定價(jià)理論-第5章--期權(quán)定價(jià)理論(編輯修改稿)
2024-09-01 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 過程中，變量的變化僅依賴于該變量前一瞬間的狀態(tài)．當(dāng)變量遵從馬爾可夫過程時(shí)，變量在相鄰時(shí)間內(nèi)變化的方差具有可加性，但標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性．馬爾可夫過程的重要特征是，變量的隨機(jī)變化是獨(dú)立同分布的。維納過程是馬爾可夫過程的特殊形式．如果變量服從維納過程，則該變量的期望值為0，方差為1．股票價(jià)格模型通常用維納過程表達(dá)．在物理學(xué)中，這種過程也稱為布朗運(yùn)動．如果變量服從維納過程，則其增量必須滿足如下兩個基本性質(zhì)： 與之間滿足關(guān)系 ()其中為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機(jī)值．性質(zhì)5．2．2 對任何兩個不同的時(shí)間間隔的值相互獨(dú)立．由性質(zhì)5．2．1，我們得出服從期望值為0，方差為，．2．2意味著變量服從馬爾可夫過程．再由性質(zhì)5．2．1，當(dāng)時(shí)，的微分形式為 （）5．2．2一般維納過程變量服從一般維納過程的定義如下： （）其中為常數(shù)，是一般維納過程的預(yù)期漂移率，是波動率．式(5．2．3)由兩項(xiàng)組成，如果不考慮，則有 或 其中為在0時(shí)刻的值，經(jīng)過時(shí)刻后，的增加值為．如果僅考慮，則，可以看做是附加在變量軌跡上的噪聲或者波動，這些噪聲或波動是維納過程的倍。將和一并來考慮，則有經(jīng)過時(shí)間增量之后，的增量值為將式(5．2．1)代入上式，有 （）如前所述，是取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中的隨機(jī)抽樣值，因此服從正態(tài)分布，其均值是，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。類似以上討論，我們可得出任意時(shí)間后，值的變化也服從均值是，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布．5．2．3 伊藤過程和伊藤引理如果上面隨機(jī)過程中的與是x和的函數(shù)，則可得到伊藤過程 （）伊藤過程中的預(yù)期漂移率和波動率隨時(shí)間變化‘定理5．2．1(伊藤引理) 假設(shè)變量服從伊藤過程其中是維納過程．設(shè)是的二次連續(xù)可微函數(shù)，則遵從如下過程： （39。)證明: 由二元函數(shù)的泰勒展開公式有 （39。)因?yàn)? （）由此得到 （） ()將（）,()和（）代入式(39。)，得 令得 （）再將代入式（）得證畢” 由伊藤定理可知，如果服從伊藤過程，則的函數(shù)也遵從伊藤過程，不過飄逸率和波動率分別為5．2．4 不支付紅利股票價(jià)格的行為過程如果假設(shè)股票價(jià)格服從一般維納過程，則有不變的期望漂移率和波動率，這不符合實(shí)際。所以，一般假設(shè)股票價(jià)格變化的比例服從一般維納過程，即因此，股票價(jià)格可用漂移率和波動率的伊藤過程來描述，即其離散形式為 （）其離散形式為 （）如果和為常數(shù)，則稱式()為幾何布朗運(yùn)動，幾何布朗運(yùn)動是最廣泛的描繪股票價(jià)格行為的模型．如果服從伊藤過程，則和的函數(shù)也服從伊藤過程： ()注意，和都受得影響．我們定義，因?yàn)?，則式中（）簡化為 （）因?yàn)楹蜑槌?shù)，故式(5．2．13)也是維納過程，其漂移率是，波動率是。因此，在與時(shí)刻之間的變化服從正態(tài)分布，其期望值為，方差為，這意味著或者 （）式中表示期望值為m，方差為的正態(tài)分布． 式(5．2．14)顯示，服從正態(tài)分布．如果一個變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，則該變量稱為服從對數(shù)正態(tài)分布。167。 Black—Scholes期權(quán)定價(jià)理論 B1ackScholes偏微分方程 B1ackScholes微分方程是不支付紅利股票的衍生證券價(jià)格必須滿足的方程，它是建立在如下假設(shè)基礎(chǔ)上的： (1）股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動； (2)允許賣空衍生證券； (3)沒有交易典用或稅收，且所有證券都是高度可分的； (4)在衍生證券有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)(股票)沒有紅利支付； (5)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會； (6)證券交易是連續(xù)的； (7)無風(fēng)險(xiǎn)利率r是常數(shù)且對所有到期日都相同． 根據(jù)假設(shè)(1)，有結(jié)果： （）式中是一個維納過程,為股票價(jià)格的預(yù)期收益率,為股票價(jià)格的波動率。 假設(shè)衍生證券價(jià)格依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，則一定是和時(shí)間的某個函數(shù)。由伊藤引理得 （）式()和()的離散形式分別為 (.) （）式中和分別是和在短時(shí)間間隔后的變化量．由于和遵循相同的維納過程，所以兩式中的應(yīng)該相同．這樣適當(dāng)?shù)剡x擇股票和衍生證券組合就可以消除不確定項(xiàng)． 為了消除，我們構(gòu)建了一個包括1單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合，令代表該資產(chǎn)組合的價(jià)值，則有結(jié)果：在時(shí)間后，該資產(chǎn)組合的價(jià)值變化為 （）將和代入式(5．3．5)，得由于式(5．3．6)中不包含，所以在時(shí)間間隔后該組合的價(jià)值必定無風(fēng)險(xiǎn)，其在后的瞬時(shí)收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)利率．否則，套利者就可以通過套利獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益率，所以結(jié)果應(yīng)該是 （）將式(5．3．7)代入式(5．3．6)得整理得到 （）式(5．3．8)就是著名的B1ackScho1es偏微分方程．這個方程適用于價(jià)格取決于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的所有衍生證券定價(jià)． 5．3．2 邊界條件 方程(5．3．8)對應(yīng)于所有標(biāo)的變量為的衍生證券，該方程有很多解．為了保證它有唯一的解，我們需要給出衍生證券所滿足的邊界條件． 對于歐式看漲期權(quán)來說，關(guān)鍵的邊界條件為， ()當(dāng)時(shí)，期權(quán)沒有價(jià)值，所以邊界條件為； （）當(dāng)時(shí)，期權(quán)的價(jià)值變成了股票的價(jià)值，即 （）根據(jù)邊界條件式(5．3．9)，式(5．3．10)和式(5．3．11)，可以求解方程() 5．3．3 BlackScholes期權(quán)定價(jià)公式 歐式看漲期權(quán)價(jià)格滿足偏微分方程(5．3．8)，于是有 ()方程(5．3．12)類似擴(kuò)散方程，但它有更多的項(xiàng) 為了便于求解，令方程（）變?yōu)? （）其中。此時(shí)，終止條件轉(zhuǎn)化為初始條件注意到方程(5．3．13)中僅包含一個參數(shù)．令其中和是待定的常數(shù)．代入式(5．3．13)有結(jié)果現(xiàn)在選擇和使其滿足求
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