數(shù)學(xué)提高班之——《高等數(shù)學(xué)》(文件)
【正文】 ”型的極限方法一：洛必塔法則方法二：四則運(yùn)算法則【例24】求下列極限：⑴；⑵；⑶（不存在）題型6：“”型的極限方法一：通分，化為“”型或“”型的極限；方法二：根式有理化，化為“”型或“”型的極限；方法三：變量替換，化為“”型或“”型的極限。 （①有界；②單調(diào)增加：先證，然后）⑶設(shè)，證明存在，并求該極限。⑵設(shè)，求：⑶設(shè)在處連續(xù)，試確定【思考題17】⑴設(shè)，試討論處的連續(xù)性與可導(dǎo)性?！纠?3】極限中常數(shù)的確定：（重點(diǎn)）⑴確定正數(shù)，使。證明：存在唯一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，是比高階的無窮小。(a=2)⑵已知極限，求：。（）⑹設(shè)當(dāng)時，為的3階無窮小，求常數(shù)。（令）⑸已知在處可導(dǎo)，且，為自然數(shù)，求。【思考題19】雜題 ⑴設(shè)在的某個鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，求：及 （提示：）⑵求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型。（A=a+b）⑷試確定常數(shù)的值，使極限存在，并求該極限的值。待定常數(shù)主要通過連續(xù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分、等價(jià)等概念來體現(xiàn)。⑷求常數(shù)，使極限存在，并求此極限。題型13：利用泰勒公式求極限。題型11：夾逼定理求極限【例30】求下列極限：⑴； ⑵，（）【思考題16】求下列極限： ⑴；⑵；（考慮的范圍：）⑶記，設(shè)試證明，并求極限?！纠?9】已知，求：（只須證明：①單調(diào)增：，歸納假設(shè)當(dāng)時，則，即；②有界：）【思考題15】⑴設(shè)數(shù)列滿足 ①證明存在，并求該極限；（） ②計(jì)算?！纠?2】求下列極限：⑴當(dāng)時，求：⑵當(dāng)時，求：⑶⑷題型4：“”型的極限方法一：通過因式分解或根式有理化，消去“0”因子，再用極限運(yùn)算法則或初等函數(shù)的連續(xù)性求極限。通常借助于公式：采用“抓大頭”的方法來處理，即【例20】求下列極限：⑴； ⑵； 【思考題9】求下列極限：⑴； ⑵；⑶設(shè)，求：（）⑷設(shè)，求：（）⑸已知，求：（）⑹（2）⑺，求：（）題型2：項(xiàng)和，求當(dāng)時數(shù)列的極限。 。 。⑺設(shè)在上連續(xù)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使對任何自然數(shù)，有。⑶設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且存在，則（ ） （A）在上連續(xù)； （B）在上可能不連續(xù)，但有最大值和最小值； （C）在內(nèi)沒有最大值與最小值，但有界； （D）在內(nèi)可能無界。（選D，有例：）【例19】證明下列各題：⑴設(shè)在上連續(xù)，且，試證方程在 內(nèi)至少有一個實(shí)根。（4）零點(diǎn)定理：設(shè)在上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使。⑵設(shè)在處連續(xù)，且，則存在的某個去心鄰域，使在該鄰域內(nèi)恒有（ ）。（三）連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間連續(xù)函數(shù)的間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的分類考研基本要求：理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型．【例12】設(shè)在處連續(xù)，則 ?！纠?0】設(shè)，當(dāng)時，（ D ） （A）和是等價(jià)無窮??； （B）是比高階的無窮??；（C）是比低階的無窮小；（D）與是同階，但不等價(jià)。常見六個有界函數(shù)是： （2）無界函數(shù)與無窮大的關(guān)系：若為無窮大，則一定無界；若在某個區(qū)間上無界，則不一定是無窮大，例如：。說明：（1）常見函數(shù)的周期：的周期為； 的周期為。 （2）是判別為奇函數(shù)的有效方法。
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