【文章內(nèi)容簡介】 級數(shù)來分：有一級倒立擺、兩級倒立擺、三級倒立擺和四級倒立擺，一級倒立擺常用于控制理論的基礎(chǔ)實驗，多級倒立擺常用于控制算法的研究，倒立擺的級數(shù)越高，其控制難度更大，目前，可以實現(xiàn)的倒立擺控制最高為四級倒立擺。 青島理工大學畢業(yè)設(shè)計 6 倒立擺的特性 雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性 : 1) 耦合性 倒立擺的各級擺桿之間，以及和運動模塊之間都有很強的 耦合關(guān)系，在倒立擺的控制中一般都在平衡點附近進行解耦計算，忽略一些次要的耦合量。 2)非線性 倒立擺是一個典型的非線性復雜系統(tǒng)，實際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進行控制。也可以利用非線性控制理論對其進行控制。倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。 3) 開環(huán)不穩(wěn)定性 倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點。 4) 不確定性 主要是模型誤差以及機械傳動間隙，各種阻力等，實際控制中一般通過減少各種誤差來降低 不確定性，如通過施加預緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。 直線二級倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理 圖 二級倒立擺系統(tǒng) 青島理工大學畢業(yè)設(shè)計 7 直線二級倒立擺系統(tǒng)主要由以下幾部分組成，如圖 。其機械本體主要包括底座（導軌）、小車、驅(qū)動小車的交流伺服電機、同步皮帶、一級擺桿、二級擺桿、限位開關(guān)及光電碼盤等。通過控制交流伺服電機，帶動皮帶轉(zhuǎn)動，在皮帶的帶動下小車可以在導軌上運動從而控制兩級擺桿的運動狀態(tài)。交流伺服電機帶有光電式脈沖編碼盤，根據(jù)脈沖數(shù)目可得出工作軸的回轉(zhuǎn)角度，由傳動比換算 出小車直線位移。在小車的運動導軌上有用于檢測小車位置的傳感器，小車位置的信號被傳送給控制系統(tǒng)，通過控制算法計算出控制量控制電機，從而控制小車的位置，使兩級擺桿垂直于水平面。我們的目的是設(shè)計一個控制器，通過控制電機的轉(zhuǎn)動，使兩級擺桿穩(wěn)定在垂直于水平面的位置。 二級倒立擺計算機控制示意圖如圖 21； 圖 計算機控制結(jié)構(gòu)示意圖 圖 中的光電碼盤 1 由伺服電機自帶 ,可以通過該碼盤的反饋換算出小車的位移、 速度信號 ,并反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡 。通過光 電碼盤 2 和光電碼盤 3 的反饋 ,可以分別換算出擺桿 1 和擺桿 2 的角度、 角速度信號 ,并反饋給運動控制卡 。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù) ,確定控制決策 (小車向哪個方向移動、 移動的速度、 加速度等 ) ,并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策 ,產(chǎn)生相應的控制量 ,使電機轉(zhuǎn)動 ,帶動小車運動 ,保持擺桿 1 和擺桿 2的平衡 . 本章小結(jié) 倒立擺是一個驗證理論的正確性及實際應用中的可行性的典型對象。各種控制方案在倒立擺上都有實現(xiàn)如： PID 控制、狀態(tài)反饋控制、 LQ 控制算法、預測控計算機 運動控制 卡 伺服驅(qū)動 器 伺服電 機 光電碼盤 1 光電碼盤 2 光電碼盤 3 擺桿 1 擺桿 2 青島理工大學畢業(yè)設(shè)計 8 制、變結(jié)構(gòu)控制以及模糊控制 等。在三回路 PD 控制中主要對控制器的參數(shù)整定，通過極點配置來整定參數(shù)解決了人工整定的難點，對 PID 參數(shù)的整定有了簡單有效的方法，對以后的研究起到了引導作用。 青島理工大學畢業(yè)設(shè)計 9 第 3章 二級倒立擺系統(tǒng)模型的建立 倒立擺系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)及特性分析 本次仿真設(shè)計的二級倒立擺模型系統(tǒng)由機械部分和電路部分組成。機械部分包括底座，框架，滑軌，直流永磁式力矩電機，測速電機，電位器，齒型傳動皮帶，小車，擺桿，觸發(fā)開關(guān)以及一些連接軸等。主要機械結(jié)構(gòu)部分如圖 。 圖 直線二級倒立擺的物理結(jié)構(gòu)圖 對直線二級倒立擺控制系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機、小車、擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對象，其輸入是功率放大器的輸入信號，輸出是小車的位移和擺桿的角度。 直線二級倒立擺的數(shù)學模型 數(shù)學建模的方法 所謂 系統(tǒng)的數(shù)學模型 就是利用數(shù)學結(jié)構(gòu)來反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。它是分析、設(shè)計、預報和控制一個系統(tǒng)的基礎(chǔ)，所以要對一個系統(tǒng)進行研究，首先要建立它的數(shù)學模型。 上擺桿 下擺桿 測角電位器 測 角 電 位 器 小 車 滑 軌 框 架 電 機 水平調(diào)節(jié)栓 偽形傳送帶 底 座 測位電位器 青島理工大學畢業(yè)設(shè)計 10 建立倒 立擺系統(tǒng)的模型時，一般采用牛頓運動規(guī)律，結(jié)果要解算大量的微分方程組，而且考慮到質(zhì)點組受到的約束條件，建模問題將更加復雜，為此本文采用分析力學方法中的 Lagrange 方程推導倒立擺的系統(tǒng)模型。 Lagrange 方程有如下特點： ，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一致的。 ，因此在建立運動方程式時，只需分析已知的主動力，而不必分析未知的約束反力。 方程是以能量觀點建立起來的運動方程，為了列出系統(tǒng)的運動方程，只需要從兩個 方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運動的動力學量－系統(tǒng)的動能，另一個是表征主動力作用的動力學量－廣義力。 因此用 Lagrange 方程來求解系統(tǒng)的動力學方程可以大大簡化建模過程。 拉格朗日運動方程 拉格朗日提出了用能量的方法推導物理系統(tǒng)的數(shù)學模型，首先我們引入廣義坐標，拉格朗日方程。 廣義坐標： 系統(tǒng)的廣義坐標是描述系統(tǒng)運動必需的一組獨立坐標，廣義坐標數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。如果系統(tǒng)的運動用 n 維廣義坐標 q1,q2,…qn 來表示，我們可以把這 n 維廣義坐標看成是 n 維空間的 n 位坐標系中的坐標。對于任一系統(tǒng)可由 n 維 空間中的一點來表征。系統(tǒng)在 n 維空間中運動形成的若干系統(tǒng)點連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點的軌跡。 拉格朗日方程： ),(),(,L qqVqqTqq ??? ??）（ () 式中， L —— 拉格朗日算子， q —— 系統(tǒng)的廣義坐標， T —— 系統(tǒng)的動能， V —— 系統(tǒng)的勢能。 拉格朗日方程由廣義坐標 iq 和 L 表示為： iii fqLqLdtd ??????? () 式中， ni ?3,2,1? ， if —— 系統(tǒng)沿該廣義坐標方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個廣義坐標分別是 21, ??x 。 青島理工大學畢業(yè)設(shè)計 11 推導建立數(shù)學模型 在推導數(shù)學模型之前，我們需要 幾點必要的假設(shè)： 擺桿 2 及小車 均是剛體； ；傳動 皮 帶無伸長現(xiàn)象； ； ，且無滯后，不計電機電樞繞組中的電感； ； ； 二級倒立擺的運動分析示意圖如圖 所示 圖 二級倒立擺運動分析示意圖 倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下： M 小車質(zhì)量 1m 擺桿 1 質(zhì)量 2m 擺桿 2 質(zhì)量 3m 質(zhì)量塊質(zhì)量 1? 擺桿 1 與垂直向上方向的夾角 2? 擺桿 2 與垂直向上方向的夾角 1? y x x F m1 m3 2? m2 M 青島理工大學畢業(yè)設(shè)計 12 1l 擺桿 1 到轉(zhuǎn)動中心質(zhì)心的距離 2l 擺桿 1 到轉(zhuǎn)動中心質(zhì)心的距離 F 作用在系統(tǒng)上的外力 首先，計算系統(tǒng)的動能： 321 mmmM TTTTT ???? () MT 小車動能： 221 xMTM ?? () 1mT 擺桿 1 動能： 111 mmm TTT ????? () 式中， 39。1mT—— 擺桿 1 質(zhì)心平動動能 1mT?—— 擺桿 1 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能 21211111121211211139。21c o s21)c o s()s i n(211????????? lmxlmxmdtlddtlxdmTm???????????????????????? ?? () 21211212112139。39。 613121211 ??? ?? lmlmJT pm ????????? () 則 2121111112139。39。39。 32c o s21111 ??? ???? lmxlmxmTTT mmm ????? () 2mT 擺桿 2 動能： 222 mmm TTT ????? () 式中， 39。2mT—— 擺桿 2 質(zhì)心平動動能 2mT?—— 擺桿 2 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能 22221112222211122221122211239。)s i ns i n2(21c o sc o s221)c o sc o s2()s i ns i n2(212????????????????? llmllxmdtllddtllxdmTm?????????????????? ???????? ???）（ () 222222222222239。39。 2 61312121 ??? ?lmlmJT m ????????? () 青島理工大學畢業(yè)設(shè)計 13 ?????? ?????????）（1221212222212122221112239。39。239。22c o s (434421))c o sc o s2(221??????????????????llllmllxxmTTT mmm （ ） 3mT 質(zhì)量塊動能： 2121311132321121132c o s221)c o s2()s i n2(213????????? lmxlmxmdtlddtlxdmTm???????????????????????? ?? () 因此，可以得到系統(tǒng)動能 ： 321 mmmM TTTTT ???? 212111111212 32c o s2121 ??? ????? lmxlmxmxM ???? ? ?? ?22211122 c o sc o s2221 ???? ???? llxxm ??? ? ??????? ???? 122121222221212 c o s434421 ?????? ???? llllm 21213111323 2c o s221 ??? ???? lmxlmxm ??? () 系統(tǒng)的勢能為： )c o sc o s2(c o s2c o s 22112113111 321 ???? llgmglmglm VVVV mmm ???? ??? () 至此得到拉格朗日算子 L ： VTL ?? 212111111212 32c o s2121 ??? ????? lmxlmxmxM ???? ? ?? ?22211122 c o sc o s2221 ???? ???? llxxm ??? ? ??????? ???? 122121222221212 c o s434421 ?????? ???? llllm 21213111323 2c o s221 ??? ???? lmxlmxm ??? )c o sc o s2(c o s2c o s 22112113111 ???? llgmglmglm ???? () 由于因為在廣義坐標 21,?? 上均無外力作用，有以下等式成立： 青島理工大學畢業(yè)設(shè)計 14 011?????????????? ?? LLdtd ? () 022?????????????? ?? LLdtd ? () 展開 ()、 ()式，分別得到 ()、 ()式 )c o s (2(3))(3(4)s i n (6 1222211321212222 ??????? ??????? ????? lmlmmmlm 0))c o ss in))((2( 11321 ????? ?? xgmmm