高二數(shù)學(xué)上學(xué)期橢圓的簡單幾何性質(zhì)(專業(yè)版)
【正文】 橢圓的簡單幾何性質(zhì)典型例題一例1 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程．分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置．解：（1）當(dāng)為長軸端點時，橢圓的標準方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點時，橢圓的標準方程為：；說明：橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．典型例題二例2 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率．解： ∴，∴．說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可．典型例題三例3 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，∴，∴，∴為所求．說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題．典型例題四例4橢圓上不同三點，與焦點的距離成等差數(shù)列．（1）求證；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率．證明：（1）由橢圓方程知，．由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，∴ ．同理 ．∵ ，且，∴ ，即 ．（2）因為線段的中點為，所以它的垂直平分線方程為 ．又∵點在軸上，設(shè)其坐標為，代入上式，得 又∵點，都在橢圓上，∴ ∴ ．將此式代入①，并利用的結(jié)論得 ∴ ．典型例題五例5 已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的坐標；若不存在，請說明理由．解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條件得，∴，．∵左準線的方程是，∴．又由焦半徑公式知：，．∵，∴．整理得．解之得或． ①另一方面． ②則①與②矛盾，所以滿足條件的點不存在．說明：（1）利用焦半徑公式解常可簡化解題過程．（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進行推理和運算．進而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷．（3）本例也可設(shè)存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）．典型例題六例6 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程．分析一：已知一點求直線
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