高階偏導數(shù)ppt課件(編輯修改稿)
2025-06-03 12:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??? ),(),()( 00 yxfyyxfx ????? )()(A 00 xxx ?? ????連續(xù)、可導 , 由拉格朗日中值定理得 . 1)(0 , )(A 110 ??????? ??? xxx )),U ( ( )( 00 內(nèi)在續(xù)性可知，函數(shù)由二階混合偏導數(shù)的連 yxx?證 ),(),( 0000 yxfyyxf ????即 xyxxfyyxxf xx ??????????? )],(),([A 010010 ??關于變量 y 再運用拉格朗日中值定理 , 得 yxyyxxf xy ????????? ),(A 2022 ?? 1),(0 21 ?? ??同理 , 令 ,),(),()( 00 yxfyxxfyh ????則 )()(A 00 yhyyh ????先關于變量 y 再關于變量 x 運用拉格朗日中值定理 , 得 yxyyxxf yx ????????? ),(A 4030 ?? 1),(0 43 ?? ??故 yxyyxxf xy ????????? ),(A 2022 ??yxyyxxf yx ????????? ),( 4030 ??由二階混合偏導數(shù)連續(xù)性 , 取極限后 , 即得定理的結(jié)論 . ),(),( 40302022 yyxxfyyxxf yxxy ????????????? ????即有 該定理的結(jié)論可推廣到更高階的混合偏導數(shù)的情形 . 現(xiàn)在問你 , 證明定理時為什么會想到用 ),(),(A 0000 yxxfyyxxf ????????),( 00 yxf),( 00 yyxf ??),( 00 yxxf ??),( 00 yyxxf ????？ 看 圖 課后再想 ),(),( 0000 yxfyyxf ???? ,22xyfyxf??????是依次將一個變量看成常數(shù)求導 . 引入 記號： )(Xf 在 ? 內(nèi)有直到 k 階的連續(xù)偏導數(shù) , 記為 ,)()( ?? kCXf 。?,2 ,1 ,0?k)(),( ?? nCyxf時 , 則在求 n 階及 n 階以下的偏導數(shù)時 , 可大大減少運算 次數(shù) .自變量的個數(shù)越多 , 求導與求導順序無關的作用越 二元函數(shù)的 n 階偏導數(shù)就有 2n 項 , 當 明顯 . ???xz yxxye 22 ???yz yxex 22??????? ??????? xzxx z22x?? ?)2( 2 yxx y e yxeyxy 2)42( 22?????????????????yzyyz22y?? ?)( 22 yxex yxex 24???????? xy zyx z22 yxeyxx 2)22( 3??x?? )( 22 yxex 例 解 . 2 的二階偏導數(shù)求 yxez ????xu ??1f ?? ??? x zyx )( ??2f xxyz?? )( 21 fyzf ???????? yx u2)( 21 fyzfy ????????? 11f ?????yzyx )( ??12f ???yxyz )( 2fz ??????? ??????? ??????? yx y zfy zyxfyz )()( 2221???? 11f ???? 12)( fzyx ???222 fxyz 2fz ?. , 22 yx uxy u ???????此時 . , , ) ,( 22yxuCfxyzzyxfu??????? 求且設 例 解 ???xu )( 222 zyxf ??? x zyx ? ???? )(222)(2 222 zyxfx ????x?? ))(2( 222 zyxfx ???)(2 222 zyxf ???? )(4 2222 zyxfx ?????yyxu??????2))(2( 222 zyxfx ??? )(4 222 zyxfxy ???????? 22xu 例 解 . , , , )( 2222222yxuxuCfzyxfu????????? 求其中設 . ,0 22x zx y ze z
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