20xx版【三維設計】高中數(shù)學人教a版選修2-1【配套課件】第二章-222-第二課時-橢圓方程及幾何性質(zhì)的應用(編輯修改稿)
2025-08-20 05:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＋ 2 ，x24 b2 ＋y2b2 ＝ 1 ，得 5 x2＋ 16 x ＋ 16 － 4 b2＝ 0 ， ∴??????? Δ ＝ 162－ 20 ? 16 － 4 b2? ＝ 16 ? 5 b2－ 4 ? 0 ，x1＋ x2＝－165，x1x2＝16 － 4 b25. 返回 ∴ | AB |＝ 2 ? x 1 ＋ x 2 ?2－ 4 x 1 x 2 ＝4 25 5 b2－ 4 ＝16 25. ∴ 5 b2－ 4 ＝ 16. ∴ b2＝ 4 ，即 b ＝ 2 ，滿足 Δ 0. ∴ 橢圓的 方程為x216＋y24＝ 1. 返回 返回 [ 例 3] 焦點分別為 ( 0,5 2 ) 和 (0 ，－ 5 2 ) 的橢圓截直線 y ＝3 x － 2 所得 弦的中點的橫坐標為12，求此橢圓 的 方程． [ 思路點撥 ] 法一： 設出橢圓的方程 ， 再 與直線方程聯(lián)立消 去 y . 由中點橫坐標為12建立方程，再與 a2－ b2＝ c2解方程組即可得 a2， b2. 法二： 由 “ 點差法 ” 求解． 返回 [ 精解詳析 ] 法一： 設橢圓的方程為x2b2 ＋y2a2 ＝ 1( a b 0) ，且 a2－ b2＝ (5 2 )2＝ 50. ① 由????? x2b2 ＋y2a2 ＝ 1 ，y ＝ 3 x － 2 ，消去 y 得 ( a2＋ 9 b2) x2－ 12 b2x ＋ 4 b2－ a2b2＝ 0 . ∵x1＋ x22＝12. ∴6 b2a2＋ 9 b2＝12, 即 a2＝ 3 b2. ② 此時 Δ 0 . 由 ① ② 得 a2＝ 75 ， b2＝ 25 ， ∴ 橢圓的方程為x225＋y275＝ 1. 返回 法二： 設橢圓方程為y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0) ， 直線 y ＝ 3 x － 2 與橢圓交于 A ， B 兩點，且 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則 ????? y21a2 ＋x21b2 ＝ 1 ， ①y22a2 ＋x22b2 ＝ 1 . ②① － ② 得 ? y1＋ y2?? y1－ y2?a2 ＝－? x1＋ x2?? x1－ x2?b2 . 即y1－ y2x1－ x2＝a2? x1＋ x2?－ b2? y1＋ y2?＝－a2b2x1＋ x2y1＋ y2. 返回 ∵ kAB＝ 3 ， AB 中點 為 ( x0， y0) ， x0＝12， y0＝－12， ∴ 3 ＝－a2b22 122 ? －12?＝a2b2 ，即 a2＝ 3 b2. 又 a2－ b2＝ (5 2 )2＝ 50 ， ∴ a2＝ 75 ， b2＝ 25 ， ∴ 橢圓方程為y275＋x225＝ 1. 返回 [ 一點通 ] 關于中點弦問題，一般采用兩種方法解決 ： ( 1) 聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關系進行設而不求，從而簡化運算． ( 2) 利用 “ 點差法 ” 求解 即若橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ，直線與橢圓交于點 A ( x1， y1) ， B ( x
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