高二數(shù)學上學期橢圓的簡單幾何性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-08-19 06:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 分析問題的能力，在求的最大值時，要注意討論的取值范圍．此題可以用橢圓的標準方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力．解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標方程是，其中待定．由可得，即．設(shè)橢圓上的點到點的距離是，則 其中．如果，則當時，（從而）有最大值．由題設(shè)得，由此得，與矛盾．因此必有成立，于是當時，（從而）有最大值．由題設(shè)得，可得，．∴所求橢圓方程是．由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點，點到點的距離是．解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定，為參數(shù)．由可得，即．設(shè)橢圓上的點到點的距離為，則 如果，即，則當時，（從而）有最大值．由題設(shè)得，由此得，與矛盾，因此必有成立．于是當時（從而）有最大值．由題設(shè)知，∴，．∴所求橢圓的參數(shù)方程是．由，可得橢圓上的是，．典型例題十一例11 設(shè)，，求的最大值和最小值．分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致．設(shè)，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值．解：由，得 可見它表示一個橢圓，其中心在點，焦點在軸上，且過（0，0）點和（3，0）點．設(shè)，則 它表示一個圓，其圓心為（－1，0）半徑為．在同一坐標系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當圓過（0，0）點時，半徑最小，即，此時；當圓過（3，0）點時，半徑最大，即，∴．∴的最小值為0，最大值為15．典型例題十二例12 已知橢圓，、是其長軸的兩個端點．（1）過一個焦點作垂直于長軸的弦，求證：不論、如何變化，．（2）如果橢圓上存在一個點，使，求的離心率的取值范圍．分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從和的正切值出發(fā)做出估計，因此要從點的坐標、斜率入手．本題的第（2）問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：，根據(jù)得到，將代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式．這里要求思路清楚，計算準確，一氣呵成．解：（1）設(shè)，． 于是，．∵是到的角．∴∵∴故 ∴．（2）設(shè)，則，．由于對稱性，不妨設(shè)，于是是到的角．∴∵， ∴整理得∵∴∵， ∴∵， ∴，∴，∴或（舍），∴．典型例題十三例13 已知橢圓的離心率，求的值．分析：分兩種情況進行討論．解：當橢圓的焦點在軸上時，，得．由，得．當橢圓的焦點在
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