高階偏導(dǎo)數(shù)ppt課件-文庫吧資料
2025-05-13 12:10本頁面
【正文】 ?? 32xy22xz??22yz??yxz???2xyz???2 例 4共 23 = 8 項(xiàng) . 的三階偏導(dǎo)數(shù)：二元函數(shù) ),( yxfz ? 發(fā)現(xiàn)求高階導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān) . 求 13 323 ???? xyxyyxz 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 先求一階偏導(dǎo)數(shù)： ,33 322 yyyxxz ????? ,92 23 xxyyxyz ?????再求二階偏導(dǎo)數(shù)： xz??yxyz??yx22xz?? ???????????xzx )33(322 yyyxx ????? 26xy?22yz???????????????yzy )92(23 xxyyxy ????? xyx 182 3 ?? 例 解 求 13 323 ???? xyxyyxz 的二階偏導(dǎo)數(shù) . xz??yxyz??yx 例 解 二階混合偏導(dǎo)數(shù)： yxz???2 )33( 322 yyyxy ????? 196 22 ??? yyxxyz???2 )92( 23 xxyyxx ????? 196 22 ??? yyx觀察 發(fā)現(xiàn)兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等 一般性？ 這里的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù) 設(shè) ????????????0 , 0 0 , )(),(22222222yxyxyxyxxyyxf,)0,0(xyf ? .)0,0(yxf ?求 需按定義求函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 處的偏導(dǎo)數(shù) : ?? )0,0(xf ?????? xfxfx)0,0()0,(lim00 ?? )0,0(yf ?????? yfyfy)0,0(),0(lim00 ??? )0,0(xyfyfyf xxy ???????)0,0(),0(lim01lim 0 ?????? ?? y yy??? )0,0(yxfxfxf yyx ???????)0,0()0,(lim0 1lim 0 ?????? xxx 不相等 例 解 這說明只有在一定的條件下求函數(shù) ),0,0( )0,0( , yxxy ff ?????在該例中的高階偏導(dǎo)數(shù)才與求導(dǎo)順序無關(guān) . 定理 若 ),( yxfz ? 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在 )),U ( ( 00 yx 內(nèi)存在且在點(diǎn) ),( 00 yx 處連續(xù) , 則必有 ???? yx yxf ),( 002 .),( 002xyyxf??? 廢話 ! 求出偏導(dǎo)數(shù)才能判斷連續(xù)性 , 這時(shí)一眼就可看出混合偏導(dǎo)數(shù)是否相等了 , 還要定理干什么 . 有些函數(shù)不必求出其導(dǎo)數(shù) ,就可知道它的導(dǎo)函數(shù)是否連續(xù) . 懂嗎 ！ 令 則 內(nèi)考慮式子在 )),U ( ( 00 yx),(),(A 0000 yxxfyyxxf ???????? ),(),()( 00 yxfyyxfx ????? )()(A 00 xxx ?? ????連續(xù)、可導(dǎo) , 由拉格朗日中值定理得 . 1)(0 , )(A 110 ??????? ??? xxx )),U ( ( )( 00 內(nèi)在續(xù)性可知，函數(shù)由二階混合偏導(dǎo)數(shù)的連 yxx?證 ),(),( 0000 yxfyyxf ????即 xyxxfyyxxf xx ??????????? )],(),([A 010010 ??關(guān)于變量 y 再運(yùn)用拉格朗日中值定理 , 得 yxyyxxf xy ????????? ),(A 2022 ?? 1),(0 21 ?? ??同理 , 令 ,),(),()( 00 yxfyxxfyh ????則 )()(A 00 yhyyh ????先關(guān)于變量 y 再關(guān)于變量 x 運(yùn)用拉格朗日中值定理 , 得 yxyyxxf yx ?????
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