8-6-偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-08-17 17:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )1,0,1( ??T二、曲面的切平面與法線 設(shè) 有 光滑曲面 通過其上定點 0tt ?設(shè) 對應(yīng)點 M, 切線方程為 )()()(000000tzztyytxx??? ????????不全為 0 . 則 ? 在 且 點 M 的 切向量 為 任意引一條光滑曲線 M?T下面證明 : 此平面稱為 ? 在該點的 切平面 . ? 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都 在同一平面上 . ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????M?T證 : 在 ? 上 , 0))(,)(,)(( ?? tttF ???,0 處求導(dǎo)兩邊在 tt ? ,0 Mtt 對應(yīng)點注意 ?)( 0t?? 0?),( 000 zyxF x ),( 000 zyxF y?),( 00 zyxF z?)( 0t?? )(t??得 ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????)),(,),(,),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?令 nT ?切向量由于曲線 ? 的任意性 , 表明這些切線都在以 為法向量 的平面上 , 從而切平面存在 . n)(),( 0000 xxzyxF x ?曲面 ? 在點 M 的 法向量 法線方程 000 zzyyxx ?????)(),( 0000 yyzyxF y ??0))(,( 0000 ??? zzzyxF z切平面方程 ),( 000 zyxF x ),( 000 zyxF y ),( 000 zyxF zM?T)),(,),(,),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?)(),( 000 xxyxf x ?曲面 時 , zyxfzyxF ?? ),(),(則在點 ),( zyx故當(dāng)函數(shù) ),( 00 yx法線方程 令 有在點 ),( 000 zyx?特別 , 當(dāng)光滑曲面 ? 的方程為顯式 在點 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時 , )(),( 000 yyyxf y ???? 0zz切平面方程 法向量 將 ),(,),( 0000 yxfyxf yx , yx ff法向量的方向余弦： 用 表示法向量的方向角 , 并假定法向量與 z軸 分別記為 則 的正向夾角為銳角 , 0 0 0 0( ( , ) , ( , ) , 1 )xyn f x y f x y??例 4 求球面 3632 222 ??? zyx 在點 (1 , 2 , 3) 處的切 平面及法線方程 . 解 : 所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有 : 切平面方程 )1(2 ?x
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