【文章內容簡介】 上擺對其質心處轉動慣量 兩軸之間距離 下擺質心至旋轉軸距離 上擺質心至旋轉軸距離 小車的磨擦系數(shù) 下擺轉軸處的摩擦阻力矩系數(shù) 上擺轉軸處的摩擦阻力矩系數(shù) g 重力加速度 Km 力矩電機機電常數(shù) Um 驅動力矩電機電壓 Kp 功率放大器電壓增益 10VRc 功率放大器輸出電壓 Ra 力矩電機電樞電阻 D 皮帶輪直徑 u 直流放大器的輸入電壓x 小車的位移 上擺和下擺各自的角位移數(shù)學模型的推倒對倒立擺系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機、小車、上、下擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對象，對象的輸入是功率放大器的輸入信號u，輸出是小車的位移r、下擺相對小車的角位移、上、下擺的相對角位移。一般實際系統(tǒng)是很復雜的，完全準確地描述它在數(shù)學上幾乎是不可能的。為了解決實際系統(tǒng)中的控制問題，必須忽略系統(tǒng)中的一些次要因素，作出必要的簡化，從而得到系統(tǒng)的數(shù)學模型，在對系統(tǒng)性能提出更高的要求時，再考慮其中一些次要因素的作用。為了簡化倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，現(xiàn)作如下假設:系統(tǒng)各部分的摩擦力（力矩）與相對速度（角速度）成正比；皮帶輪與傳動皮帶之間無相對滑動，傳動皮帶無伸長現(xiàn)象；電機的電感忽略不計，下車的驅動力與支流放大器的輸入電壓成正比，并且沒有滯后；整個對象除皮帶外視為剛體；不考慮放大器、功放的飽和現(xiàn)象及各種非線性因素。在推倒過程中所用符號的定義如上，根據(jù)前面的假設，二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型可由拉格朗日運動方程式得出。整個系統(tǒng)的動能為 （31）總勢能為 （32）總損失能為 （33）由拉格朗日運動方程得 （34，35，36）由于倒立擺的數(shù)學模型的詳細推導過程不是我們研究重點，況且很多資料都有介紹，所以將（31）式、（32）式及（33）式代入（34）式、（35）式及（36）式中去，化簡并整理得 則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，其中，F(xiàn),M,N均為33矩陣。選取平衡位置為，此時近似有： 可得近似化線性方程為 定義狀態(tài)向量x為 可得狀態(tài)方程和量測方程如式（37），根據(jù)倒立擺參數(shù)可以計算出系統(tǒng)的矩陣為 控制對象的基本分析狀態(tài)反饋矩陣由二階倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程式 (37) 其中 可求出系統(tǒng)的開環(huán)極點為： The poles of open loop system is + j (.000000000) + j (.000000000) + j (.000000000) + j (.000000000) + j (.000000000) + j (.000000000) The system is unstable.由于二階倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)極點有兩個在復平面平面的右半部分，因此開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，經過對系統(tǒng)的能控能觀分析可知道，系統(tǒng)是完全能控能觀的。因此我們可以對二階倒立擺系統(tǒng)進行二次最優(yōu)調節(jié)器設計，使其閉環(huán)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。調節(jié)器的設計線性二次型最優(yōu)控制是使用最廣的一種現(xiàn)代控制技術，它廣泛適用MIMO系統(tǒng)，可考慮控制輸入的幅值和狀態(tài)變量的調節(jié)時間之間的綜合平衡。若權矩陣選擇適當，考慮無限時間范圍內的優(yōu)化，二次型最優(yōu)的一個主要特點就是它設計的閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定裕度。線性二次型調節(jié)器(LQR)：該問題也叫線性二次型最優(yōu)控制問題。對給定狀態(tài)空間描述的系統(tǒng)，求解狀態(tài)反饋控制器，使得一個積分二次型性能指標達到極小。在性能指標和系統(tǒng)動態(tài)滿足一定假設條件下，這種閉環(huán)解有足夠的穩(wěn)定裕量。標準的LQR問題考慮如下系統(tǒng) 其目的是，對給定和R0，求解最優(yōu)控制率，使得如下代價函數(shù)極小 LQR問題的解是一個全狀態(tài)反饋控制器。它可以通過適當選取權矩陣Q和R，在控制信號能量和輸出性能之間進行調整。線性二次最優(yōu)控制系統(tǒng)是線性的，性能泛函是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這樣的最優(yōu)控制問題稱為線性二次型最優(yōu)控制問題。簡稱線性二次型。線性二次型問題的控制規(guī)律是狀態(tài)變量的線性函數(shù)，因而可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制理論的最重要成果之一，在工程上應用具有重要意義。狀態(tài)調節(jié)器（LQR）二次型性能泛函的一般形式如下：式中： Q : nn 維半正定的狀態(tài)加權陣 R : mr維正定的狀態(tài)加權陣 S : nn 維半正定終端加權陣在工程中，Q，R常數(shù)對稱而且為對角型。調節(jié)器，狀態(tài)調節(jié)器，輸出調節(jié)器使 Jmin 的實質在于用不大的控制來保持較小的誤差，達到能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。有限時間狀態(tài)調節(jié)器調節(jié)器的任務是：當系統(tǒng)狀態(tài)偏離了平衡狀態(tài)時，能在消耗不太多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量盡量接近平衡狀態(tài)。這類問題通常把初始狀態(tài)向量作為擾動，而把零狀態(tài)作為平衡狀態(tài)。因此調節(jié)器問題就成為尋求最優(yōu)控制規(guī)律。在有限時間[]內，使系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉移到狀態(tài)空間原點，并使性能泛函取極值。設線性定常系統(tǒng) y=cxx ,u ,y 為 6，1，3維向量性能泛函u無具體限制，尋求最優(yōu)控制，使Jmin P滿足 證明：若為狀態(tài)方程的解時=考慮到Riccati 方程+P+PA=PB P（）=s有 0=將上式乘以加到性能指標，得J==上式中，第二項為一個范數(shù)定為正數(shù)，若想使上式最小，只需要第二項為零。[得證]無限時間狀態(tài)調節(jié)器上述討論的狀態(tài)調節(jié)器，雖然最優(yōu)反饋是線性的，然而由于控制時間有限，系統(tǒng)為時變的，即使狀態(tài)方程和性能泛函都是定常的。這加大了系統(tǒng)結構的復雜性，關鍵問題是因為P（t）是時變的，可以證明，當時，即所謂無限時間調節(jié)器問題，P（t）將為某一常陣。最優(yōu)反饋系統(tǒng)變?yōu)槎ǔＯ到y(tǒng)。線性定常系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控，性能泛函J=u不受約束，Q，R分別為半正定，正定對稱常陣。則最優(yōu)控制存在且唯一式中nn維正定對稱常陣，滿足Riccati矩陣代數(shù)方程最優(yōu)軌線為閉環(huán)狀態(tài)方程（齊次）的解性能泛函的最小值為式中一般取=0討論：要求系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)完全能控，因時，性能指標可能。在性能泛函中，t,s=0,終端項無意義，狀態(tài)狀態(tài)空間原點。最優(yōu)控制是全狀態(tài)線性反饋，結構圖與前述相同。構成線性定常閉環(huán)系統(tǒng)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（A）特征值具有負實部。證明：取李雅普諾夫函數(shù)v(x)=0====0Q半正定，可描述為（A，B，H）能控，能觀測。對二階倒立擺實現(xiàn)控制器時，經過大量仿真和實驗，最后選取Q、R為如下各式 Matrix Q(6,6) 1 0 0 0 0 0 0 64 0 0 0 0 0 0 256 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matrix R(1,1) 可得狀態(tài)反饋矩陣F為： The feedback matrix F(1,6) is: 則得二階倒立擺最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)為： (38)根據(jù)矩陣A、B、F可計算出閉環(huán)系統(tǒng)的極點為： The poles of close loop system is + j () + j () + j () + j () + j () + j ()因此經過二次最優(yōu)調節(jié)器設計，二級倒立擺的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。本章小結本章介紹了二級倒立擺的結構示圖，并系統(tǒng)的分析了二級倒立擺的工作原理，通過給定的參數(shù)推出了二級倒立擺的數(shù)學模型，由數(shù)學模型求出了系統(tǒng)的狀態(tài)方程，并求出了閉環(huán)系統(tǒng)的極點，通過對系統(tǒng)進行調節(jié)器的設計使系統(tǒng)的極點達到漸近穩(wěn)定。二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)字仿真引言仿真就是用模型（數(shù)學模型或物理模型）代替實際系統(tǒng)進行試驗或研究。它可分為物理仿真和數(shù)學仿真，即用模擬計算機仿真和數(shù)字計算機仿真。仿真為控制系統(tǒng)的分析、研究和設計提供了快速而又經濟的手段。本章首先根據(jù)二級倒立擺的物理結構推倒出其數(shù)學模型，然后分別應用數(shù)字控制系統(tǒng)的數(shù)字再設計方法和考慮閉環(huán)系統(tǒng)矩陣攝動滿足給定條件時對其進行了數(shù)字仿真。仿真是通過LCSADP（線性多變量控制系統(tǒng)分析與設計軟件包）來完成。下面我們首先簡要地推出二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。應用數(shù)字再設計方法對控制對象的離散仿真設采樣時間為T，求解閉環(huán)系統(tǒng)（38）式可得 (41)將開環(huán)系統(tǒng)（37）式離散化得 (42)其中 取離散控制規(guī)律 (43)得閉環(huán)離散系統(tǒng) (44)下面我們將討論隨著采樣時間的增大，取對（41）式進行仿真，對相同采樣周期情況應用數(shù)字再設計方法分別取F（T）為 1. 2. 3. 使 對（44）式進行仿真，并將仿真結果同對（41）式的仿真結果進行比較。并給出了相應情況狀態(tài)xxx3的離散仿真曲線。 設初始狀態(tài)為狀態(tài)反饋矩陣F取上節(jié)線性二次最優(yōu)調節(jié)器設計的結果。當T= （1）.取，得閉環(huán)離散系統(tǒng)的極點為： The poles of close loop system is + j () + j () + j () + j () + j () + j () 狀態(tài)xxx3的離散仿真曲線如圖41（2）.取 ，閉環(huán)離散系統(tǒng)的極點為：The poles of close loop system is + j () + j () + j () + j () + j () + j ()狀態(tài)xxx3的離散仿真曲線如圖42(3).取，閉環(huán)離散系統(tǒng)的極點為：The poles of close loop system is + j () + j () + j () + j () + j () + j ()圖41圖42圖43圖44狀態(tài)xxx3的離散仿真曲線如圖43(4).取，閉環(huán)系統(tǒng)的極點為： The poles of close loop system is + j () + j () + j () + j () + j () + j ()狀態(tài)xxx3的離散仿真曲線如圖44當T=，由圖41至44狀態(tài)xxx3的仿真曲線可以看出：在分別取,構成閉環(huán)離散系統(tǒng)時仿真曲線基本一致。相應情況的閉環(huán)極點也基本相同，而取=時，從系統(tǒng)的閉環(huán)極點看，用 代替 構成閉環(huán)系統(tǒng)，則精度相當好。= (1).取 ，閉環(huán)離散系統(tǒng)的極點為： The poles of close loop system is + j () + j () + j () + j () + j () + j () 狀態(tài)xxx3的離散仿真曲線如圖45(2).取，閉環(huán)離散系統(tǒng)的極點為：The poles of close loop system is + j () + j ()圖45圖46圖47圖48 + j