高三數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法(編輯修改稿)
2024-12-18 17:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 產(chǎn)利潤逐月增加 ， 且每月增加的利潤相同 ， 但由于廠方正在改造建設(shè) ， 元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤相等 ， 隨著投入資金的逐月增加 ， 且每月增加投入的百分率相同 ，到 12月投入建設(shè)資金又恰好與 12月的生產(chǎn)利潤相同 ， 問全年總利潤 m 與 全 年 總 投 入 N 的大 小關(guān)系是（ ） N N =N 考題剖析 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 ［ 解析 ］ 每月的利潤組成一個等差數(shù)列 {an}， 且公差 d＞ 0， 每月的投資額組成一個等比數(shù)列 {bn}， 且公比 q＞ =b1， 且 a12=b12， 比較 S12與 T12的大小 .若直接求和 ， 很難比較出其大小 ， 但注意到等差數(shù)列的通項公式 an=a1＋ （ n－ 1） d是關(guān)于 n的一次函數(shù) ， 其圖象是一條直線上的一些點列 .等比數(shù)列的通項公式 bn=a1qn－ 1是關(guān)于 n的指數(shù)函數(shù) ， 其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點列 . 在同一坐標系中畫出圖象，直觀地可以看出 ai≥bi 則 S12＞ T12，即 m＞ N. 故選 A. 考題剖析 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 ［ 點評 ］ 把一個原本是求和的問題 ， 退化到各項的逐一比較大小 ， 而一次函數(shù) 、 指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個學(xué)生所熟悉的 .在對問題的化歸過程中進一步挖掘了問題的內(nèi)涵 ， 通過對問題的反思 、 再加工后 ， 使問 題直觀、形象，使解答更清新 . 考題剖析 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 考題剖析 x的方程 cos2x＋ 4asinx＋ a－ 2=0在區(qū)間 ［ 0,π］ 上有兩個不同的解，則實數(shù) a的取值范圍是 . ［ 解析 ］ cos2x＋ 4asinx＋ a－ 2＝ 1－ 2sin2x＋ 4asinx＋ a－ 2 =－ 2sin2x＋ 4asinx＋ a－ 1 令 t=sinx， t∈ ［ 0,1］ ， 則原題轉(zhuǎn)化為方程－ 2t2＋ 4at＋ a－ 1＝ 0在 ［ 0,1］ 上有兩個根 . 令 f(x)=－ 2t2＋ 4at＋ a－ 1， 由二次函數(shù)圖象可知： 解得： ?????????????14400)1(0)0(0aff5321 ?? a ［點評］ 本題涉及到多種轉(zhuǎn)化，一是三角函數(shù)的異名化同名，三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，二是方程的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題 . 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 x2＋ px4x＋ p－ 3對一切 0≤p≤4均成立，試求實數(shù) x的取值范圍 . ［ 解析 ］ ∵ x2＋ px4x＋ p－ 3 ∴ (x－ 1)p＋ x2－ 4x＋ 30 令 g(p)=(x－ 1)p＋ x2－ 4x＋ 3， 則要使它對 0≤p≤4均有 g(p)0， 只要有 ∴ x3或 x－ 1. ??? ?? 0)4( 0)0(gg ［ 點評 ］ 在有幾個變量的問題中 ， 常常有一個變元處于主要地位 ， 我們稱之為主元 ， 由于思維定勢的影響 ， 在解決這類問題時 ， 我們總是緊緊抓住主元不放 ， 這在很多情況下是正確的 .但在某些特定條件下 ， 此路往往不通 ， 這時若能變更主元 ， 轉(zhuǎn)移變元在問題中的地位 ， 就能使問題迎刃而解 .本題中 ， 若視 x為主元來處理 ， 既繁且易出錯 ， 實行主元的轉(zhuǎn)化 ， 使問題變成關(guān)于 p的一次不等式 ， 使問題實現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化 ， 解題簡單易行 . 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 考題剖析 7. 已知二次函數(shù) f（ x） =ax2＋ 2x－ 2a－ 1， 其中 x=2sinθ（ 0θ≤ ） . 若二次方程 f（ x） =0 恰有兩個不相等的實根 x1和 x2， 求實數(shù) a的取值范圍 . 6π7 ［分析］
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