【文章內(nèi)容簡介】 =11a+11b=11(a+b)，從而證明了結(jié)論的正確。 案例：如下左圖，兩條直線相交形成 4個(gè)角，你能說明 ∠ 2=∠4 嗎？ 分析：此題在初中要根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”來證明對頂角相等。那么，在小學(xué)階段，如何根據(jù)已有知識(shí)進(jìn)行簡單的證明呢？我們已經(jīng)知道平角等于 180度，再根據(jù)等量代換等知識(shí)就可以證明。下面給出最簡單的證明： 因?yàn)?∠ 1和 ∠ ∠ 1和 ∠ 4分別組成平角， 所以 ∠ 1+∠2=180 176。 、 ∠ 1+∠4=180 176。 ，根據(jù)加減法各部分間的關(guān)系，可得 ∠ 2=180176。 ∠1 、 ∠ 4=180176。 ∠1 ，根據(jù)等量代換， 可得 ∠ 2=∠4 。 再看右上圖，在初中要證明三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，在小學(xué)階段同樣可以類似地得到證明。 五、方程和函數(shù)思想 1．方程和函數(shù)思想的概念。 方程和函數(shù)是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的重要工具，它們都可以用來描述現(xiàn)實(shí)世界的各種數(shù)量關(guān)系，而且它們之間有著密切的聯(lián)系，因此，本文將二者放在一起進(jìn)行討論。 (1)方程思想。 含有未知數(shù)的等式叫方程。判斷一個(gè)式子是不是方程，只需要同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一個(gè)是含有未知數(shù)，另一個(gè)是必須是等式。如有些小學(xué)老師經(jīng)常有疑問的判斷題： χ=0 和 χ=1是不是方程？根據(jù)方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程按照未知數(shù)的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，這些都是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中最基本的內(nèi)容。方程思想的核心是將問題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號(hào)（常用 χ、 y等字母）表示，根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對立統(tǒng)一。 (2)函數(shù)思想。 設(shè)集合Ａ、Ｂ是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系 ?，如果對于集合Ａ中的任意一個(gè)數(shù) χ，在集合Ｂ中都有唯一確定的數(shù) y和它對應(yīng)，那么就稱 y是 χ的函數(shù)，記作 y＝ ?(χ)。其中 χ叫做自變量， χ的取值范圍Ａ叫做函數(shù)的定義域， y叫做函數(shù)或因變量，與 χ相對應(yīng)的 y的值叫做函數(shù)值， y的取值范圍Ｂ叫做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的，自變量只有一個(gè)，與之對應(yīng)的函數(shù)值也是唯一的。這樣的函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也相應(yīng)發(fā)生變化，中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類函數(shù)。實(shí)際上現(xiàn)實(shí)生活中還有很多情況是一個(gè)變量會(huì)隨著幾個(gè)變量的變化而相應(yīng)地變化，這樣的函數(shù)是多元函數(shù)。雖然在中小學(xué)里不學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但實(shí)際上它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑 r和圓柱的高的關(guān)系：Ｖ＝ πr178。h。半徑和高有一對取值，體積就會(huì)相應(yīng)地有一個(gè)取值。函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)系，因變量隨著自變量的變化而變化，通過對這種變化的探究找出變量之間的對應(yīng)法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)。 2. 方程和函數(shù)的關(guān)系。 (1)方程和函數(shù)的區(qū)別。 從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過程。算術(shù)研究具體的確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系。方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系。 方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的，但是它們有本質(zhì)的區(qū)別。如二元一次不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是變量，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)，未知數(shù)往往是常量，而且一定用等式的形式呈現(xiàn)，二者缺一不可，如 2χ－ 4＝ 6。而函數(shù)至少要有兩個(gè)變量，兩個(gè)變量依據(jù)一定的法則相對應(yīng)，呈現(xiàn)的形式可以有解析式、圖象法和列表法等，如集合Ａ為大于等于 1 、小于等于 10的整數(shù)，集合Ｂ為小于等于 20的正偶數(shù)。那么兩個(gè)集合的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系可以用 y＝ 2χ表示，也可以用圖象表示，還可以用如下的表格表示。 χ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 人們運(yùn)用方程思想，一般關(guān)注的是通過設(shè)未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解，從而解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。人們運(yùn)用函數(shù)思想，一般更加關(guān)注變量之間的對應(yīng)關(guān)系，通過構(gòu)建函數(shù)模型并研究函數(shù)的一些性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。方程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)中的變量則是動(dòng)態(tài)的。方程已經(jīng)有 3000多年的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過才 300年。 bcba(2)方程和函數(shù)的聯(lián)系。 方程和函數(shù)雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是它們也有密切的聯(lián)系。如二元一次不定方程 aχ ＋ by＋ c＝ 0和一次函數(shù) y＝ kχ ＋ b之間。如果方程的解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，函數(shù)的定義域和值域都是實(shí)數(shù)。那么方程 aχ ＋ by＋ c＝ 0經(jīng)過變換可轉(zhuǎn)化為 y＝－ χ － ,在直角坐標(biāo)系 里畫出來的圖象都是一條直線。因此，可以說一個(gè)二元一次方程對應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)。如果使一次函數(shù) y＝ kχ ＋ b中的函數(shù)值等于 0，那么一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為 kχ ＋ b＝ 0，這就是一元一次方程。因此，可以說求這個(gè)一元一次方程的解，實(shí)際上就是求使函數(shù)值為 0的自變量的值，或者說求一次函數(shù)圖象與 χ 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。 一般地，就初等數(shù)學(xué)而言，如果令函數(shù)值為 0，那么這個(gè)函數(shù)就可轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知數(shù)的方程；求方程的解，就是求使函數(shù)值為 0的自變量的值，或者說求函數(shù)圖象與 χ 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。 3. 方程和函數(shù)思想的重要意義。 16世紀(jì)以前，人們主要是應(yīng)用算術(shù)和方程方法解決現(xiàn)實(shí)生活中的各種實(shí)際問題，方程與算術(shù)相比，由于未知數(shù)參與了等量關(guān)系式的構(gòu)建，更加便于人們理解問題、分析數(shù)量關(guān)系并構(gòu)建模型，因而方程在解決以常量為主的實(shí)際問題中發(fā)揮了重要作用。到了 17世紀(jì)，隨著社會(huì)的發(fā)展，傳統(tǒng)的研究常量的算術(shù)和方程已經(jīng)不能解決以探究兩個(gè)變量之間的關(guān)系為主的經(jīng)濟(jì)、科技、軍事等領(lǐng)域的重要問題，這時(shí)函數(shù)便生產(chǎn)了。函數(shù)為研究運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)量之間的依存和對應(yīng)關(guān)系和構(gòu)建模型帶來了方便，從而能夠解決比較復(fù)雜的問題。 概括地說，方程和函數(shù)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)，尤其是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系模型方面，發(fā)揮著重要的不可替代的作用。 案例 1：媽媽買了 3千克香蕉和 2千克蘋果，一共花了 16元。蘋果的價(jià)格是香蕉的 2倍多１元，蘋果和香蕉的單價(jià)各是多少？ 分析：題目涉及的是商品的數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價(jià) 數(shù)量＝總價(jià)”進(jìn)行分析，題中出現(xiàn)了兩種商品，總價(jià)也是兩種商品的總價(jià)。所以等量關(guān)系應(yīng)為“香蕉的單價(jià) 香蕉的數(shù)量＋蘋果的單價(jià) 蘋果的數(shù)量＝總價(jià)”。再根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系找出題中已知的量，總價(jià) 16元、香蕉的數(shù)量 3千克和蘋果的數(shù)量 2千克。未知的是香蕉和蘋果的單價(jià)，也就是題目中要求的量。設(shè)香蕉的單價(jià)是 χ元／千克，蘋果的單價(jià)是 y元／千克。根據(jù)題意，可列出如下方程。 3χ＋ 2y＝ 16， y＝ 2χ＋ 1。根據(jù)等量代換的原理，兩個(gè)方程可合并成一個(gè)方程， 3χ＋ 2(2χ＋ 1)＝ 16。這是在小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到含有有關(guān)系的兩個(gè)未知數(shù)的方程時(shí)能夠直接列出一個(gè)方程的依據(jù)。如和倍、差倍、雞兔同籠等問題，用方程解決也是利用了這個(gè)原理。解方程，χ＝ 2, y＝ 5。 案例 2：小明家的果園供游人采摘桃，每千克 10元。請寫出銷售桃的總價(jià) (總收入 )y元與數(shù)量 (千克數(shù) ) χ之間的關(guān)系式。如果某天的銷量是 50千克，這天的總收入是多少？如果上個(gè)月的總收入是12022元，上個(gè)月的銷量是多少千克？ 分析：此題涉及的也是商品的單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的關(guān)系，仍然要根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價(jià) 數(shù)量＝總價(jià)”進(jìn)行分析。根據(jù)題意，已知的量是單價(jià)，未知的量是總價(jià)和數(shù)量，題目已經(jīng)告訴我們分別用 y和 χ表示。因?yàn)樘业膯蝺r(jià)一定，所以它的總價(jià)與數(shù)量成正比例，可列關(guān)系式： y＝ 10χ。某天的銷量是 50千克，總收入是 500元。上個(gè)月的總收入是 12022元，銷量是 1200千克。 案例 2和案例 1相比較，都有兩個(gè)量分別用 y和 χ表示。案例 1中的 y和 χ雖然是未知的量，但是它們實(shí)際上是具體的靜止的常量，都有一個(gè)確定的值，通過解方程可以得到它們的值。案例 2的兩個(gè)量 y和 χ則是相關(guān)聯(lián)的變化的量， χ的取值可以是一定范圍內(nèi) (果園內(nèi)桃子總質(zhì)量的最大值以內(nèi) ) 的任何一個(gè)數(shù)， y隨 χ的變化而變化。只有 y和 χ中的一個(gè)量取一個(gè)具體的值時(shí)，另一個(gè)量才會(huì)相應(yīng)地取一個(gè)具體的值。如案例 2中的具體問題的解答。 97979974 9974案例 3:無限循環(huán)小數(shù) … 和 … 如何化成分?jǐn)?shù)？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 分析：根據(jù)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)比較容易進(jìn)行。由于無限小數(shù)的特點(diǎn)，不能直接用有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行。根據(jù)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)不斷重復(fù)出現(xiàn)的特點(diǎn)，循環(huán)節(jié)是幾位數(shù)字，就把這個(gè)循環(huán)小數(shù)乘 10的幾次方；它的左起第一個(gè)循環(huán)節(jié)就變成了整數(shù)部分，而循環(huán)小數(shù)部分不會(huì)改變；二者的小數(shù)部分相同，二者的差為循環(huán)節(jié)變成的整數(shù)部分。因此，可利用差倍問題的原理，列方程解決問題。如設(shè) χ ＝ … ，那么 10χ ＝ …, 求它們的差 ， 10χ － χ ＝ 7，解方程， χ ＝ ，所以 … ＝ 。同理 可得， 100χ － χ ＝ 74， χ＝ ，所以 … ＝ 。 無限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律是，把循環(huán)節(jié)作為分子，循環(huán)節(jié)有幾位數(shù)字，分母就是由幾個(gè) 9組成的幾位數(shù)。 六、數(shù)形結(jié)合思想 1. 如何理解數(shù)形結(jié)合思想。 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。數(shù)和形是客觀事物不可分離的兩個(gè)數(shù)學(xué)表象，兩者既是對立的又是統(tǒng)一的．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚曾說過： “ 數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微． ” 數(shù)與形的對立統(tǒng)一主要表現(xiàn)在數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化和互相結(jié)合上。尤其是直角坐標(biāo)系與幾何的結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)階段主要是利用各種直觀手段理解和掌握知識(shí)、解決問題 。 2. 數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。 （ 1）數(shù)的表示和運(yùn)算。 數(shù)和運(yùn)算的實(shí)物化、 圖形化和操作化，便于 人們直觀理解數(shù)和計(jì)算。 擺小棒、畫圖形等。 （２）解決問題中的形。 ①畫線段圖表示數(shù)量關(guān)系。 案例：上海版五上列方程解決問題 上海浦東中銀大廈的總高度為 258米，比上海國際飯店的 3倍還高 24米，上海國際飯店高多少米？ 上海國際飯店 浦東中銀大廈 ？米 258米 24米 設(shè)上海國際飯店的高度為 x米，易于找等量關(guān)系和理解逆向思考的數(shù)量關(guān)系。 ②解決問題的直觀策略。 ③ 利用坐標(biāo)系中的圖像直觀理解正比例關(guān)系。 （ 3）統(tǒng)計(jì)中的圖形。 ①各種統(tǒng)計(jì)圖表。 （ 4）空間與圖形中的數(shù)。 ①圖形的周長、面積 和體積公式。 ② 圖形中邊之間的關(guān)系。 ③ 圖形變換中的數(shù) 。 坐標(biāo)與變換 七、集合思想 1. 一般地，把研究的對象稱為元素；把一些元素組成的總體， 稱為集合。 2. 集合理論是數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。 如數(shù)的概念及運(yùn)算，都可以從集合的角度來定義。 自然數(shù)可以理解為一類可數(shù)等價(jià)集合的基數(shù)（元素的個(gè)數(shù)）。 加法可以理解為兩個(gè)互不相交的集合的并集。 函數(shù)就是在集合的基礎(chǔ)上定義的。 3. 集合理論的引入，便于從整體和部分及二者的關(guān)系 上研究數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)。 數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都有自己的研究領(lǐng)域，如數(shù)論在整數(shù)范圍內(nèi)研究整數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，而質(zhì)數(shù)和合數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)討論。 又如數(shù)系的不斷擴(kuò)充，從自然數(shù)到實(shí)數(shù)。 4. 集合溝通了代數(shù) (數(shù) )和幾何之間的關(guān)系。 如 y = kx + b , 既是一次函數(shù)，又表示一條直線；也就是說在平面直角坐標(biāo)系上，這條直線是由滿足 y = kx + b 的有序?qū)崝?shù)對所組成的點(diǎn)的集合。 ，也就是說一般不說兩個(gè) 集合誰大誰小。集合之間可以比較基數(shù)的大小，也就 是元素的個(gè)數(shù)的多少。如果有兩個(gè)集合 A、