高二數(shù)學(xué)橢圓的定義與標準方程(編輯修改稿)
2024-12-18 16:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＝ 1( m 0 ， n 0 且 m ≠ n ) ． ③ 找關(guān)系：依據(jù)已知條件，建立關(guān)于 a ， b ， c 或 m ，n 的方程組 ． ④ 得方程：解方程組，代入所設(shè)方程即為所求 ． 自我挑戰(zhàn) 1 根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程 ． ( 1) 坐標軸為對稱軸，并且經(jīng)過兩點 A ( 0, 2 ) 和 B (12，3 ) ； ( 2) 經(jīng)過點 (2 ，－ 3) 且與橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 有共同的焦點 ． 解： ( 1) 設(shè)所求橢圓的方程為x2m＋y2n＝ 1( m ＞ 0 ， n ＞ 0且 m ≠ n ) ． ∵ 橢圓經(jīng)過兩點 A ( 0 , 2) 、 B (12， 3 ) ， ∴??? 0m＋4n＝ 1 ，14 m＋3n＝ 1 ，解得????? m ＝ 1 ，n ＝ 4. ∴ 所求橢圓方程為 x2＋y24＝ 1. ( 2) ∵ 橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 的焦點為 (0 ， 177。 5 ) ，則可設(shè)所求橢圓方程為x2m＋y2m ＋ 5＝ 1( m ＞ 0) ． 又橢圓經(jīng)過點 (2 ，－ 3) ， 則有4m＋9m ＋ 5＝ 1. 解得 m ＝ 10 或 m ＝－ 2( 舍去 ) ． ∴ 所求橢圓的方程為x210＋y215＝ 1. 橢圓的定義與標準方程的應(yīng)用 橢圓上一點 P與橢圓的兩焦點 F F2構(gòu)成的 △ F1PF2稱為焦點三角形 ， 解關(guān)于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義 、 三角形中的正弦定理 、余弦定理等知識 ． 例 2 已知橢圓的焦點是 F1(－ 1,0)， F2(1,0)， P為橢圓上一點 ， 且 |F1F2|是 |PF1|和 |PF2|的等差中項 ． (1)求橢圓的方程； (2)若點 P在第二象限 ， 且 ∠ PF1F2＝ 120176。 ， 求△ PF1F2的面積 ． 【 思路點撥 】 求得標準方程后 ， 借助定義利用余弦定理求值 ． 【解】 ( 1) 由題設(shè)得 2| F1F2|＝ |PF1|＋ | PF2|， ∴ 2 a ＝ 4 ，又 2 c ＝ 2 ， ∴ b ＝ 3 ， ∴ 橢圓的方 程為x24＋y23＝ 1. ( 2) 由 ( 1) 知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 .| F1F2|＝ 2 c ＝ 2 ， 在 △ PF1F2中，由余弦定理，得
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