專題：二次函數背景下的圖形變換問題(編輯修改稿)
2025-09-01 02:35 本頁面
【文章內容簡介】 沿對稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，那么拋物線向上最多平移多少個單位長度，向下最多平移多少個單位長度．【解答】解：（1）根據題意可設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4）．∵點C（0，﹣8）在拋物線y=a（x+2）（x﹣4）上，∴﹣8a=﹣8．∴a=1．∴y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9．∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8，頂點D的坐標為（1，﹣9）．（2）如圖，設直線CD的解析式為y=kx+b．∴解得：．∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．當y=0時，﹣x﹣8=0，則有x=﹣8．∴點E的坐標為（﹣8，0）．設點P的坐標為（m，n），則PM=（m2﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m2﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．∵PM=EF，∴m2﹣m=（m+8）．整理得：5m2﹣6m﹣8=0．∴（5m+4）（m﹣2）=0解得：m1=﹣，m2=2．∵點P在對稱軸x=1的右邊，∴m=2．此時，n=22﹣22﹣8=﹣8．∴點P的坐標為（2，﹣8）．（3）當m=2時，y=﹣2﹣8=﹣10．∴點M的坐標為（2，﹣10）．設平移后的拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8+c，①若拋物線y=x2﹣2x﹣8+c與直線y=﹣x﹣8相切，則方程x2﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x2﹣x+c=0有兩個相等的實數根．∴（﹣1）2﹣41c=0．∴c=．②若拋物線y=x2﹣2x﹣8+c經過點M，則有22﹣22﹣8+c=﹣10．∴c=﹣2．③若拋物線y=x2﹣2x﹣8+c經過點E，則有（﹣8）2﹣2（﹣8）﹣8+c=0．∴c=﹣72．綜上所述：要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，拋物線向上最多平移個單位長度，向下最多平移72個單位長度．【點評】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式、用待定系數法求一次函數的解析式、解一元二次方程、根的判別式、拋物線與直線的交點問題等知識，而把拋物線與直線相切的問題轉化為一元二次方程有兩個相等的實數根的問題是解決第三小題的關鍵，有一定的綜合性．例已知關于x的一元二次方程x2+2x+=0有兩個不相等的實數根，k為正整數．（1）求k的值；（2）當此方程有一根為零時，直線y=x+2與關于x的二次函數y=x2+2x+的圖象交于A、B兩點，若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次函數的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標；（3）將（2）中的二次函數圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個“W”形狀的新圖象，若直線y=x+b與該新圖象恰好有三個公共點，求b的值．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．∴．∴k﹣1＜2．∴k＜3．∵k為正整數，∴k為1，2．（2）把x=0代入方程得k=1，此時二次函數為y=x2+2x，此時直線y=x+2與二次函數y=x2+2x的交點為A（﹣2，0），B（1，3）由題意可設M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，則N（m，m2+2m），MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣．∴當m=﹣時，MN的長度最大值為．此時點M的坐標為．（3）當y=x+b過點A時，直線與新圖象有3個公共點（如圖2所示），把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1，
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