【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 有光電式脈沖編碼盤，根據(jù)脈沖數(shù)目可得出工作軸的回轉(zhuǎn)角度，由傳動(dòng)比換算出小車直線位移。在小車的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)軌上有用于檢測(cè)小車位置的傳感器，小車位置的信號(hào)被傳送給控制系統(tǒng)，通過控制算法計(jì)算出控制量控制電機(jī)，從而控制小車的位置，使兩級(jí)擺桿垂直于水平面。我們的目的是設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，通過控制電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)，使兩級(jí)擺桿穩(wěn)定在垂直于水平面的位置。計(jì)算機(jī)運(yùn)動(dòng)控制卡伺服驅(qū)動(dòng)器伺服電機(jī)光電碼盤1光電碼盤2光電碼盤3擺桿1擺桿2二級(jí)倒立擺計(jì)算機(jī)控制示意圖如圖21； 計(jì)算機(jī)控制結(jié)構(gòu)示意圖圖 1由伺服電機(jī)自帶 ,可以通過該碼盤的反饋換算出小車的位移、 速度信號(hào) ,并反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡。通過光電碼盤 2和光電碼盤 3的反饋 ,可以分別換算出擺桿1和擺桿 2的角度、 角速度信號(hào) ,并反饋給運(yùn)動(dòng)控制卡。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù) ,確定控制決策 (小車向哪個(gè)方向移動(dòng)、 移動(dòng)的速度、 加速度等 ) ,并由運(yùn)動(dòng)控制卡來(lái)實(shí)現(xiàn)該控制決策 ,產(chǎn)生相應(yīng)的控制量 ,使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng) ,帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng) ,保持?jǐn)[桿 1和擺桿 2的平衡. 本章小結(jié)倒立擺是一個(gè)驗(yàn)證理論的正確性及實(shí)際應(yīng)用中的可行性的典型對(duì)象。各種控制方案在倒立擺上都有實(shí)現(xiàn)如：PID控制、狀態(tài)反饋控制、LQ控制算法、預(yù)測(cè)控制、變結(jié)構(gòu)控制以及模糊控制等。在三回路PD控制中主要對(duì)控制器的參數(shù)整定，通過極點(diǎn)配置來(lái)整定參數(shù)解決了人工整定的難點(diǎn)，對(duì)PID參數(shù)的整定有了簡(jiǎn)單有效的方法，對(duì)以后的研究起到了引導(dǎo)作用。第3章 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)模型的建立 倒立擺系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)及特性分析本次仿真設(shè)計(jì)的二級(jí)倒立擺模型系統(tǒng)由機(jī)械部分和電路部分組成。機(jī)械部分包括底座，框架，滑軌，直流永磁式力矩電機(jī)，測(cè)速電機(jī)，電位器，齒型傳動(dòng)皮帶，小車，擺桿，觸發(fā)開關(guān)以及一些連接軸等。上擺桿下擺桿測(cè)角電位器測(cè)角電位器小 車滑 軌框 架電 機(jī)水平調(diào)節(jié)栓偽形傳送帶底 座測(cè)位電位器 直線二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)圖對(duì)直線二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機(jī)、小車、擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對(duì)象，其輸入是功率放大器的輸入信號(hào)，輸出是小車的位移和擺桿的角度。 直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模的方法所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。它是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)和控制一個(gè)系統(tǒng)的基礎(chǔ)，所以要對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。建立倒立擺系統(tǒng)的模型時(shí)，一般采用牛頓運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)果要解算大量的微分方程組，而且考慮到質(zhì)點(diǎn)組受到的約束條件，建模問題將更加復(fù)雜，為此本文采用分析力學(xué)方法中的Lagrange方程推導(dǎo)倒立擺的系統(tǒng)模型。Lagrange方程有如下特點(diǎn)：，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一致的。，因此在建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力。，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，只需要從兩個(gè)方面去分析，一個(gè)是表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)量－系統(tǒng)的動(dòng)能，另一個(gè)是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量－廣義力。因此用Lagrange方程來(lái)求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以大大簡(jiǎn)化建模過程。 拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程拉格朗日提出了用能量的方法推導(dǎo)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，首先我們引入廣義坐標(biāo)，拉格朗日方程。廣義坐標(biāo)： 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)必需的一組獨(dú)立坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。如果系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)用n維廣義坐標(biāo)q1,q2,…qn來(lái)表示，我們可以把這n維廣義坐標(biāo)看成是n維空間的n位坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。對(duì)于任一系統(tǒng)可由n維空間中的一點(diǎn)來(lái)表征。系統(tǒng)在n維空間中運(yùn)動(dòng)形成的若干系統(tǒng)點(diǎn)連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點(diǎn)的軌跡。拉格朗日方程： ()式中， —— 拉格朗日算子， —— 系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)， —— 系統(tǒng)的動(dòng)能， —— 系統(tǒng)的勢(shì)能。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo)和表示為： ()式中，——系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個(gè)廣義坐標(biāo)分別是。 推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型之前，我們需要幾點(diǎn)必要的假設(shè)：、擺桿2及小車均是剛體；；傳動(dòng)皮帶無(wú)伸長(zhǎng)現(xiàn)象；；，且無(wú)滯后，不計(jì)電機(jī)電樞繞組中的電感；；；yxxFm1m3m2M 二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析示意圖倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下： 小車質(zhì)量 擺桿1質(zhì)量 擺桿2質(zhì)量 質(zhì)量塊質(zhì)量 擺桿1與垂直向上方向的夾角 擺桿2與垂直向上方向的夾角 擺桿1到轉(zhuǎn)動(dòng)中心質(zhì)心的距離 擺桿1到轉(zhuǎn)動(dòng)中心質(zhì)心的距離 作用在系統(tǒng)上的外力首先，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能： ()小車動(dòng)能： ()擺桿1動(dòng)能： ()式中，——擺桿1質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能 ——擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 () ()則 ()擺桿2動(dòng)能： ()式中，——擺桿2質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能 ——擺桿2繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 () () （） 質(zhì)量塊動(dòng)能： ()因此，可以得到系統(tǒng)動(dòng)能： ()系統(tǒng)的勢(shì)能為： ()至此得到拉格朗日算子： ()由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)上均無(wú)外力作用，有以下等式成立： () ()展開()、()式，分別得到()、()式 () ()將()、()式對(duì)求解代數(shù)方程，得到以下兩式 () ()表示成以下形式： () ()取平衡位置時(shí)各變量的初值為零， ()將()式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令 () () () () () () ()得到線性化之后的公式 ()將在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，令 () () () () () () ()得到 ()即: () ()現(xiàn)在得到了兩個(gè)線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程: ()取狀態(tài)變量如下： ()則狀態(tài)空間方程如下： ()將以下參數(shù)代入 求出各個(gè)值：得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣： 本章小結(jié)本章主要運(yùn)用拉格朗日方法對(duì)直線二級(jí)倒立擺進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,并對(duì)數(shù)學(xué)模型線性化，推導(dǎo)出它的狀態(tài)空間方程表達(dá)式，為后面的二級(jí)倒立擺控制策略的研究做好準(zhǔn)備。 第4章 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)控制策略的研究在研究控制方案之前，首先應(yīng)該對(duì)被控對(duì)象的特性及本質(zhì)有充分的了解。因此，在建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，利用一些仿真手段對(duì)被控對(duì)象的特性加以分析，是很有必要的。 穩(wěn)定性分析二級(jí)倒立擺的特征方程為: ()MATLAB中，用函數(shù)eig(A)來(lái)計(jì)算系統(tǒng)矩陣的特征值，經(jīng)過計(jì)算，系統(tǒng)的特征值為： ()開環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)位于平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 能控性能觀性分析對(duì)于線形狀態(tài)方程 ()其能控性矩陣為： ()求的秩 ()所以系統(tǒng)是完全能控的。其能觀性矩陣為： ()求的秩 ()所以系統(tǒng)是完全能觀的?？煽匦跃仃嚨臈l件數(shù)決定系統(tǒng)控制的難控程度，條件數(shù)越大，系統(tǒng)越難控制。可控性矩陣的條件數(shù)為： ()前面能控性和能觀性的判斷畢竟是針對(duì)線性化后的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際的倒立擺的非線性很重，同時(shí)一些參數(shù)（如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）的數(shù)值并不一定準(zhǔn)確，另外一些參數(shù)（如摩擦力矩系數(shù)）也不準(zhǔn)確，對(duì)象的條件數(shù)較大，這些因素都使得二級(jí)倒立擺的實(shí)際控制比較難以實(shí)現(xiàn)。對(duì)于倒立擺這一自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，在研究使其能夠穩(wěn)定的控制方案之前，首先要搞清楚倒立擺系統(tǒng)在自然條件下的運(yùn)動(dòng)特性是怎樣的？對(duì)于這個(gè)問題的解有助于我們更加深入了解倒立擺系統(tǒng)的本質(zhì)，進(jìn)而設(shè)計(jì)出比較適合的控制方案。系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A,B,C,D如下: