第二章第二節(jié)離散型隨機(jī)變量的概率分布(編輯修改稿)
2025-06-06 21:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 k 次 概率為 : ( ) ( 1 ) ( 0 , 1 , 2 )k k n knnP k C p p k n?? ? ?按獨立事件的概率計算公式可知： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )k n kk n kp p p p p p p p ??? ? ? ? ? ? ?0.3 定 理（貝努利定理） 證明 : n 次試驗中事件 A 在 某 k 次 ( 例如前 k 次 ) 發(fā)生而其余 次不發(fā)生 的概率應(yīng)為 : nk?概率統(tǒng)計 而且它們是 相互獨立 的，故在 n 次試驗中 A 發(fā)生 k 次的概率 ( 依概率的加法定理 ) 為 : ( ) ( 1 ) 0 , 1 , 2k k knnP k C p p k n? ? ?( ) 0 ,P X k??概率 就等于二項式 的展開式中 的系數(shù)，這也是二項分布的名稱的由來 . ()nPk[ ( 1 ) ] np p x?? kx由于現(xiàn)在 只考慮 事件 A 在 n 次試驗中發(fā)生 k 次而不論 在哪 k 次發(fā)生，所以它應(yīng)有 種不同的發(fā)生方式 . knC注 顯然它滿足： ▲ 0( 1 ) ( ) 1nk k n k nnkC p p p q??? ? ? ??概率統(tǒng)計 設(shè)某炮手射擊的命中率為 ，為炸毀某個目標(biāo)， 經(jīng)預(yù)測只要命中兩發(fā)就夠炸毀 . 問 ：希望發(fā)射 5發(fā)炮彈就能炸毀目標(biāo)的可能性有多大 ? 設(shè) A : 發(fā)射 5 發(fā)炮彈就炸毀了目標(biāo) 2 2 35 (0 . 8 ) ( 1 0 . 8 )C???例 8. 解 : P （恰好中兩發(fā)） = ()P A P? （至少中兩發(fā)） P （恰好中三發(fā)） + P （恰好中四發(fā)） + P （恰好中五發(fā)） + 則： 5 5 05 (0 . 8 ) ( 1 0 . 8 )C??3 3 25 (0 . 8 ) ( 1 0 . 8 )C??445 (0 . 8 ) ( 1 0 . 8 )C??概率統(tǒng)計 (2). 二項分布 若用 X 表示 n 重貝努利概型中事件 A 發(fā)生的次數(shù)，它的分布 律為： ( ) ( 1 ) 0 , 1 , 2k k n knnP k C p p k n?? ? ?則 稱 X 服從參數(shù)為 n, p (0p1) 的 二項分布 。 ( , )X B n p～列表 : X()nPk0 1 2 n( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( )n n n nP P P P n記為 : 概率統(tǒng)計 對于固定 n 及 p，當(dāng) k 增加時 ，概率 P( X= k ) 先是隨之增加直至達(dá) 到最大值，隨后單調(diào) 減少 . n =10, p = ... n Pk 0注 特別 當(dāng) n=1時，二項分布即為 ( 01 ) 分布 ▲ 二項分布 的圖形特點： X ~ B( n , p )▲ 概率統(tǒng)計 n =13, p = Pk n . . ..0 當(dāng) (n+1) p 為整數(shù)時 概率 P( X = k ) 在 k =( n +1 ) p 和 k =( n+1) p 1 處 達(dá)到最大值 . 當(dāng) ( n+1 )p 不為整數(shù)時，概率 P( X= k ) 在 k = [ ( n+1 ) p ] 達(dá)到最大值 其中： [x] 表示不超過 x 的最大整數(shù) 概率統(tǒng)計 ( 2 )PX ? 已知 100個產(chǎn)品中有 5個次品，現(xiàn)從中 有放回 地取 3次，每次任取 1個。 因為，這是有放回地取 3 次， 依題意，每次試驗取到次品的概率為 設(shè) X ： 為所取的 3個中的次品數(shù)， 于是，所求概率為 ： 則 X ~ B (3, ) 例 9. 解 : 求 : 在所取的 3個產(chǎn)品中恰有 2個次品的概率 . 所以，這 3 次試驗的條件完全相同且獨立。 因此，它是貝努利試驗 . 0 . 0 0 7 1 2 5?223 ( 0 . 0 5) ( 0 . 9 5)C?概率統(tǒng)計 若 將例 9中的 “有放回” 改為 “無放回” ，那么 各次試驗條件就不同了，就不是貝努里概型， 此時，只能用古典概型求解。 貝努利概型與古典 概型有何區(qū)別 ？ 注 貝努里概型對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但要求 （ 1）每次試驗條件相同，各次試驗相
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