x xx 。 二、 初等函數(shù)的連續(xù)性 我們已知道 xyxy c os,si