第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(編輯修改稿)
2025-08-28 13:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ????????????????????????? ? ???????????= 例 設(shè)隨機(jī)變量 X~E (1)， 求 2( ).XEe?解 X的概率密度為 , 0() 0 , 0 xexpxx?? ?? ???22( ) ( )XxE e e p x dx??????? ? 30 xe d x?? ?? ?3013xe???????????13?1( ) ,[ ( ) ]( ) ( ) ,kkkg x pE E gg x f x d x?????????????? ??????離散型連續(xù)型1,( ) ,kkkxpEx f x d x???????????? ??????離散型連續(xù)型?求隨機(jī)變量 的期望[ E g ( ) ]??求隨機(jī)變量 函數(shù)的期望小結(jié) 三、 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 性質(zhì) 1 若 C是常數(shù) ,則 E(C)=C. 性質(zhì) 2 若 C是常數(shù) ,則 E(C )=CE( ). 3 ( ) .E E E? ? ? ?? ? ?性質(zhì)? ?分布 期望 ? ?~X U a b,EX2ab?? ?~,X B n pnp? ?~XP ? ? ?~XE ? ? ?2~,XN ??? 1??? ?? ?1 2 3 12 3 1 2 3~ 0 61~ ~ 3 , 2 3 , .2X X X X UX E X P Y X X X E Y??? ? ?????例 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 ， ， 相 互 獨(dú) 立 ， 其 中 ， ，, 記 求? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 2 3= 2 3 2 3E Y E X X X E X E X E X? ? ? ?? ?? ?1 1 2 2331~ 0 6 = 3 ~ = 22~ 3 , = 3.X U E X X E E XX P E X??????解 ， ， ； , ；3 2 2 3 3 8? ? ? ? ?例 應(yīng)用數(shù)學(xué)期望提高工效 醫(yī)院常用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。假設(shè)共有 10個(gè)人驗(yàn)血。有如下兩種方案： 方案一 ：每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，要化驗(yàn) 10次； 方案二 ：把這 10個(gè)人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則 10個(gè)人只需化驗(yàn) 1次；若結(jié)果為陽性，則需對(duì) 10個(gè)人再逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn) 11次。 假定人群中這種病的患病率 p為 10%， 且每人患?。?血液化驗(yàn)為陽性 ）與否是相互獨(dú)立的。 試問：哪種方案工作效率更高？ 解：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量 X 結(jié)論： 分組化驗(yàn)法的平均化驗(yàn)次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù) ,提高了工效 . 1 0 1 0( ) 0. 9 1 ( 1 0. 9 ) 11 7. 51 3 10EX ? ? ? ? ? ? ?方案一： X=10 方案二： X的分布律為： 1 0 1 01 1 1( 1 0 . 1 ) 1 0 . 9Xp ??進(jìn)一步思考 （ 1）當(dāng)人數(shù)為 10時(shí)，方案一有沒有可能優(yōu)于方案二，此時(shí)對(duì)患病率 p有什么要求？ （ 2）當(dāng)患病率 p=，要使方案二優(yōu)于方案一，對(duì)驗(yàn)血人數(shù)有什么要求？ 概率 p對(duì)是否分組的影響 若 p=，則 當(dāng) p， E(X)10 ( ) 1 ( 1 ) 11 10nnEX ? ? ? ? ? ?1 0 1 0( ) 0 .8 1 ( 1 0 .8 ) 1 1 9 .9 2 6 2EX ? ? ? ? ? ? 概率 p對(duì)每組人數(shù) n的影響 2 1 .8 6n ?當(dāng) p=，可得出 n，才能保證 EX10. 當(dāng) p=，為
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