【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 22??????????????? (217) 整 理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?uxxxyuM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????0001000001000010000000102222222222?????????????????(218) 只要將直線一級(jí)倒立擺的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式 (218)中，便可得到矩陣 A、 B、 C、D。 系統(tǒng)的物理參數(shù) 實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下 ： M 小車質(zhì)量 1 .0 96 K g m 擺桿質(zhì)量 0. 1 0 9 K g b 小車摩擦系數(shù) N/ m/ sec l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0 . 2 5 m I 擺桿 慣 量 kg*m 系統(tǒng) 的實(shí)際 模型 把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： 太原科技大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 ? ?? ? 267 21 027 2 2??? s ssX s (219) 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： ? ?? ? 2 ??? ssV s (220) 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： ? ?? ? 3 0 9 4 1 6 8 8 3 1 6 3 5 6 5 23 ????? sss ssU s (221) 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： uxxxyuxxxx?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013 5 6 5 08 8 3 1 6 008 2 8 3 5 6 5 100006 2 9 3 1 8 8 3 1 6 0010????????????????? (222) 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： uxxxyuxxxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00010000013010100000000010????????????????? (223) 需要說明的是，本文的控制器設(shè)計(jì)和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入。 如果需要也可以采用力矩控制的方法，把外界作用力作為輸入。 直線一級(jí)倒立擺 系統(tǒng)的分析 若系統(tǒng)由于受到擾動(dòng)作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，但擾動(dòng)去除后，如果能 恢直線一級(jí)倒立擺的計(jì)算機(jī)控制 11 復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 前面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，對(duì)其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在 MATLAB中鍵入以 下命令： 運(yùn)行程序后得到如下的曲線： 圖 直線一級(jí)倒立擺單位階躍響應(yīng)仿真 可以看出， 在單位階躍響應(yīng)的作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的 ，即：直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。 在得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，為進(jìn)一步了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對(duì)系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，最主要的是對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性的分析。豎直向上位置是直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制器來使直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個(gè)點(diǎn)。既然需要設(shè)計(jì)控制器穩(wěn)定系統(tǒng)，那么就要考慮系統(tǒng)是否能控。我們太原科技大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的性質(zhì)，因而可以采用線性化模型來 分析。 對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) ： DuCXy BuAXX ?? ??? 系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組 BAABB n 1, ?? 是線性無關(guān)的，或 n*n維矩陣 ? ?BAABB n 1????? 的秩為 n。 系統(tǒng)的輸出可 控 性條件為：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 ? ?DBCABCAC A BC n ?????? 12 ? 的秩等于輸出向量 y的維數(shù)。 應(yīng)用以上原理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析， ?????????????100000000010A ???????3010B ??????? 0100 0001C ???????00D 代入上式，并在 MATLAB中計(jì)算： 直線一級(jí)倒立擺的計(jì)算機(jī)控制 13 運(yùn)行程序后 的結(jié)果為 ： Ans = 4 ans = 2 可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量 y的維數(shù)，所以系統(tǒng)可控，因此可 以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)， 使系統(tǒng)穩(wěn)定。 所以 ，可以得知直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定且 狀態(tài)以及輸出都 能控 的 系統(tǒng)。 本章小結(jié) 本章詳細(xì)討論了采用牛頓力學(xué)的分析方法建立直線一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的過程，并將得到的非線性模型在倒立擺的平衡位置附近進(jìn)行 線性化，得到線性的狀態(tài)方程，并以得到的線性 化的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)分析了其穩(wěn)定性，輸入輸出的能控制性 。由于倒立擺固有的特性，其平衡點(diǎn)均是不穩(wěn)定 平衡點(diǎn)，但其又是能控的。 太原科技大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 第 三 章 直線一級(jí)倒立擺的 PID 控制 PID 控制原理 當(dāng)今的自動(dòng)控制技術(shù)都是基于反饋的概念 ， 反饋理論的要素包括三個(gè)部分：測(cè)量、比較和執(zhí)行。測(cè)量輸出變量，與期望值相比較，用這個(gè)誤差調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)。 PID(比例 積分 微分 )控制是一種簡(jiǎn)單而又優(yōu)秀的控制方法，在生產(chǎn)過程自動(dòng)化控制的發(fā)展歷程中， PID控制是一種歷史最悠久、生命力最強(qiáng)的基本 控制方法。 PID控制器作為最早實(shí)用化的控制器已有 50多年的歷史，并且直到現(xiàn)在仍然是應(yīng)用最廣泛的工業(yè)控制器。在 PID中因?qū)⑵畹谋壤?(P)、積分 (I)和微分 (D)通過線性組合構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱 PID控制器，其原理圖如下所示 ： 圖 PID控制器原理圖 PID控制器各個(gè)校正環(huán)節(jié)的作用如下： (1)比例環(huán)節(jié)：成比例的 反饋 控制系統(tǒng)的偏差信號(hào) e(0)儀產(chǎn)生 ，控制器立即就產(chǎn)生控制作用，使被 PID控制的對(duì)象朝著使偏差減小的方向變化。其控制作用的強(qiáng)弱取決于比例系數(shù) Kp的大小， Kp值越大則過渡過程越 短，控制結(jié)果的靜態(tài)偏差也越小。加大 KP雖然可以減小偏差，但是 Kp過大會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的超調(diào)量增大或產(chǎn)生震蕩現(xiàn)象，最終使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差。 (2)積分環(huán)節(jié)：主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無差度。從積分環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以看出，只要存在偏差，其就會(huì)不斷增加。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù) Ti的大小， Ti越大則積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。當(dāng) Ti較大時(shí)，積分作用較弱，這時(shí)系統(tǒng)在過渡過程中不易產(chǎn)生震蕩，但是過渡時(shí)問較長(zhǎng)：當(dāng) Ti較小時(shí)，積分作用較強(qiáng)，這時(shí)過渡時(shí)間較短，但是有可能產(chǎn)生震蕩。 直線一級(jí)倒立擺的計(jì)算機(jī)控制 15 (3)微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì) (變化速度 )，并能在偏差信號(hào)變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修 定 信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減少調(diào)節(jié)時(shí)間。微分部分作用的強(qiáng)弱由微分時(shí)間常數(shù) TD的大小決定， Kd越大則抑制偏差變化的作用越強(qiáng)，反之則越小。同時(shí) Td的大小對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也有很大的 影響。 PID控制以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，控制理論的其它技術(shù)難以采用時(shí)，系統(tǒng)控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試來確定 ，這時(shí)應(yīng)用 PID控制技術(shù)最為方便。即 ， 當(dāng)我們不完全了解一個(gè)系統(tǒng)和被控對(duì)象，或不能通過有效的測(cè)量手段來獲得系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，最適合用 PID控 制技術(shù)。 PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定 rin(t)與實(shí)際輸出值 yout(t)構(gòu) 成控制偏差： ? ? ? ? ? ?ty o u ttrinte ?? （ 31） PID的控制規(guī)律為： ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ??? ? t dip dttdeTteTteKtu01 （ 32） 或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式： ? ? ? ?? ? ???????? ???? sTsTKsE sUs dip11G （ 33） 式中， Kp 為比例系數(shù)； iK 為積分時(shí)間常數(shù)； dK 為微分時(shí)間常數(shù)。 PID控制具有以下優(yōu)點(diǎn)： (1)原理簡(jiǎn)單，使用方便， PID參數(shù)可以根據(jù)過程的動(dòng)態(tài)特性及時(shí)整定。 雖然倒立擺模型是非線性的，但通過對(duì)其簡(jiǎn)化可以變成基本線性的系統(tǒng)，這樣 PID就可控制了。另外 PID參數(shù)較 易整定。也就是， PID參數(shù) Kp， Ki和 Kd可以根據(jù)過程的動(dòng)態(tài)特性及時(shí)整定。如果 過程的動(dòng)態(tài)特性變化，例如可能由負(fù)載的變化引起系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性變化， PID參數(shù)就可以重新整定。 (2)適應(yīng)性強(qiáng)，按照 PID控制規(guī)律進(jìn)行工作的控制器早己商品化，使得其的應(yīng) 用范圍十分廣泛。雖然很多被控對(duì)象是非線性的或時(shí)變的，但是通過適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，可以將基本線性和動(dòng)態(tài)特性不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)，這樣就可以通過 PID控制了。 (3)魯棒性強(qiáng)，即其控制品質(zhì)對(duì)被控對(duì)象特性的變化不太敏感。同時(shí) PID控制也太原科技大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 具有其固有的缺點(diǎn)： PID在控制非線性、時(shí)變、耦合及參數(shù)和結(jié)構(gòu)不確定的復(fù) 雜過程時(shí)，效果不是很好。雖然 PID控制具有以 上缺點(diǎn)，但是其仍因其自身的優(yōu)點(diǎn)而得到了最廣泛的應(yīng)用， PID控制規(guī)律仍是應(yīng)用最普遍的控制規(guī)律。 仿真軟件 MATLAB/Simulink 簡(jiǎn)介 倒立擺實(shí)物控制系統(tǒng)是一個(gè)典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，其控制是通過軟件編程實(shí)現(xiàn)的，因此控制程序的編寫是實(shí)現(xiàn)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控制的重要環(huán)節(jié)。 Simulink是用來建模、分析和仿真各種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的交互環(huán)境，包括連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)和混合系統(tǒng)。 Simulink提供了采用鼠標(biāo)拖放的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形交互平臺(tái)。通過 Simulink提供的豐富的功能塊，可以迅速地創(chuàng)建動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型。同時(shí) Simulink還集成了 Stateflow，用來建模、仿真復(fù)雜事件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的邏輯行為。另外， Simulink也是實(shí)時(shí)代碼生成工具 RealTime Worksho