【文章內容簡介】 反射回 編碼器 器內。當在光柵板上 轉動編碼器 時，由于光柵板上明暗相間的條紋反射光有強弱變化， 編 碼器 內部將強弱變化的反射光變成電脈沖，對電脈沖進行計數(shù)即可測出 移動 的距離。 ③控制卡 倒立擺還使用了由固高提供的控制卡，型號是 GT400SV卡。 SV卡的特點是輸出類型可以是模擬量或者是脈沖量，它還采用了 PID濾波器，外加速度和加速度前饋。通過調節(jié)，設置合適的參數(shù)，可提高控制系統(tǒng)的速度和精度。 倒立擺特性 雖然倒立擺的形式和結構各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性 : 圖 一級倒立擺的 模型 示意圖 Fy小車MFxOθ擺桿 (2L,m)u n(t)x驅動電機角度傳感器位置傳感器導軌G ( xG ,yG)內蒙古科技大學 課程設計 9 ①非線性 倒立擺是一個典型的非線性復雜系統(tǒng)，實際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進行控制，也可以利用非線性控制理論對其進行控制，倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。 ②不確定性 主要是模型誤差以及機械傳動間隙，各種阻力等，實際控制中一般通過減少各種誤差，如通過施加預緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。 ③耦合性 倒立擺的各級擺桿之間，以及和運動模塊之間都有很強的耦合關系，倒立擺的控制中一般都在平衡點附近進行解耦計算，忽略一些次要的耦合量。 ④開環(huán)不穩(wěn)定性 倒立擺的穩(wěn)定狀態(tài)只有兩個，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點 ， 垂直向下為穩(wěn)定的平衡點。 ⑤約束限制 由于機構的限制，如運動模塊行程限制，電機力矩限制等。為制造方便和降低成本，倒立擺的結構尺寸和電機功率都盡量要求最小，行程限制對于倒立擺的擺起尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。 模型的建立 系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數(shù)學手段建立起系統(tǒng)的輸入 －輸出關系。這里面包括輸入信號的設計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學算法的研究等等內容。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內部的輸入－狀態(tài)關系。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是經過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內應用經典力學理論建立系統(tǒng)的動力學方程。下面我們采用其中的牛頓－歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。 微分方程的推導 在忽略了空氣 阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質內蒙古科技大學 課程設計 10 桿組成的系統(tǒng)，如下圖 圖 3 . 4 直 線 一 級 倒 立 擺 系 統(tǒng) 我們不妨做以下假設： M小車質量、 m擺桿質量、 b小車摩擦系數(shù)、 l擺桿轉動軸心到桿質心的長度、 I 擺桿慣、 F加在小車上的力、 x 小車位置、φ擺桿與垂直向上方向的夾角、θ擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）。 圖 。 其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向： 圖 3 . 5 （ a ） 小 車 隔 離 受 力 圖 （ b ） 擺 桿 隔 離 受 力 圖 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： NxbFxM ??? ??? （ ） 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： ? ??sin122 lkdmN ?? 即 ： ???? s i nc o s 2????? mlmlxmN ??? （ ） 內蒙古科技大學 課程設計 11 把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： ? ? ? ? FmlmxbxMm ????? ???? s i nc o s 2?????? （ ） 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： ? ??c os22 ldtdmmgP ?? 即： ???? c o ss i n 2??? mlmlmgP ???? () 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in （ ) 方程中力矩的方向，由于 ??????? s i ns i n,c o sc o s, ?????? ，故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去 P和 N，得到第二個運動方程： ? ? ??? c o ss i n2 xmlm g lmlI ???? ???? () 設 ??? ?? （φ是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設φ與 1（單位 是 弧 度 ） 相 比 很 小 ， 即 φ 《 1 ， 則 可 以 進 行 近 似 處理： 。用 u 代表被控對象的輸入力 F ， 線性化后兩個運動方程如下： ? ?? ???? ???? ??? umlxbxmM xmlm glmlI ??? ????? ????2 () 傳遞函數(shù) 對方程組 ()進行拉普拉斯變換，得到 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ????? ????? sUssmlssbXssXmM ssm lXsm glssmlI22222 () 注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為 0。 由于輸出為角度φ，求解方程組 ()的第一個方程，可以得到： ? ? ? ?ssgmlmlIsX ??????? ???22)( () 把上式代入方程組 ()的第二個方程，得到： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM ?????????? ?????????? ??? 22222 0,s i n,1c os 2 ??????????? dtd ????內蒙古科技大學 課程設計 12 () 整理后得到傳遞函數(shù)： ? ?? ? ? ? ? ? sqb mg lsqmg lmMsqmlIbssqmlsUs???????23242 () 其中： ? ? ?? ? ? ? ?22 mlmlIMmq ???? 狀態(tài)空間結構方程 系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為 DnCXy BuAXx