【正文】 llm 21213111323 2c o s221 ??? ???? lmxlmxm ??? )c o sc o s2(c o s2c o s 22112113111 ???? llgmglmglm ???? () 由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo) 21,?? 上均無(wú)外力作用，有以下等式成立： 青島理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 14 011?????????????? ?? LLdtd ? () 022?????????????? ?? LLdtd ? () 展開(kāi) ()、 ()式，分別得到 ()、 ()式 )c o s (2(3))(3(4)s i n (6 1222211321212222 ??????? ??????? ????? lmlmmmlm 0))c o ss in))((2( 11321 ????? ?? xgmmm ?? () 0c o s3)c o s (64)s i n (6s i n3 2121122212112 ??????? ????????? xlllg ??????? () 將 ()、 ()式對(duì) 21,???? 求解代數(shù)方程，得到以下兩式 21221312111 s i n)c o s (3s i n4s i n4s i n2(3( ??????? ?????? gmgmgmgm?? 1122212221212112 c o s2)s i n (4)s i n ()c o s (6 ????????? xmlmlm ???? ?????? /))c o s)c o s (3c o s4c o s4 22121312 ????? ???? xmxmxm ?????? ) ) )(c o s912124(2( 21223211 ?? ????? mmmml () )c o s3)s i n (6s i n3())(3(94( 221211222132122 ?????? xlgllmmmm ????? ????????? /) ) )c o ss i n) ) ((2(3)s i n (6)(c o s (32 11321212222212212 ??????? xgmmmlmllm ??? ??????? ))(c o s4))(3(916(21222212222213212 ?? ????? llmllmmmm () 表示成以下形式： ),( 212111 xxxf ??????? ????? ? () ),( 212122 xxxf ??????? ????? ? () 取平衡位置時(shí)各變量的初值為零， 1 2 1 2( , , , , , , ) ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) 0A x x x? ? ? ?? ? ? () 將 ()式在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線(xiàn)性化，令 0|0A111 ???? ?xfK () 13213210A1112 )1234(2 )4423| lmmm gmgmgmfK ?? ?????? ? （? () 132120A2113 )1234(2 9| lmmm gmfK ?????? ?? () 0|0A114 ???? ?xfK ? () 青島理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 15 0|0A1115 ???? ???fK () 0|0A2116 ???? ???fK () 13213210A117 )1234(2 )42(3| lmmm mmmxfK ?? ?????? ??? () 得到線(xiàn)性化之后的公式 xKKK ???? 172131121 ??? ??? () 將 ),( 212122 xxxf ??????? ????? ? 在平衡位置進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并線(xiàn)性化，令 0|0A221 ???? ?xfK () 2321223210A1222))(3(9164))(2(2|lmmmlmmmmgfK??????????? () )))(3(9164(3))(3(4|2321223210A2223lmmmlmmmmgfK??????????? () 0|0A224 ???? ?xfK ? () 0|0A1225 ???? ???fK () 0|0A2225 ???? ???fK () 2321223213210A227 ))(3(9164))(3(34))(2(2|lmmmlmmmmmmmxfK???????????? ??? () 得到 xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 即 : xKKK ???? 172131121 ??? ??? () xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 現(xiàn)在得到了兩個(gè)線(xiàn)性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程 : xu ?? () 取狀態(tài)變量如下： 青島理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 16 ?????????????????2615423121???????xxxxxxxx () 則 狀態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000?????? () 將以下參數(shù)代入 ??????????????????21321llgmmmM 求出各個(gè) K 值： 272322171312??????KKKK 得到狀態(tài)方程各個(gè)參數(shù)矩陣： ?????????????????????000000100000010000001000A 青島理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 17 ?????????????????????1000B ???????????000100000010000001C ???????????000D 本章小結(jié) 本章主要運(yùn)用拉格朗日方法對(duì)直線(xiàn)二級(jí)倒立擺進(jìn)行數(shù)學(xué)建模 ,并對(duì)數(shù)學(xué)模型線(xiàn)性化，推導(dǎo)出它的狀態(tài)空間方程表達(dá)式，為后面的二級(jí)倒立擺控制策略的研究做好準(zhǔn)備。 能控性能觀(guān)性分析 對(duì) 于線(xiàn)形狀態(tài)方程 CXY BUAXX? ??? () 其能控性矩陣為： ],[ 54320 BABABABAABBT ? () 求 0T 的秩 6)( 0 ?Trank () 所以系統(tǒng)是完全能控的。實(shí)際的倒立擺的非線(xiàn)性很重，同時(shí)一些參數(shù)（如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）的數(shù)值并不一定準(zhǔn)確，另外一些參數(shù)（如摩擦力矩系數(shù)）也不準(zhǔn)確，對(duì)象的條件數(shù)較大，這些因素都使得二級(jí)倒立擺的實(shí)際控制比較難以實(shí)現(xiàn)。0 0 0 0 1 0。0 0 0 0 ]。0 0 1 0 0 0]。 青島理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 20 rank(cona) rank(cona2) 得到的結(jié)果如下 : ans = 6 ans = 3 或是通過(guò) MATLAB 命令 ctrb 和 obsv 直接得到系統(tǒng)的可控性和可觀(guān)測(cè)性。 本章小結(jié) 本章主要在狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上對(duì)倒立擺系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)性以及穩(wěn)定性進(jìn)行定性分析，并用 matlab 計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證，證明分析正確性，為后面的仿真和實(shí)驗(yàn)控制打下理論基礎(chǔ)。 圖 PID控制原理圖 由圖 我們可以知道，整個(gè)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)要概括為三要素：測(cè)量、比較、執(zhí)行。歸納總結(jié) PID 算法具有下述優(yōu)越性： (1)它的基本原理，容易理解，易于人們掌握。系統(tǒng)抗擊外界干擾的能力比較強(qiáng)。但是 PK 的取 值不是沒(méi)有限制的，當(dāng)它的取值過(guò)大會(huì)造成系統(tǒng)的超調(diào)量增大，系統(tǒng)產(chǎn)生震蕩嚴(yán)重，影 響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 (3)微分環(huán)節(jié)：對(duì)信號(hào)的變化具有提前的控制作用，能夠減小系統(tǒng)的超調(diào)，克服震蕩，整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有個(gè)很大的提高。 PID 控制中，一個(gè)控制器只能對(duì)一個(gè)輸出量進(jìn)行控制，因此在對(duì)二級(jí)倒立擺的控制中，采用三個(gè) PID 控制器，分別對(duì)系統(tǒng)的小車(chē)位移、一二級(jí)擺桿的角度加以控制。需要整定的 PD 六個(gè)參數(shù)和和系統(tǒng)六個(gè)狀態(tài)變量一一對(duì)應(yīng)。由仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間比較短。 62~KK 保持不變，改變 1K ,則]26 . 52 11 0. 3 59 4 25 . 28 00 16 2. 82 1 7 75 . 17 40 40[?K 青島理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 26 圖 調(diào)整 1K 的 PID仿真圖 由上圖可知小車(chē)的位移震蕩 范圍減小， 一級(jí)擺桿 、 二級(jí)擺桿震蕩 范圍也是如此 ，由于改變了 1K ，也就改變了閉環(huán)極點(diǎn)的位置，整個(gè)系統(tǒng)震蕩 減小 ， 并且能更快的達(dá)到穩(wěn)定 。系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，通過(guò)控制器的調(diào)節(jié)，小車(chē)可以達(dá)到指定位置，擺桿可以回到豎直位置。 2. 當(dāng)加權(quán)矩陣： Q=diag[100,200,200,1,1,1]， R=1 時(shí)， N x Ax Buy Cx??? K1 K2 K3 K4 K5 K6 r R _ y1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 y2 y3 y4 y5 y6 + + + + + 青島理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 28 反饋矩陣： K=[ ]， 極點(diǎn)： ???????????????????????? 1 . 4 2 9 1 i 1 . 6 9 1 1 1 . 4 2 9 1 i 1 . 6 9 1 1 3 . 1 3 3 3 i 5 . 5 5 2 5 3 . 1 3 3 3 i 5 . 5 5 2 5 0 . 7 1 8 5 i 1 1 . 2 8 6 0 0 . 7 1 8 5 i 1 1 . 2 8 6 0E 仿真結(jié)果如圖 。本文以仿真的直線(xiàn)二級(jí)倒立擺為研究對(duì)象，首先敘述了倒立擺控制技術(shù)的發(fā)展及國(guó)內(nèi)外的研 究現(xiàn)狀，推導(dǎo)了直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型；隨后設(shè)計(jì)了二級(jí)倒立擺的極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制方案，并用 MATLAB對(duì)控制方案進(jìn)行了仿真；根據(jù)設(shè)計(jì)在仿真軟件 MATLAB中通過(guò)在 Simulink工具箱中的模塊選取，最終完成了控制系統(tǒng)的安裝與調(diào)試，最后實(shí)現(xiàn)了對(duì)直線(xiàn)二級(jí)倒立擺的實(shí)時(shí)控制。 (3) 通過(guò)在對(duì)干擾條件下的仿真結(jié)果和無(wú)干擾條件下的仿真結(jié)果的對(duì)比，可以看出極點(diǎn)配置控制、最優(yōu)控制控制的優(yōu)缺點(diǎn)，同時(shí)也可以看出本次設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的控制器具有很好的穩(wěn)定性和抗干擾性。 青島理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì) 31 致 謝 在論文完成之際，我想向給過(guò)我?guī)椭椭С值娜藗儽硎局孕牡母兄x！在本次畢業(yè)設(shè)計(jì)中，我從指導(dǎo)老師林旭梅老師身上學(xué)到了很多東西，林旭梅老師認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和深厚的理論水平都使我受益匪淺！她無(wú)論在理論上還是在實(shí)踐中，都給與我很大的幫助，使我得到不少的提高，讓我學(xué)到了知識(shí)，掌握了科研的方法，也獲得了實(shí)踐鍛煉的機(jī)會(huì)，這對(duì)我以后的工作和學(xué)習(xí)都是一種巨大的幫助。祝福