高二數(shù)學上學期橢圓的簡單幾何性質-全文預覽
【正文】 當橢圓的焦點在軸上時，得．由，得，即．∴滿足條件的或．說明：本題易出現(xiàn)漏解．排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關系不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上．故必須進行討論．典型例題十四例14 已知橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準線的距離．分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解．解法一：由，得，．由橢圓定義，得．由橢圓第二定義，為到左準線的距離，∴，即到左準線的距離為．解法二：∵，為到右準線的距離，∴．又橢圓兩準線的距離為．∴到左準線的距離為．說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準線的同側性．否則就會產生誤解．橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時要靈活選擇，運用自如．一般地，如遇到動點到兩個定點的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義．典型例題十五例15 設橢圓(為參數(shù))上一點與軸正向所成角，求點坐標．分析：利用參數(shù)與之間的關系求解．解：設，由與軸正向所成角為，∴，即．而，由此得到，∴點坐標為．典型例題十六例16 設是離心率為的橢圓 上的一點，到左焦點和右焦點的距離分別為和，求證：，．分析：本題考查橢圓的兩個定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點到焦點的距離轉化為點到相應準線距離．解：點到橢圓的左準線的距離，由橢圓第二定義，∴，由橢圓第一定義，．說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點弦）的有關問題時，有著廣泛的應用．請寫出橢圓焦點在軸上的焦半徑公式．典型例題十七例17 已知橢圓內有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點．(1) 求的最大值、最小值及對應的點坐標；(2) 求的最小值及對應的點的坐標．分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標函數(shù)當，即代數(shù)方法．二是數(shù)形結合，即幾何方法．本題若按先建立目標函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數(shù)形結合，就能簡捷求解．解：(1)如上圖，設是橢圓上任一點，由，∴，等號僅當時成立，此時、共線．由，∴，等號僅當時成立，此時、共線．建立、的直線方程，解方程組得兩交點、．綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值．(2)如下圖，設是橢圓上任一點，作垂直橢圓右準線，為垂足，由，∴．由橢圓第二定義知，∴，∴，要使其和最小需有、共線，即求到右準線距離．右準線方程為．∴到右準線距離為．此時點縱坐標與點縱坐標相同為1，代入橢圓得滿足條件的點坐標．說明：求的最小值，就
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