【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 下面 N和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 分析小車水平方向所受的合力，可得到方程為： NxbFxM ??? ??? (21) 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： ? ??s in22 lxdtdmN ?? （ 22） 即： ???? s inc os 2????? mlmlxmN ??? （ 23） 把這個(gè) 等式代入（ 1）式中，得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： ? ? FmlmlxbxmM ????? ???? s inc o s 2???? （ 24） 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直方向的合力進(jìn)行分析，得到下面的方程： ? ??c o s22 ldtdmmgP ?? （ 25）???? c o ss i n 2?? mlmlmgP ???? （ 26） 力矩平衡方程如下： ?? ??INlPl ??? c oss in （ 27） 方程中力矩的方向，由于 ??? ?? ， ???? s i ns i n,c o sc o s ???? ，故等式前面有負(fù)號(hào)。 合并這兩個(gè)方程，約去 P和 N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：? ? ??? coss i n2 xmlm g lmlI ???? ???? （ 28） 假設(shè) ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 1??? ，則可進(jìn)行近似處理：西南石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 0,s i n,1c o s 2 ??????????? dtd ???? 用 u 代表被控對(duì)象的輸入力 F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：? ?? ?????? ???? ??? umlxbxmM xmlm glmlI ??? ????? ????2 （ 29） 對(duì)方程（ 29）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到： ? ?? ?????? ???? ??? )()()()( )()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm g lssmlI??? （ 210） （推到時(shí)假設(shè)初始條件為 0）則， 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)為： m g lsmlI m lssX s ??? 222)()( )(? （ 211） 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： ? ? m glsmlI mlsA s ??? 22)( )(? （ 212） 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： 224 3 22 2 2()( ) ( )()( ) ( )ml ss qb I m l M m m g l b m g lFs s s s sq q qq M m I m l m l? ???? ? ???? ? ? ??? （ 213） 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程： )()()( )()()( tDutCxty tButAxtx ?? ??? （ 214） 根據(jù)公式（ 29）對(duì) x? ,?? 解代數(shù)方程，得到解如下 整理后的以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為： (215) 一級(jí)倒立擺快速起擺控制算法的 研究與設(shè)計(jì) 11 2 2 2 22 2 22 2 20 1 0 0 0()00( ) ( ) ( )0 0 0 1 0()00( ) ( ) ( )xxI ml b m gl I mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm lumlb mgl M m mlI M m Mm l I M m Mm l I M m Mm l??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? （ 216） 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的實(shí)際模型 設(shè)計(jì)中我們使用深圳固高科技的產(chǎn)品，其型號(hào)為 GLIP2021 根據(jù) GLIP2021 的產(chǎn)品說明，可知實(shí)際模型的參數(shù)如下 ： M 小車的質(zhì)量 m 擺桿的質(zhì)量 b 小車的摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿的慣量 *m*m 將數(shù)據(jù)代入 節(jié)中的方程 可得倒立擺系統(tǒng)中，擺桿角度和小車加速度的傳遞函數(shù)如下： )( )( 2 ?? ssA s? 以小車加速度為輸入的系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下： uxxxyuxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000011 2 00006000100000000010??????? 西南石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的定性分析 在得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，為進(jìn)一步了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對(duì)系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，最主要的是對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性的分析。 豎直向上位置是直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制器來使直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個(gè)點(diǎn)。既然需要設(shè)計(jì)控制器穩(wěn)定系統(tǒng)，那么就要考慮系統(tǒng)是否能控。我們所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的性質(zhì) ，因而可以采用線性化模型來分析。 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一般可以應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)。對(duì)于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)鄰域的穩(wěn)定性可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進(jìn)行分析。在對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行定性分析時(shí)，一般要用到線性控制理論中的穩(wěn)定性、能控性和能觀性判據(jù)。 穩(wěn)定性、能控性和能觀性判據(jù) 穩(wěn)定性判據(jù)： Lyapunov 第一法判定定理：對(duì)于線性定常系統(tǒng) 0,)0(, 0 ??? txxAxx? 有： （ 1） 系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在 Lyapunov 意義下穩(wěn)定的充分必要條件是： A的所有特征值 均具有非正（負(fù)或零）實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為 A 的最小多項(xiàng)式的單根。 （ 2） 系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 0?ex 是漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是： A 的所有特征值具有負(fù)實(shí)部。 能控性、能控性判據(jù)： 對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)： BuAXX ??? DuCXy ?? 系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組 BAABB n 1,..., ? 是線性無關(guān)的，或 n n 維矩陣 ? ?BAABB n 1????? 的秩為 n。 即 Rank(? ?BAABB n 1????? )=n 系統(tǒng)的輸出 能觀 條件為：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 ? ?DBCABCACABCB n ?????? 12 ?的秩等于輸出向量 y 的維數(shù)。 即 Rank(? ?DBCABCACABCB n ?????? 12 ?)=n 一級(jí)倒立擺快速起擺控制算法的 研究與設(shè)計(jì) 13 倒立擺系統(tǒng)的性能分析 倒立擺系統(tǒng)方程為 ??? ?? ?? )()()( )()()( tDutCxty tButAxtx? 其中?????????????06000100000000010A ,?????????????010B , ??????? 0100 0001C, 0?D 將 A的值帶入特征方程 ? ? 0det ?? AI? ,經(jīng)過計(jì)算可得系統(tǒng)的特征值 , 21 ??? ?? 系統(tǒng)有兩重特征根在原點(diǎn)，有 一個(gè)特征根在復(fù)頻域的右半 平面上，有一個(gè)特征根在復(fù)頻域的左半平面上，由穩(wěn)定性判據(jù)可知：直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 下面進(jìn)行直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析 上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，對(duì)其進(jìn)行階躍性分析，在 Matlab中鍵入以下指令： clear。 A=[0 1 0 0。 0 0 0 0。 0 0 0 1。 0 0 0]。 B=[0 1 0 3]39。C=[1 0 0 0。 0 1 0 0]。 D=[0 0]39。 step(A,B,C,D) 得到如下圖： 西南石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 圖 從圖中可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的，所以直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 下面進(jìn)行直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)可觀可控性的分析 ? ?BABAABBS 32? ? ?32 CACACACV ? 利用 MATLAB 可以計(jì)算出： Rank(S)=4， Rank(V)=4 由可控性、可觀性判據(jù)可知直線一級(jí)倒立擺系 統(tǒng)是能控、能觀的。 由以上分析，我們可以知道，直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，但其又是能控和能觀的。 小結(jié) 本章詳細(xì)討論了采用牛頓力學(xué)的分析方法建立直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的過程，并將得到的非線性模型在倒立擺的平衡位置附近進(jìn)行線性化，得到線性的狀態(tài)方程，并以得到的線性化的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)分析了其穩(wěn)定性，能控制性和能觀性。由于倒立擺固有的特性，其的平衡點(diǎn)均是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，但其又是能控的和能觀的。 一級(jí)倒立擺快速起擺控制算法的 研究與設(shè)計(jì) 15 第三章 倒立擺的穩(wěn)定控制及仿真 倒立擺的穩(wěn)定控制方案比較 模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控 制、 PID 控制、狀態(tài)反饋控制、最優(yōu)控制等均可以用于倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定控制，這些方法各具優(yōu)缺點(diǎn)，下面對(duì)這幾種控制方法進(jìn)行比較分析。 模糊控制算法 模糊控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可以分為 5 個(gè)不同的部分 : ①定義變量 :包括模糊控制器的輸入變量和輸出變量。輸入變量一般為誤差 E和誤差變化率 EC，輸出變量為系統(tǒng)的控制量 。 ②模糊化 :將輸入變量以適當(dāng)?shù)谋壤D(zhuǎn)換到論域的數(shù)值 。 ③知識(shí)庫 :包括數(shù)據(jù)庫和規(guī)則庫。數(shù)據(jù)庫提供必要的定義，規(guī)則庫由語言控制規(guī)則描述控制目標(biāo)和策略 。 ④邏輯判斷 :運(yùn)用模糊邏輯進(jìn)行模糊推理得到模糊控制信號(hào) 。 ⑤解模糊化 :將邏輯判斷階段得到的模糊控制信號(hào)變?yōu)閷?shí)際的控制信號(hào)。 模糊控制器是一種語言變量控制器，控制規(guī)則策略簡(jiǎn)單、直觀，不需要復(fù)雜的推理計(jì)算，是解決倒立擺這類不確定性系統(tǒng)的一種有效途徑。 下面引用 黃 美 , 張 禾， 2021 年在現(xiàn)代電子技術(shù)發(fā)表的文獻(xiàn)“倒立擺模糊控制器研究” 對(duì)直線一級(jí)倒立擺進(jìn)行模糊控制的說明 (1)模糊控制器的設(shè)計(jì) 首先 確定輸入變量和輸出變量，以擺角 ? 、擺角角速度 ?? 、小車位移 x 、速度x? 為狀態(tài)變量 , 將這 4 個(gè)狀態(tài)變量作為控制器的輸入量 , 而以作用在小車上的力F 作為模糊控制器的輸出量。其中，擺角 ? 、擺角角速度 ?? 、小車位移 x 、速度x? 的隸屬度函數(shù)分別如圖所示： 西南石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 圖 擺角 ? 的隸屬度函數(shù) 圖 ?? 的隸屬函數(shù) 圖 x 的隸屬函數(shù) 一級(jí)倒立擺快速起擺控制算法的 研究與設(shè)計(jì) 17 圖 x? 的隸屬函數(shù) 設(shè)計(jì)模糊規(guī)則庫。這里選取 TS 的控制器 , 此控制器可根據(jù)輸入量 , 綜合得出作用于小車的控制信號(hào) , 然后 , 寫出每種輸入所對(duì)應(yīng)的輸出量的模糊規(guī)則，本設(shè)計(jì)中共設(shè)計(jì) 16條規(guī)則，