定價理論-第5章--期權定價理論(編輯修改稿)
2025-09-01 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 過程中，變量的變化僅依賴于該變量前一瞬間的狀態(tài)．當變量遵從馬爾可夫過程時，變量在相鄰時間內(nèi)變化的方差具有可加性，但標準差不具有可加性．馬爾可夫過程的重要特征是，變量的隨機變化是獨立同分布的。維納過程是馬爾可夫過程的特殊形式．如果變量服從維納過程，則該變量的期望值為0，方差為1．股票價格模型通常用維納過程表達．在物理學中，這種過程也稱為布朗運動．如果變量服從維納過程，則其增量必須滿足如下兩個基本性質(zhì)： 與之間滿足關系 ()其中為從標準正態(tài)分布中抽取的一個隨機值．性質(zhì)5．2．2 對任何兩個不同的時間間隔的值相互獨立．由性質(zhì)5．2．1，我們得出服從期望值為0，方差為，．2．2意味著變量服從馬爾可夫過程．再由性質(zhì)5．2．1，當時，的微分形式為 （）5．2．2一般維納過程變量服從一般維納過程的定義如下： （）其中為常數(shù)，是一般維納過程的預期漂移率，是波動率．式(5．2．3)由兩項組成，如果不考慮，則有 或 其中為在0時刻的值，經(jīng)過時刻后，的增加值為．如果僅考慮，則，可以看做是附加在變量軌跡上的噪聲或者波動，這些噪聲或波動是維納過程的倍。將和一并來考慮，則有經(jīng)過時間增量之后，的增量值為將式(5．2．1)代入上式，有 （）如前所述，是取自標準正態(tài)分布中的隨機抽樣值，因此服從正態(tài)分布，其均值是，方差為，標準差為。類似以上討論，我們可得出任意時間后，值的變化也服從均值是，方差為，標準差為的正態(tài)分布．5．2．3 伊藤過程和伊藤引理如果上面隨機過程中的與是x和的函數(shù)，則可得到伊藤過程 （）伊藤過程中的預期漂移率和波動率隨時間變化‘定理5．2．1(伊藤引理) 假設變量服從伊藤過程其中是維納過程．設是的二次連續(xù)可微函數(shù)，則遵從如下過程： （39。)證明: 由二元函數(shù)的泰勒展開公式有 （39。)因為 （）由此得到 （） ()將（）,()和（）代入式(39。)，得 令得 （）再將代入式（）得證畢” 由伊藤定理可知，如果服從伊藤過程，則的函數(shù)也遵從伊藤過程，不過飄逸率和波動率分別為5．2．4 不支付紅利股票價格的行為過程如果假設股票價格服從一般維納過程，則有不變的期望漂移率和波動率，這不符合實際。所以，一般假設股票價格變化的比例服從一般維納過程，即因此，股票價格可用漂移率和波動率的伊藤過程來描述，即其離散形式為 （）其離散形式為 （）如果和為常數(shù)，則稱式()為幾何布朗運動，幾何布朗運動是最廣泛的描繪股票價格行為的模型．如果服從伊藤過程，則和的函數(shù)也服從伊藤過程： ()注意，和都受得影響．我們定義，因為，則式中（）簡化為 （）因為和為常數(shù)，故式(5．2．13)也是維納過程，其漂移率是，波動率是。因此，在與時刻之間的變化服從正態(tài)分布，其期望值為，方差為，這意味著或者 （）式中表示期望值為m，方差為的正態(tài)分布． 式(5．2．14)顯示，服從正態(tài)分布．如果一個變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，則該變量稱為服從對數(shù)正態(tài)分布。167。 Black—Scholes期權定價理論 B1ackScholes偏微分方程 B1ackScholes微分方程是不支付紅利股票的衍生證券價格必須滿足的方程，它是建立在如下假設基礎上的： (1）股票價格遵循幾何布朗運動； (2)允許賣空衍生證券； (3)沒有交易典用或稅收，且所有證券都是高度可分的； (4)在衍生證券有效期內(nèi)，標的資產(chǎn)(股票)沒有紅利支付； (5)不存在無風險套利機會； (6)證券交易是連續(xù)的； (7)無風險利率r是常數(shù)且對所有到期日都相同． 根據(jù)假設(1)，有結果： （）式中是一個維納過程,為股票價格的預期收益率,為股票價格的波動率。 假設衍生證券價格依賴于標的資產(chǎn)價格，則一定是和時間的某個函數(shù)。由伊藤引理得 （）式()和()的離散形式分別為 (.) （）式中和分別是和在短時間間隔后的變化量．由于和遵循相同的維納過程，所以兩式中的應該相同．這樣適當?shù)剡x擇股票和衍生證券組合就可以消除不確定項． 為了消除，我們構建了一個包括1單位衍生證券空頭和單位標的證券多頭的組合，令代表該資產(chǎn)組合的價值，則有結果：在時間后，該資產(chǎn)組合的價值變化為 （）將和代入式(5．3．5)，得由于式(5．3．6)中不包含，所以在時間間隔后該組合的價值必定無風險，其在后的瞬時收益率一定等于無風險利率．否則，套利者就可以通過套利獲得無風險收益率，所以結果應該是 （）將式(5．3．7)代入式(5．3．6)得整理得到 （）式(5．3．8)就是著名的B1ackScho1es偏微分方程．這個方程適用于價格取決于標的資產(chǎn)價格的所有衍生證券定價． 5．3．2 邊界條件 方程(5．3．8)對應于所有標的變量為的衍生證券，該方程有很多解．為了保證它有唯一的解，我們需要給出衍生證券所滿足的邊界條件． 對于歐式看漲期權來說，關鍵的邊界條件為， ()當時，期權沒有價值，所以邊界條件為； （）當時，期權的價值變成了股票的價值，即 （）根據(jù)邊界條件式(5．3．9)，式(5．3．10)和式(5．3．11)，可以求解方程() 5．3．3 BlackScholes期權定價公式 歐式看漲期權價格滿足偏微分方程(5．3．8)，于是有 ()方程(5．3．12)類似擴散方程，但它有更多的項 為了便于求解，令方程（）變?yōu)? （）其中。此時，終止條件轉化為初始條件注意到方程(5．3．13)中僅包含一個參數(shù)．令其中和是待定的常數(shù)．代入式(5．3．13)有結果現(xiàn)在選擇和使其滿足求
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