專題：二次函數(shù)背景下的圖形變換問題(編輯修改稿)
2025-09-01 02:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 沿對稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，那么拋物線向上最多平移多少個單位長度，向下最多平移多少個單位長度．【解答】解：（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4）．∵點C（0，﹣8）在拋物線y=a（x+2）（x﹣4）上，∴﹣8a=﹣8．∴a=1．∴y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9．∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8，頂點D的坐標(biāo)為（1，﹣9）．（2）如圖，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．∴解得：．∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．當(dāng)y=0時，﹣x﹣8=0，則有x=﹣8．∴點E的坐標(biāo)為（﹣8，0）．設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），則PM=（m2﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m2﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．∵PM=EF，∴m2﹣m=（m+8）．整理得：5m2﹣6m﹣8=0．∴（5m+4）（m﹣2）=0解得：m1=﹣，m2=2．∵點P在對稱軸x=1的右邊，∴m=2．此時，n=22﹣22﹣8=﹣8．∴點P的坐標(biāo)為（2，﹣8）．（3）當(dāng)m=2時，y=﹣2﹣8=﹣10．∴點M的坐標(biāo)為（2，﹣10）．設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8+c，①若拋物線y=x2﹣2x﹣8+c與直線y=﹣x﹣8相切，則方程x2﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x2﹣x+c=0有兩個相等的實數(shù)根．∴（﹣1）2﹣41c=0．∴c=．②若拋物線y=x2﹣2x﹣8+c經(jīng)過點M，則有22﹣22﹣8+c=﹣10．∴c=﹣2．③若拋物線y=x2﹣2x﹣8+c經(jīng)過點E，則有（﹣8）2﹣2（﹣8）﹣8+c=0．∴c=﹣72．綜上所述：要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，拋物線向上最多平移個單位長度，向下最多平移72個單位長度．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、解一元二次方程、根的判別式、拋物線與直線的交點問題等知識，而把拋物線與直線相切的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根的問題是解決第三小題的關(guān)鍵，有一定的綜合性．例已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+=0有兩個不相等的實數(shù)根，k為正整數(shù)．（1）求k的值；（2）當(dāng)此方程有一根為零時，直線y=x+2與關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+的圖象交于A、B兩點，若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標(biāo)；（3）將（2）中的二次函數(shù)圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個“W”形狀的新圖象，若直線y=x+b與該新圖象恰好有三個公共點，求b的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．∴．∴k﹣1＜2．∴k＜3．∵k為正整數(shù)，∴k為1，2．（2）把x=0代入方程得k=1，此時二次函數(shù)為y=x2+2x，此時直線y=x+2與二次函數(shù)y=x2+2x的交點為A（﹣2，0），B（1，3）由題意可設(shè)M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，則N（m，m2+2m），MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣．∴當(dāng)m=﹣時，MN的長度最大值為．此時點M的坐標(biāo)為．（3）當(dāng)y=x+b過點A時，直線與新圖象有3個公共點（如圖2所示），把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1，
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